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山东省济南市槐荫区2015-2016学年七年级(下)期末数学试卷(解析版)



山东省济南市槐荫区 2015-2016 学年七年级(下)期末数学试卷 (解析版)

一、选择题(本大题共 12 个小题,每小题 4 分,共 48 分.在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的.) 1.如图是各种汽车的标志,其中是轴对称图形的有( )个.

A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个 2.用科学记数法表示 0.

000043 这个数的结果为( A.4.3×10﹣4 B.4.3×10﹣5 C.4.3×10﹣6 D.43×10﹣5 3.以 为解的二元一次方程组是( ) )

A.

B.

C.

D. )

4.如图,过△ABC 的顶点 A,作 BC 边上的高,以下作法正确的是(

A.

B.

C.

D.

5.下列计算正确的是(

) D.a3÷a2=1 )

A.a2?a3=a5 B.a2+a3=a5 C.(a3)2=a5

6.如图,已知 AB∥CD,若∠A=25°,∠E=40°,则∠C 等于(

A.40° B.65° C.115° D.25°

7.如图,AD 是△ABC 的角平分线,点 O 在 AD 上,且 OE⊥BC 于点 E,∠BAC=60°,∠ C=80°,则∠EOD 的度数为( )

A.20° B.30° C.10° D.15° 8.计算( )0×2﹣2 的结果是( A. B.﹣4 C.﹣ D. )

9.小明不小心把一块三角形形状的玻璃打碎成了三块,如图①②③,他想要到玻璃店去 配一块大小形状完全一样的玻璃,你认为应带( )

A.① B.② C.③ D.①和② 10.如图,△ABC 中,∠BAC=100°,DF,EG 分别是 AB,AC 的垂直平分线,则∠DAE 等于( )

A.50° B.45° C.30° D.20° 11.下列运算中,正确的是( A.(x+2)2=x2+4 )

B.(﹣a+b)(a+b)=b2﹣a2 D.3a3b2÷a2b2=3ab

C.(x﹣2)(x+3)=x2﹣6

12.如图所示,在△ABC 中,P 为 BC 上一点,PR⊥AB,垂足为 R,PS⊥AC,垂足为 S, AQ=PQ,PR=PS.下面三个结论:①AS=AR;②QP∥AR;③△BRP≌△CSP.正确的是 ( )

A.①和② B.②和③ C.①和③ D.全对

二、填空题(本大题共 6 个小题.每小题 4 分,共 24 分.把答案填在题中横线上.) 13.计算:(x+3)(2x﹣4)= .

14. 已知甲种面包每个 2 元, 乙种面包每个 2.5 元. 某人买了 x 个甲种面包和 y 个乙种面包, 共花了 30 元、请列出关于 x,y 的二元一次方程 . .

15.已知三角形的两边长分别为 3 和 6,那么第三边长 x 的取值范围是 16.如图,直线 a∥b,∠C=90°,则∠α= °.

17.如图,点 F、C 在线段 BE 上,且∠1=∠2,BC=EF,若要使△ABC≌△DEF,则还须 补充一个条件 .(只要填一个)

18. Q 为 BC 延长线上的一点, 如图, 等边△ABC 的边长为 1, 在边 AB 上有一点 P, 且 CQ=PA, 过点 P 作 PE⊥AC 于点 E,连接 PQ 交 AC 于点 D,则 DE 的长为 .

三、解答题(本大题共 9 个小题,共 78 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.)

19.(﹣a)2?(a2)2÷a3 (2)先化简,再求值:(2a+1)2﹣(2a﹣1)(2a+1),其中 a=﹣ . 20.(3 分)解方程组 21.填写推理理由: 如图,CD∥EF,∠1=∠2,求证:∠3=∠ACB. 证明:∵CD∥EF, ∴∠DCB=∠2 ∵∠1=∠2,∴∠DCB=∠1. ∴GD∥CB ∴∠3=∠ACB . . .

22.(7 分)如图,点 A、B、D、E 在同一直线上,AD=EB,BC∥DF,∠C=∠F.求证: AC=EF.

23.(8 分)为落实“促民生、促经济”政策,某市玻璃制品销售公司今年 1 月份调整了职工 的月工资分配方案, 调整后月工资由基本保障工资和计件奖励工资两部分组成 (计件奖励工 资=销售每件的奖励金额×销售的件数).下表是甲、乙两位职工今年四月份的工资情况信 息: 职工 月销售件数/件 月工资/元 甲 200 1800 乙 180 1700

试求工资分配方案调整后职工的月基本保障工资和销售每件产品的奖励金额各是多少元?

24.(8 分)已知:如图,AD∥BE,∠1=∠2,求证:∠A=∠E.

25.(8 分)观察下列方程组,解答问题: ① ;② ;③ ;…

(1)在以上 3 个方程组的解中,你发现 x 与 y 有什么数量关系?(不必说理) (2)请你构造第④个方程组,使其满足上述方程组的结构特征,并验证(1)中的结论. 26.(9 分)已知:如图,点 D 是△ABC 内的一点,且满足 BD=CD,∠ABD=∠ACD.求 证: (1)AB=AC; (2)AD⊥BC.

27.(12 分)如图 1,CE 平分∠ACD,AE 平分∠BAC,且∠EAC+∠ACE=90°. (1)请判断 AB 与 CD 的位置关系,并说明理由; (2)如图 2,当∠E=90°且 AB 与 CD 的位置关系保持不变,当直角顶点 E 点移动时,写出 ∠BAE 与∠ECD 的数量关系,并说明理由; (3)如图 3,P 为线段 AC 上一定点,点 Q 为直线 CD 上一动点,且 AB 与 CD 的位置关系 保持不变,当点 Q 在射线 CD 上运动时(点 C 除外),∠CPQ+∠CQP 与∠BAC 有何数量 关系?写出结论,并加以证明.

28.(12 分)已知点 C 为线段 AB 上一点,分别以 AC、BC 为边在线段 AB 同侧作△ACD 和△BCE,且 CA=CD,CB=CE,∠ACD=∠BCE,直线 AE 与 BD 交于点 F (1)如图 1,若∠ACD=60゜,则∠AFB= (2)如图 2,若∠ACD=α,则∠AFB= ; (用含 α 的式子表示);

(3)将图 2 中的△ACD 绕点 C 顺时针旋转任意角度(交点 F 至少在 BD、AE 中的一条线 段上),如图 3.试探究∠AFB 与 α 的数量关系,并予以证明.

2015-2016 学年山东省济南市槐荫区七年级(下)期末数 学试卷
参考答案与试题解析

一、选择题(本大题共 12 个小题,每小题 4 分,共 48 分.在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的.) 1.如图是各种汽车的标志,其中是轴对称图形的有( )个.

A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个 【考点】轴对称图形. 【分析】根据轴对称图形的定义:如果一个图形沿一条直线折叠,直线两旁的部分能够互相 重合,这个图形叫做轴对称图形,对各项判断即可. 【解答】解:第 1,2,4 个图形都是轴对称图形; 第 3 个图形不是轴对称图形. 故选:C. 【点评】本题考查了轴对称图形的知识,注意掌握轴对称图形的概念,判断轴对称图形的关 键是寻找对称轴.

2.用科学记数法表示 0.000043 这个数的结果为( A.4.3×10﹣4 B.4.3×10﹣5 C.4.3×10﹣6 D.43×10﹣5 【考点】科学记数法—表示较小的数.



【分析】绝对值小于 1 的正数也可以利用科学记数法表示,一般形式为 a×10﹣n,与较大数 的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂, 指数由原数左边起第一个不为零的数字前面 的 0 的个数所决定. 【解答】解:0.000043=4.3×10﹣5, 故选:B.

【点评】本题考查用科学记数法表示较小的数,一般形式为 a×10﹣n,其中 1≤|a|<10,n 为由原数左边起第一个不为零的数字前面的 0 的个数所决定.

3.以

为解的二元一次方程组是(



A.

B.

C.

D.

【考点】二元一次方程组的解. 【分析】所谓“方程组”的解,指的是该数值满足方程组中的每一方程. 在求解时,可以将 代入方程.同时满足的就是答案.

【解答】解:将

代入各个方程组,

可知

刚好满足条件.

所以答案是 故选:C.



【点评】本题不难,只要利用反向思维就可以了.

4.如图,过△ABC 的顶点 A,作 BC 边上的高,以下作法正确的是(



A.

B.

C.

D.

【考点】三角形的角平分线、中线和高. 【分析】根据三角形高线的定义:过三角形的顶点向对边引垂线,顶点和垂足之间的线段叫 做三角形的高线解答. 【解答】解:为△ABC 中 BC 边上的高的是 A 选项. 故选 A.

【点评】本题考查了三角形的角平分线、中线、高线,熟记高线的定义是解题的关键.

5.下列计算正确的是(

) D.a3÷a2=1

A.a2?a3=a5 B.a2+a3=a5 C.(a3)2=a5

【考点】同底数幂的除法;合并同类项;同底数幂的乘法;幂的乘方与积的乘方. 【分析】 直接利用同底数幂的乘法运算法则和幂的乘方运算以及同底数幂的除法运算法则分 别计算得出即可. 【解答】解:A、a2?a3=a5,正确; B、a2+a3 无法计算,故此选项错误; C、(a3)2=a6,故此选项错误; D、a3÷a2=a,故此选项错误. 故选:A. 【点评】 此题主要考查了同底数幂的乘法运算和幂的乘方运算以及同底数幂的除法运算等知 识,正确掌握运算法则是解题关键.

6.如图,已知 AB∥CD,若∠A=25°,∠E=40°,则∠C 等于(



A.40° B.65° C.115° D.25° 【考点】平行线的性质. 【分析】 由平行线的性质可求得∠EFB=∠C, 在△AEF 中由三角形外角的性质可求得∠EFB, 可求得答案 【解答】解:∵∠EFB 是△AEF 的一个外角, ∴∠EFB=∠A+∠E=25°+40°=65°, ∵AB∥CD, ∴∠C=∠EFB=65°, 故选 B.

【点评】本题主要考查平行线的性质,掌握平行线的性质是解题的关键,即①两直线平行 ?同位角相等,②两直线平行?内错角相等,③两直线平行?同旁内角互补.

7.如图,AD 是△ABC 的角平分线,点 O 在 AD 上,且 OE⊥BC 于点 E,∠BAC=60°,∠ C=80°,则∠EOD 的度数为( )

A.20° B.30° C.10° D.15° 【考点】三角形的角平分线、中线和高;垂线;三角形内角和定理. 【分析】首先根据三角形的内角和定理求得∠B,再根据角平分线的定义求得∠BAD,再根 据三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角和求得∠ADC,最后根据直角三角形的两 个锐角互余即可求解. 【解答】解:∵∠BAC=60°,∠C=80°, ∴∠B=40°. 又∵AD 是∠BAC 的角平分线, ∴∠BAD= ∠BAC=30°, ∴∠ADE=70°, 又∵OE⊥BC, ∴∠EOD=20°. 故选 A. 【点评】此类题要首先明确思路,考查了三角形的内角和定理及其推论、角平分线的定义.

8.计算( )0×2﹣2 的结果是( A. B.﹣4 C.﹣ D.



【考点】负整数指数幂;零指数幂. 【分析】根据非零的零次幂等于 1,负整数指数幂与正整数指数幂互为倒数,可得答案. 【解答】解:原式=1× = , 故选:D.

【点评】本题考查了负整数指数幂,利用了非零的零次幂等于 1,负整数指数幂与正整数指 数幂互为倒数.

9.小明不小心把一块三角形形状的玻璃打碎成了三块,如图①②③,他想要到玻璃店去 配一块大小形状完全一样的玻璃,你认为应带( )

A.① B.② C.③ D.①和② 【考点】全等三角形的应用. 【分析】根据全等三角形的判定方法解答即可. 【解答】解:带③去可以利用“角边角”得到全等的三角形. 故选 C. 【点评】本题考查了全等三角形的应用,熟练掌握三角形全等的判定方法是解题的关键.

10.如图,△ABC 中,∠BAC=100°,DF,EG 分别是 AB,AC 的垂直平分线,则∠DAE 等于( )

A.50° B.45° C.30° D.20° 【考点】线段垂直平分线的性质. 【分析】从已知条件进行思考,由∠BAC=100°得∠B+∠C=80°,根据垂直平分线的性质, 得∠BAD+∠EAC=80°于是答案可得. 【解答】解:根据线段的垂直平分线性质,可得 AD=BD,AE=GE. 故∠EAC=∠ECA,∠ABD=∠BAD. 因为∠BAC=100°,∠ABD+∠ACE=180°﹣100°=80°, ∴∠DAE=100°﹣∠BAD﹣∠EAC=20°. 故选 D

【点评】本题考查的是线段垂直平分线的性质(垂直平分线垂直且平分其所在线段),难度 一般.求得∠BAD+∠EAC=80°是正确解答本题的关键.

11.下列运算中,正确的是( A.(x+2)2=x2+4



B.(﹣a+b)(a+b)=b2﹣a2 D.3a3b2÷a2b2=3ab

C.(x﹣2)(x+3)=x2﹣6 【考点】整式的混合运算.

【分析】A、原式利用完全平方公式化简得到结果,即可作出判断; B、原式利用平方差公式计算得到结果,即可作出判断; C、原式利用多项式乘以多项式法则计算得到结果,即可作出判断; D、原式利用单项式除以单项式法则计算得到结果,即可作出判断. 【解答】解:A、原式=x2+4x+4,错误; B、原式=b2﹣a2,正确; C、原式=x2+x﹣6,错误; D、原式=3a,错误, 故选 B 【点评】此题考查了整式的混合运算,熟练掌握运算法则是解本题的关键.

12.如图所示,在△ABC 中,P 为 BC 上一点,PR⊥AB,垂足为 R,PS⊥AC,垂足为 S, AQ=PQ,PR=PS.下面三个结论:①AS=AR;②QP∥AR;③△BRP≌△CSP.正确的是 ( )

A.①和② B.②和③ C.①和③ D.全对 【考点】角平分线的性质;全等三角形的判定与性质. 【分析】连接 AP,由已知条件利用角平行线的判定可得∠1=∠2,由三角形全等的判定得 △APR≌△APS,得 AS=AR,由已知可得∠2=∠3,得到∠1=∠3,得 QP∥AR,答案可得.

【解答】解:连接 AP,∵PR=PS,PR⊥AB,垂足为 R,PS⊥AC,垂足为 S, ∴AP 是∠BAC 的平分线,∠1=∠2, ∴△APR≌△APS, ∴AS=AR, 又 AQ=PQ, ∴∠2=∠3, 又∠1=∠2, ∴∠1=∠3, ∴QP∥AR, BC 只是过点 P,没有办法证明△BRP≌△CSP,③不成立. 故选 A.

【点评】 本题主要考查角平分线的判定和平行线的判定; 准确作出辅助线是解决本题的关键, 做题时要注意添加适当的辅助线,是十分重要的,要掌握.

二、填空题(本大题共 6 个小题.每小题 4 分,共 24 分.把答案填在题中横线上.) 13.计算:(x+3)(2x﹣4)= 2x2+2x﹣12 . 【考点】多项式乘多项式. 【分析】根据(a+b)(m+n)=am+an+bm+bn 展开,再合并同类项即可. 【解答】解:(x+3)(2x﹣4) =2x2﹣4x+6x﹣12, =2x2+2x﹣12, 故答案为:2x2+2x﹣12. 【点评】 本题考查了多项式乘以多项式的应用, 能熟练地运用法则进行计算式解此题的关键.

14. 已知甲种面包每个 2 元, 乙种面包每个 2.5 元. 某人买了 x 个甲种面包和 y 个乙种面包, 共花了 30 元、请列出关于 x,y 的二元一次方程 2x+2.5y=30 . 【考点】由实际问题抽象出二元一次方程. 【分析】本题的等量关系有:甲种面包每个 2 元,乙种面包每个 2.5 元,共花了 30 元,故 能列出二元一次方程. 【解答】解:设买了 x 个甲种面包和 y 个乙种面包, 由题意可以列出二元一次方程, 2x+2.5y=30. 故答案是:2x+2.5y=30. 【点评】根据实际问题中的条件列方程组时,要注意抓住题目中的一些关键性词语,找出等 量关系,列出方程组.

15.已知三角形的两边长分别为 3 和 6,那么第三边长 x 的取值范围是 3<x<9 . 【考点】三角形三边关系. 【分析】根据三角形三边关系:任意两边之和大于第三边以及任意两边之差小于第三边,即 可得出第三边的取值范围. 【解答】解:∵此三角形的两边长分别为 3 和 6, ∴第三边长的取值范围是:6﹣3=3<第三边<6+3=9. 即:3<x<9, 故答案为:3<x<9. 【点评】此题主要考查了三角形三边关系,根据第三边的范围是:大于已知的两边的差,而 小于两边的和是解决问题的关键.

16.如图,直线 a∥b,∠C=90°,则∠α=

25

°.

【考点】平行线的性质.

【分析】过点 C 作 CE∥a,运用平行线的性质,证明∠ACE=65°,∠α=∠BCE,再运用垂 直求∠α 的度数. 【解答】解:过点 C 作 CE∥a, ∵a∥b, ∴CE∥a∥b, ∴∠ACE=65°,∠α=∠BCE. ∵∠C=90°, ∴∠α=∠BCE=90°﹣∠ACE=25°. 故答案为:25.

【点评】本题考查的是平行线的性质以及垂直的定义,解题的关键是求得∠BCE 的度数.

17.如图,点 F、C 在线段 BE 上,且∠1=∠2,BC=EF,若要使△ABC≌△DEF,则还须 补充一个条件 AC=DF .(只要填一个)

【考点】全等三角形的判定. BC=EF, 【分析】 要使△ABC≌△DEF, 已知∠1=∠2, 添加边的话应添加对应边, 符合 SAS 来判定. 【解答】解:补充 AC=DF. ∵∠1=∠2,BC=EF,AC=DF ∴△ABC≌△DEF, 故填 AC=DF. 【点评】本题考查三角形全等的判定方法;判定两个三角形全等的一般方法有:SSS、SAS、 ASA、AAS、HL.添加时注意:AAA、SSA 不能判定两个三角形全等,不能添加,根据已 知结合图形及判定方法选择条件是正确解答本题的关健.

18. Q 为 BC 延长线上的一点, 如图, 等边△ABC 的边长为 1, 在边 AB 上有一点 P, 且 CQ=PA, 过点 P 作 PE⊥AC 于点 E,连接 PQ 交 AC 于点 D,则 DE 的长为 .

【考点】等边三角形的性质. 【分析】过 P 作 BC 的平行线至 AC 于 F,通过求证△PFD 和△QCD 全等,推出 FD=CD, 再通过证明△APF 是等边三角形和 PE⊥AC,推出 AE=EF,即可推出 AE+DC=EF+FD,可 得 ED= AC,即可推出 ED 的长度. 【解答】解:过 P 做 BC 的平行线至 AC 于 F, ∴∠Q=∠FPD, ∵等边△ABC, ∴∠APF=∠B=60°,∠AFP=∠ACB=60°, ∴△APF 是等边三角形,∴AP=PF,AP=CQ, ∵AP=CQ, ∴PF=CQ, ∵在△PFD 和△QCD 中, , ∴△PFD≌△QCD(AAS), ∴FD=CD,∵PE⊥AC 于 E,△APF 是等边三角形,∴AE=EF, ∴AE+DC=EF+FD, ∴ED= AC, ∵AC=1, ∴DE= .

故答案为 .

【点评】 本题主要考查等边三角形的判定与性质、 平行线的性质、 全等三角形的判定与性质, 关键在于正确地作出辅助线,熟练运用相关的性质、定理,认真地进行计算.

三、解答题(本大题共 9 个小题,共 78 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.) 19.(1)(﹣a)2?(a2)2÷a3 (2)先化简,再求值:(2a+1)2﹣(2a﹣1)(2a+1),其中 a=﹣ . 【考点】整式的混合运算—化简求值. 【分析】(1)先算乘方,再算乘除,即可得出答案; (2)先算乘法,再合并同类项,最后代入求出即可. 【解答】解:(1)原式=a2?a4÷a3 =a6÷a3 =a3;

(2)原式=4a2+4a+1﹣(4a2﹣1) =4a2+4a+1﹣4a2+1 =4a+2, 当 a=﹣ 时, 原式=﹣3+2=﹣1. 【点评】 本题考查了整式的混合运算和求值的应用, 能正确根据整式的运算法则进行化简是 解此题的关键.

20.解方程组



【考点】解二元一次方程组.

【分析】方程组利用加减消元法求出解即可. 【解答】解: ②﹣①,得 x=1, 把 x=1 代入②,得 2+y=2, 解得:y=0, 则方程组的解为 . ,

【点评】此题考查了解二元一次方程组,利用了消元的思想,消元的方法有:代入消元法与 加减消元法.

21.填写推理理由: 如图,CD∥EF,∠1=∠2,求证:∠3=∠ACB. 证明:∵CD∥EF, ∴∠DCB=∠2 两直线平行,同位角相等 ∵∠1=∠2,∴∠DCB=∠1. 等量代换

∴GD∥CB 内错角相等,两直线平行 . ∴∠3=∠ACB 两直线平行,同位角相等 .

【考点】平行线的判定. 【分析】根据两直线平行,同位角相等可以求出∠DCB=∠2,等量代换得出∠DCB=∠1, 再根据内错角相等,两直线平行得出 GD∥CB,最后根据两直线平行,同位角相等,所以∠ 3=∠ACB. 【解答】证明:∵CD∥EF, ∴∠DCB=∠2(两直线平行,同位角相等), ∵∠1=∠2,∴∠DCB=∠1(等量代换). ∴GD∥CB(内错角相等,两直线平行).

∴∠3=∠ACB(两直线平行,同位角相等). 故答案为两直线平行,同位角相等;等量代换;内错角相等,两直线平行;两直线平行,同 位角相等. 【点评】本题考查了平行线的判定与性质,熟练掌握平行线的判定方法和性质,并准确识图 是解题的关键.

22.如图,点 A、B、D、E 在同一直线上,AD=EB,BC∥DF,∠C=∠F.求证:AC=EF.

【考点】全等三角形的判定与性质. 【分析】根据 BC∥DF 证得∠CBD=∠FDB,利用利用等角的补角相等证得∠ABC=∠EDF, 然后根据 AD=EB 得到 AB=ED,利用 AAS 证明两三角形全等即可. 【解答】证明:∵AD=EB ∴AD﹣BD=EB﹣BD,即 AB=ED 又∵BC∥DF, ∴∠CBD=∠FDB ∴∠ABC=∠EDF 在△ABC 和△EDF 中, ∵ ∴△ABC≌△EDF, ∴AC=EF. 【点评】 本题考查了全等三角形的判定与性质, 解题的关键是选择最合适的方法证明两三角 形全等.

23.为落实“促民生、促经济”政策,某市玻璃制品销售公司今年 1 月份调整了职工的月工资 分配方案,调整后月工资由基本保障工资和计件奖励工资两部分组成(计件奖励工资=销售 每件的奖励金额×销售的件数).下表是甲、乙两位职工今年四月份的工资情况信息:

职工 月销售件数/件 月工资/元

甲 200 1800

乙 180 1700

试求工资分配方案调整后职工的月基本保障工资和销售每件产品的奖励金额各是多少元? 【考点】二元一次方程组的应用. 【分析】设职工的月基本保障工资为 x 元,销售每件产品的奖励金额为 y 元,由题意列出二 元一次方程组,求出 x 和 y 的值即可. 【解答】解:设职工的月基本保障工资为 x 元,销售每件产品的奖励金额为 y 元, 由题意得: 解得 . ,

答:工资分配方案调整后职工的月基本保障工资为 800 元,销售每件产品的奖励金额各是 5 元. 【点评】本题主要考查二元一次方程组的知识点,解题关键是要读懂题目的意思,根据题目 给出的条件,找出合适的等量关系,列出方程组,再求解.利用二元一次方程组求解的应用 题一般情况下题中要给出 2 个等量关系, 准确的找到等量关系并用方程组表示出来是解题的 关键.

24.已知:如图,AD∥BE,∠1=∠2,求证:∠A=∠E.

【考点】平行线的判定与性质. 【分析】由于 AD∥BE 可以得到∠A=∠3,又∠1=∠2 可以得到 DE∥AC,由此可以证明∠ E=∠3,等量代换即可证明题目结论. 【解答】证明:∵AD∥BE, ∴∠A=∠3, ∵∠1=∠2, ∴DE∥AC, ∴∠E=∠3,

∴∠A=∠EBC=∠E. 【点评】此题考查的是平行线的性质,然后根据平行线的判定和等量代换转化求证.

25.观察下列方程组,解答问题: ① ;② ;③ ;…

(1)在以上 3 个方程组的解中,你发现 x 与 y 有什么数量关系?(不必说理) (2)请你构造第④个方程组,使其满足上述方程组的结构特征,并验证(1)中的结论. 【考点】二元一次方程组的解. 【分析】(1)观察已知方程组,得到 x 与 y 的数量关系即可; (2)归纳总结得到第④个方程组,求出方程组的解,验证即可. 【解答】解:(1)在以上 3 个方程组的解中,发现 x+y=0; (2)第④个方程组为 ①+②得:6x=24,即 x=4, 把 x=4 代入①得:y=﹣4, 则 x+y=4﹣4=0. 【点评】 此题考查了二元一次方程组的解, 方程组的解即为能使方程组中两方程都成立的未 知数的值. ,

26.已知:如图,点 D 是△ABC 内的一点,且满足 BD=CD,∠ABD=∠ACD.求证: (1)AB=AC; (2)AD⊥BC.

【考点】全等三角形的判定与性质.

【分析】 (1) 首先根据 BD=CD 得到∠DBC=∠DCB, 结合题干条件即可得到∠ABC=∠ACB, 于是得到 AB=AC; (2)延长 AD 交 BC 于点 E.先证明△ABD≌△ACD,进而得到∠DAB=∠DAC,利用等 腰三角形的三线合一的知识得到结论. 【解答】证明:(1)∵BD=CD, ∴∠DBC=∠DCB, 又∵∠ABD=∠ACD, ∴∠DBC+∠ABD=∠DCB+∠ACD ∴∠ABC=∠ACB, ∴AB=AC. (2)延长 AD 交 BC 于点 E. 在△ABD 和△ACD 中, ∵ ,

∴△ABD≌△ACD(SAS), ∴∠DAB=∠DAC, 又∵AB=AC, ∴AE⊥BC, 即 AD⊥BC.

【点评】 本题主要考查了全等三角形的判定与性质以及等腰三角形的性质, 解题的关键是掌 握等腰三角形的判定与性质以及利用 SAS 证明两个三角形全等,此题难度不大.

27. (12 分) (2016 春?槐荫区期末)如图 1,CE 平分∠ACD,AE 平分∠BAC,且∠EAC+ ∠ACE=90°.

(1)请判断 AB 与 CD 的位置关系,并说明理由; (2)如图 2,当∠E=90°且 AB 与 CD 的位置关系保持不变,当直角顶点 E 点移动时,写出 ∠BAE 与∠ECD 的数量关系,并说明理由; (3)如图 3,P 为线段 AC 上一定点,点 Q 为直线 CD 上一动点,且 AB 与 CD 的位置关系 保持不变,当点 Q 在射线 CD 上运动时(点 C 除外),∠CPQ+∠CQP 与∠BAC 有何数量 关系?写出结论,并加以证明.

【考点】平行线的判定与性质. 【分析】(1)根据角平分线定义得出∠ACD=2∠ACE,∠BAC=2∠EAC,求出∠ACD+∠ BAC=180°,根据平行线的判定得出即可; (2)根据平行线的性质得出∠BAE=∠AFC,求出∠AEC=∠AFC+∠ECD=90°,即可得出答 案; (3)根据平行线的性质得出∠BAC=∠ACG,根据三角形外角性质得出∠ACG=∠CPQ+∠ CQP,即可得出答案. 【解答】解:(1)AB∥CD, 理由:∵CE 平分∠ACD,AE 平分∠BAC, ∴∠ACD=2∠ACE,∠BAC=2∠EAC, 又∵∠EAC+∠ACE=90°, ∴∠ACD+∠BAC=180°, ∴AB∥CD;

(2)∠BAE+∠ECD=90°, 理由:延长 AE 交 CD 于点 F,

∵AB∥CD, ∴∠BAE=∠AFC, ∵∠AEC 是△EFC 的一个外角, ∴∠AEC=∠AFC+∠ECD=90°, ∴∠BAE+∠ECD=90°;

(3)∠CPQ+∠CQP=∠BAC, 证明:∵AB∥CD, ∴∠BAC=∠ACG, ∵∠ACG 是△PCQ 的一个外角, ∴∠ACG=∠CPQ+∠CQP, ∴∠CPQ+∠CQP=∠BAC. 【点评】本题考查了平行线的性质和判定,三角形外角性质的应用,能灵活运用定理进行推 理是解此题的关键.

28.(12 分)(2016 春?槐荫区期末)已知点 C 为线段 AB 上一点,分别以 AC、BC 为边 在线段 AB 同侧作△ACD 和△BCE,且 CA=CD,CB=CE,∠ACD=∠BCE,直线 AE 与 BD 交于点 F (1)如图 1,若∠ACD=60゜,则∠AFB= 120° ;

(2)如图 2,若∠ACD=α,则∠AFB= 180°﹣α (用含 α 的式子表示); (3)将图 2 中的△ACD 绕点 C 顺时针旋转任意角度(交点 F 至少在 BD、AE 中的一条线 段上),如图 3.试探究∠AFB 与 α 的数量关系,并予以证明.

【考点】全等三角形的判定与性质. 【分析】 (1)求出∠ACE=∠DCB,证△ACE≌△DCB,推出∠CAE=∠CDB,求出∠AFB= ∠CDA+∠DAC,根据三角形内角和定理求出即可; (2)求出∠ACE=∠DCB,证△ACE≌△DCB,推出∠CAE=∠CDB,求出∠AFB=∠CDA+ ∠DAC,根据三角形内角和定理求出即可; (3)求出∠ACE=∠DCB,证△ACE≌△DCB,推出∠CAE=∠CDB,求出∠AFB=∠CEB+ ∠CBE,根据三角形内角和定理求出即可. 【解答】解:(1)∵∠ACD=∠BCE, ∴∠ACD+∠DCE=∠BCE+∠DCE, ∴∠ACE=∠DCB, 在△ACE 和△DCB 中

∴△ACE≌△DCB, ∴∠CAE=∠CDB, ∴∠AFB=∠CDB+∠CDA+∠DAE =∠CDA+∠DAE+∠BAE =∠CDA+∠DAC =180°﹣60° =120°, 故答案为:120°.

(2)解:∵∠ACD=∠BCE, ∴∠ACD+∠DCE=∠BCE+∠DCE, ∴∠ACE=∠DCB,

在△ACE 和△DCB 中

∴△ACE≌△DCB, ∴∠CAE=∠CDB, ∴∠AFB=∠CDB+∠CDA+∠DAE =∠CDA+∠DAE+∠BAE =∠CDA+∠DAC =180°﹣∠ACD =180°﹣α, 故答案为:180°﹣α

(3)∠AFB=180﹣α, 证明:∵∠ACD=∠BCE, ∴∠ACD+∠DCE=∠BCE+∠DCE, ∴∠ACE=∠DCB, 在△ACE 和△DCB 中

∴△ACE≌△DCB, ∴∠AEC=∠DBC, ∴∠AFB=∠AEC+∠CEB+∠EBD =∠DBC+∠CEB+∠EBC =∠CEB+∠EBC =180°﹣∠ECB =180°﹣α, 即∠AFB=180°﹣α 【点评】本题考查了全等三角形的性质和判定,三角形外角性质,三角形的内角和定理的应 用,关键是推出△ACE≌△DCB.



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