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7导数 山东文科数学历年真题



导数(文科专用)
——山东省历年高考文科试题规律与分析 (一)2012 年山东文科:
(22) (本小题满分 13 分) 已知函数 f ( x) ?

ln x ? k (k 为常数,e=2.71828…是自然对数的底数),曲线 y ? f ( x) 在点 ex

(1, f (1)) 处的切线与 x 轴平行.

>
(Ⅰ)求 k 的值; (Ⅱ)求 f ( x) 的单调区间; (Ⅲ)设 g ( x) ? xf ?( x) ,其中 f ?( x) 为 f ( x) 的导函数.证明:对任意 x ? 0, g ( x) ? 1 ? e?2 .
1 ? ln x ? k 1? k (I) f ?( x) ? x ,由已知, f ?(1) ? ? 0 ,∴ k ? 1 . ex e
[来源:学科网 ZXXK]

(22)

1 ? ln x ? 1 1 1 1 (II)由(I)知, f ?( x) ? x .设 k ( x) ? ? ln x ? 1 ,则 k ?( x) ? ? 2 ? ? 0 , x e x x x

即 k ( x) 在 (0, ??) 上是减函数,由 k (1) ? 0 知, 当 0 ? x ? 1 时 k ( x) ? 0 ,从而 f ?( x) ? 0 ,当 x ? 1 时 k ( x) ? 0 ,从而 f ?( x) ? 0 . 综上可知, f ( x) 的单调递增区间是 (0,1) ,单调递减区间是 (1, ??) . (III)由(II)可知, x ? 1 时,g ( x) ? xf ?( x) ≤0<1+ e?2 , 当 故只需证明 g ( x) ? 1 ? e?2 在 0 ? x ? 1 时成立. 当 0 ? x ? 1 时, e x >1,且 g ( x) ? 0 ,∴ g ( x) ?

1 ? x ln x ? x ? 1 ? x ln x ? x . ex

设 F ( x) ? 1 ? x ln x ? x , x ? (0,1) ,则 F ?( x) ? ?(ln x ? 2) , 当 x ? (0,e?2 ) 时, F ?( x) ? 0 ,当 x ? (e ?2,1) 时, F ?( x) ? 0 ,所以当 x ? e?2 时, F ( x) 取得最 大值 F (e?2 ) ? 1 ? e?2 .所以 g ( x) ? F ( x) ? 1 ? e?2 . 综上,对任意 x ? 0 , g ( x) ? 1 ? e?2 .

(二)2011 年山东文科:
4.曲线 y ? x ? 11在点 P(1,12)处的切线与 y 轴交点的纵坐标是
2

A.-9

B.-3

C.9

D.15

21. (本小题满分 12 分) 某企业拟建造如图所示的容器(不计厚度,长度单位:米) ,其中容器的中间为圆 柱形,左右两端均为半球形,按照设计要求容器的体积为

80? 立方米,且 l≥2 r .假 3

设该容器的建造费用仅与其表面积有关.已知圆柱形部分每平方米建造费用为 3 千元, 半球形部分每平方米建造费用为 c(c>3) .设该容器的建造费用为 y 千元. (Ⅰ)写出 y 关于 r 的函数表达式,并求该函数的定义域; (Ⅱ)求该容器的建造费用最小时的 r .

21.解: (I)设容器的容积为 V,由题意知 V ? ? r l ?
2

4 3 80? ? r , 又V ? , 3 3

4 V ? ? r3 80 4 4 20 3 故l ? ? 2 ? r ? ( 2 ? r ) ,由于 l ? 2r 因此 0 ? r ? 2. 2 ?r 3r 3 3 r 4 20 2 2 所以建造费用 y ? 2? rl ? 3 ? 4? r c ? 2? r ? ( 2 ? r ) ? 3 ? 4? r c, 3 r 160? 2 , 0 ? r ? 2. 因此 y ? 4? (c ? 2)r ? r 160? 8? (c ? 2) 3 20 (r ? ), 0 ? r ? 2. (II)由(I)得 y ' ? 8? (c ? 2)r ? 2 ? r r2 c?2
由于 c ? 3, 所以c ? 2 ? 0, 当 r ?
3

20 20 20 ? 0时, r ? 3 . 令3 ? m, 则 c?2 c?2 c?2

8? (c ? 2) (r ? m)(r 2 ? rm ? m 2 ). 2 r 9 (1)当 0 ? m ? 2即c ? 时, 2
所以 y ' ?

当r=m时,y'=0; 当r ?(0,m)时,y'<0; 当r ?(m,2)时,y'>0.
所以 r ? m 是函数 y 的极小值点,也是最小值点。 (2)当 m ? 2 即 3 ? c ? 的最小值点, 综上所述,当 3 ? c ? 当c ?

9 时,当 r ? (0, 2)时, y ' ? 0, 函数单调递减,所以 r=2 是函数 y 2

9 时,建造费用最小时 r ? 2; 2

9 20 时,建造费用最小时 r ? 3 . 2 c?2

(三)2010 年山东文科:
(8)已知某生产厂家的年利润 y (单位:万元)与年产量 x (单位:万件)的函数关系式 为y??

1 2 x ? 81x ? 234 ,则使该生产厂家获取最大年利润的年产量为 3
(B)11 万件 (C)9 万件 (D)7 万件

(A)13 万件

(10)观察 ( x2 )' ? 2 x ,( x 4 )' ? 4 x 2 , (cos x) ' ? ? sin x ,由归纳推理可得:若定义在 R 上的 函数 f ( x ) 满足 f (? x) ? f ( x) ,记 g ( x)为f ( x) 的导函数,则 g (? x) = (A) f ( x ) (B) ? f ( x) (C) g ( x) (D) ? g ( x)

(21) (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? 1nx ? ax ?

1? a ? 1(a ? R). x

(Ⅰ)当 a ? ?1 时,求曲线 ? f ( x)在点( ,f (2))处的切线方程; y 2 (Ⅱ)当 a≤

1 时,讨论 f ( x ) 的单调性. 2

(21)本小题主要考查导数的概念、导数的几何意义和利用导数研究函数性质的能力,考查 分类讨论思想、数形结合思想和等价变换思想。满分 12 分。 解: (Ⅰ) 当 a ? ?1 时,f ( x) ? ln x ? x ?

2 ? 1, x ? (0,?? ), x

所以

f ' ( x) ?

x2 ? x ? 2 , x ? ( 0?? ) 因此, f(2) 1, , ? x2

即 又

曲线 y ? f ( x)在点( ,f (2))处的切线斜率为, 2 1.

f (2) ? ln 2 ? 2, 所以曲线

y ? f ( x)在点( ,f (2))处的切线方程为 ? (ln 2 ? 2) ? x ? 2, 2 y 即x ? y ? ln 2 ? 0.
(Ⅱ)因为

f ( x) ? ln x ? ax ?

1? a ? 1, x

所以

f ' ( x) ?

1 a ?1 ax2 ? x ? 1 ? a ?a? 2 ?? x x x2

x ? (0,??) ,



g ( x) ? ax2 ? x ? 1 ? a, x ? (0,??),

(1)当 a ? 0时, h( x) ? ? x ? 1, x ? (0, ??) 所以,当 x ? (0,1)时, h( x) ? 0, 此时f ?( x) ? 0 ,函数 f ( x ) 单调递减;

当 x ? (1, ??) 时, h( x) ? 0 ,此时 f ?( x) ? 0,函数f(x)单调递
2 (2)当 a ? 0时,由f?(x)=0 ,即 ax ? x ? 1 ? a ? 0 ,解得 x1 ? 1, x2 ?

1 ?1 a

①当 a ?

1 时, x1 ? x2 , h( x) ? 0 恒成立, 2

此时 f ?( x) ? 0 ,函数 f ( x ) 在(0,+∞)上单调递减; ②当 0 ? a ?

1 1 时, ? 1 ? 1 ? 0 2 a

x ? (0,1) 时, h( x) ? 0, 此时f ?( x) ? 0,函数f ( x) 单调递减;
x ? (1, 1 ? 1) 时, h( x) ? 0, 此时f ?( x) ? 0,函数f ( x) 单调递增; a

1 x ? ( ? 1, ??)时, h( x) ? 0 ,此时 f ?( x) ? 0 ,函数 f ( x) 单调递减; a 1 ③当 a ? 0 时,由于 ? 1 ? 0 a

x ? (0,1) 时, h( x) ? 0 ,此时 f ?( x) ? 0 ,函数 f ( x) 单调递减; x ? (1, ??) 时, h( x) ? 0 ,此时 f ?( x) ? 0 ,函数 f ( x) 单调递增。
综上所述:当 a ? 0 时,函数 f ( x ) 在(0,1)上单调递减;函数 f ( x ) 在(1,+∞)

1 1 时,函数 f ( x ) 在(0,+∞)上单调递减;当 0 ? a ? 时,函 2 2 1 数 f ( x ) 在 ( 0 , 1 ) 上 单 调 递 减 ; 函 数 f ( x ) 在 (1, ? 1) 上 单 调 递 增 ; 函 数 a 1 f ( x)在( ? 1, ??) 上单调递减, a
上单调递增;当 a ?

(四)2009 年山东文科:
21.(本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ?

1 3 ax ? bx 2 ? x ? 3 ,其中 a ? 0 3

(1) 当 a, b 满足什么条件时, f (x) 取得极值? (2) 已知 a ? 0 ,且 f (x) 在区间 (0,1] 上单调递增,试用 a 表示出 b 的取值范围.
2 21 题解: (1)由已知得 f '( x) ? ax ? 2bx ? 1 ,令 f ' ( x) ? 0 ,得 ax ? 2bx ? 1 ? 0 ,
2

f (x) 要取得极值,方程 ax 2 ? 2bx ? 1 ? 0 必须有解,

所以△ ? 4b ? 4a ? 0 ,即 b ? a ,
2 2

此时方程 ax ? 2bx ? 1 ? 0 的根为
2

?2b ? 4b2 ? 4a ?b ? b2 ? a ?2b ? 4b2 ? 4a ?b ? b2 ? a , x2 ? , x1 ? ? ? 2a a 2a a
所以 f '( x) ? a( x ? x1 )( x ? x2 ) 当 a ? 0 时, x f’(x) f (x) (-∞,x1) + 增函数 x1 0 极大值 (x1,x2) - 减函数 x2 0 极小值 (x2,+∞) + 增函数

所以 f (x) 在 x 1, x2 处分别取得极大值和极小值. 当 a ? 0 时, x f’(x) f (x) (-∞,x2) - 减函数 x2 0 极小值 (x2,x1) + 增函数 x1 0 极大值
2

(x1,+∞) - 减函数

所以 f (x) 在 x 1, x2 处分别取得极大值和极小值.综上,当 a, b 满足 b ? a 时, f (x) 取得极值.
2 (2)要使 f (x) 在区间 (0,1] 上单调递增,需使 f '( x) ? ax ? 2bx ? 1 ? 0 在 (0,1] 上恒成立.

ax 1 ax 1 ? , x ? (0,1] 恒成立, 所以 b ? (? ? ) max 2 2x 2 2x 1 a( x 2 ? ) ax 1 a 1 a , ? 设 g ( x) ? ? , g '( x) ? ? ? 2 ? 2 2 2x 2 2x 2x
即b ? ? 令 g '( x) ? 0 得 x ?

1 1 或x?? (舍去), a a

当 a ? 1 时, 0 ?

1 ax 1 1 ? 1 ,当 x ? (0, ) 时 g '( x) ? 0 , g ( x) ? ? ? 单调增函数; a 2 2x a
当 x?(

ax 1 1 ,1] 时 g '( x) ? 0 , g ( x) ? ? ? 单调减函数, 2 2x a

所以当 x ?

1 1 )?? a. 时, g ( x) 取得最大,最大值为 g ( a a

所以 b ? ? a

当 0 ? a ? 1 时,

ax 1 1 在区间 ? 1 ,此时 g '(x ) ? 0在区间 (0,1] 恒成立,所以 g ( x) ? ? ? 2 2x a

(0,1] 上单调递增,当 x ? 1 时 g ( x) 最大,最大值为 g (1) ? ?
综上,当 a ? 1 时, b ? ? a ;

a ?1 a ?1 ,所以 b ? ? 2 2 a ?1 当 0 ? a ? 1 时, b ? ? 2

(五)2008 年山东文科:
21. (本小题满分 12 分) 设函数 f ( x) ? x2e x?1 ? ax3 ? bx2 ,已知 x ? ?2 和 x ? 1 为 f ( x ) 的极值点. (Ⅰ)求 a 和 b 的值; (Ⅱ)讨论 f ( x ) 的单调性; (Ⅲ)设 g ( x ) ?

2 3 x ? x 2 ,试比较 f ( x) 与 g ( x) 的大小. 3

21.解: (Ⅰ)因为 f ?( x) ? ex?1 (2 x ? x2 ) ? 3ax2 ? 2bx ? xex?1 ( x ? 2) ? x(3ax ? 2b) , 又 x ? ?2 和 x ? 1 为 f ( x ) 的极值点,所以 f ?(?2) ? f ?(1) ? 0 ,

因此 ?

??6a ? 2b ? 0, 1 解方程组得 a ? ? , b ? ?1 . 3 ?3 ? 3a ? 2b ? 0,
1 3

x ?1 (Ⅱ)因为 a ? ? , b ? ?1 ,所以 f ?( x) ? x( x ? 2)(e ?1) ,

令 f ?( x) ? 0 ,解得 x1 ? ?2 , x2 ? 0 , x3 ? 1 .

? 1) 0) , 因为当 x ? (??, 2) ?(0, 时, f ?( x) ? 0 ;当 x ? (?2, ? (1 ? ?) 时, f ?( x) ? 0 . 0) , ? 1) 所以 f ( x ) 在 (?2, 和 (1 ? ?) 上是单调递增的;在 (??, 2) 和 (0, 上是单调递减的.
(Ⅲ) (Ⅰ) 由 可知 f ( x) ? x e
2 x ?1

1 ? x3 ? x 2 ,故 f ( x) ? g ) ? x2 ( x e 3

x? 1

3 ?x ?2 (e x

1? x

) x , ?

令 h( x) ? e x?1 ? x ,则 h?( x) ? e x?1 ? 1 .令 h?( x) ? 0 ,得 x ? 1 ,因为 x ? ? ??, 时, 1?

h?( x) ≤ 0 ,所以 h( x) 在 x ? ? ??, 上单调递减.故 x ? ? ??, 时, h( x) ≥ h(1) ? 0 ; 1? 1?
因为 x??1 ? ?? 时, h?( x) ≥ 0 ,所以 h( x) 在 x??1 ? ?? 上单调递增.故 x??1 ? ?? 时, , , ,

? h( x) ≥ h(1) ? 0 .所以对任意 x ? (??, ?) ,恒有 h( x) ≥0 ,又 x 2 ≥ 0 ,因此 ? f ( x) ? g ( x) ≥ 0 ,故对任意 x ? (??, ?) ,恒有 f ( x) ≥ g ( x) .

(六)2007 年山东文科:
21. (本小题满分 12 分) 设函数 f ( x) ? ax2 ? b ln x ,其中 ab ? 0 . 证明:当 ab ? 0 时,函数 f ( x ) 没有极值点;当 ab ? 0 时,函数 f ( x ) 有且只有一个极 值点,并求出极值. 21. 证明:因为 f ( x) ? ax2 ? b ln x,ab ? 0 ,所以 f ( x ) 的定义域为 (0, ?) . ?

f ?( x ) ? 2ax ?

b 2ax 2 ? b ? . x x

? 当 ab ? 0 时,如果 a ? 0,b ? 0,f ?( x) ? 0,f ( x) 在 (0, ?) 上单调递增; ? 如果 a ? 0,b ? 0,f ?( x) ? 0,f ( x) 在 (0, ?) 上单调递减.
所以当 ab ? 0 ,函数 f ( x ) 没有极值点.

当 ab ? 0 时,

? b ?? b ? 2a ? x ? ? ?? x ? ? ? 2a ?? 2a ? f ?( x) ? ? x
得 x1 ? ? ?

令 f ?( x) ? 0 ,

b b , ? (0, ?) (舍去) x2 ? ? ?? (0, ?) , ? ? 2a 2a

当 a ? 0,b ? 0 时, f ?( x),f ( x) 随 x 的变化情况如下表:

x
f ?( x )
f ( x)
从上表可看出,

? b ? ? 0,? ? ? 2a ? ? ? ?
?

?

b 2a

? ? b ? ? ? ? , ?? ? 2a ? ?

0 极小值

?
?

函数 f ( x ) 有且只有一个极小值点,极小值为 f ? ? ?

? ?

b ? b? ? b ?? ? ? ? ?1 ? ln ? ? ? ? . ? 2a ? 2? ? 2a ? ?

当 a ? 0,b ? 0 时, f ?( x),f ( x) 随 x 的变化情况如下表:

x
f ?( x ) f ( x)

? b ? ? 0,? ? ? 2a ? ? ? ?
?

?

b 2a

? ? b ? ? ? ? , ?? ? 2a ? ?

0 极大值

?
?

从上表可看出, 函数 f ( x ) 有且只有一个极大值点,极大值为 f ? ? ?

? ?

b ? b? ? b ?? ? ? ? ?1 ? ln ? ? ? ? . ? 2a ? 2? ? 2a ? ?

综上所述, 当 ab ? 0 时,函数 f ( x ) 没有极值点; 当 ab ? 0 时, 若 a ? 0,b ? 0 时,函数 f ( x ) 有且只有一个极小值点,极小值为 ?

b? ? b ?? ?1 ? ln ? ? 2a ?? . 2? ? ?? b? ? b ?? ?1 ? ln ? ? 2a ?? 2? ? ??

若 a ? 0,b ? 0 时,函数 f ( x ) 有且只有一个极大值点,极大值为 ?



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