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【创新设计】(江苏专用)2017版高考数学一轮复习 第五章 平面向量 第2讲 平面向量基本定理及坐标表示习题



【创新设计】 (江苏专用)2017 版高考数学一轮复习 第五章 平面向 量 第 2 讲 平面向量基本定理及坐标表示习题 理 新人教 A 版
基础巩固题组 (建议用时:40 分钟) 一、填空题 → 1.已知点 A(1,3),B(4,-1),则与向量AB同方向的单位向量为________. → → → 解析 ∵AB=OB-OA=(4,-1)-(1,3)=(3,-4), →

4? AB ?3 → ∴与AB同方向的单位向量为 =? ,- ?. 5? → ?5 |AB| 4? ?3 答案 ? ,- ? 5 5? ? → → → → 2.在△ABC 中,点 P 在 BC 上,且BP=2PC,点 Q 是 AC 的中点,若PA=(4,3),PQ=(1,5), → 则BC等于________. → → → 解析 AQ=PQ-PA=(-3,2),∵Q 是 AC 的中点, → → → → → ∴AC=2AQ=(-6,4),PC=PA+AC=(-2,7), → → → → ∵BP=2PC,∴BC=3PC=(-6,21). 答案 (-6,21) 3.已知向量 a=(1, 2), b=(x, 1), u=a+2b, v=2a-b, 且 u∥v, 则实数 x 的值为________. 解析 因为 a=(1,2),b=(x,1),u=a+2b,v=2a-b,所以 u=(1,2)+2(x,1)= (2x+1,4),v=2(1,2)-(x,1)=(2-x,3).又因为 u∥v,所以 3(2x+1)-4(2-x) 1 =0,即 10x=5,解得 x= . 2 答案 1 2

4.(2016·青岛质量检测)已知向量 a=(-1, 2), b=(3, m), m∈R, 则“m=-6”是“a∥(a +b)”的________条件(填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也 不必要”). 解析 由题意得 a+b=(2,2+m),由 a∥(a+b),得-1×(2+m)=2×2,所以 m=-6, 则“m=-6”是“a∥(a+b)”的充要条件.
1

答案 充要 → → 5.(2016·南京、盐城调研)已知点 M 是△ABC 的边 BC 的中点,点 E 在边 AC 上,且EC=2AE, → → → 则向量EM=________(用AB,AC表示). → → 解析 如图,∵EC=2AE, → → → 2→ ∴EM=EC+CM= AC+ 3 1→ 2→ 1 → → 1→ 1→ CB= AC+ (AB-AC)= AB+ AC. 2 3 2 2 6 答案 1→ 1→ AB+ AC 2 6

1 1 6.若三点 A(2,2),B(a,0),C(0,b)(ab≠0)共线,则 + 的值为________.

a b

→ → 解析 AB=(a-2,-2),AC=(-2,b-2),依题意,有(a-2)(b-2)-4=0,即 ab-2a 1 1 1 -2b=0,所以 + = . a b 2 答案 1 2

7.已知向量 a=(k,3),b=(1,4),c=(2,1),且(2a-3b)∥c,则实数 k=________. 解析 因为 2a-3b=(2k-3,-6),(2a-3b)∥c,所以? 2×(-6)-1×(2k-3)=0,

9 即 2k=-9,∴k=- . 2 9 答案 - 2 1 2 → → → 8.设 D,E 分别是△ABC 的边 AB,BC 上的点,AD= AB,BE= BC.若DE=λ 1AB+λ 2AC(λ 1, 2 3 λ 2 为实数),则 λ 1+λ 2 的值为________. 1→ 2→ 1 2 → → → 1→ 2→ 1→ 2 → → 解析 DE=DB+BE= AB+ BC= AB+ (BA+AC)=- AB+ AC,所以 λ 1=- ,λ 2= , 2 3 2 3 6 3 6 3 1 即 λ 1+λ 2= . 2 答案 1 2

二、解答题 → → → 9.已知 O(0,0),A(1,2),B(4,5)及OP=OA+tAB,试问: (1)t 为何值时,P 在 x 轴上?在 y 轴上?在第三象限? (2)四边形 OABP 能否成为平行四边形,若能,求出相应的 t 值;若不能,请说明理由.
2



→ → (1)∵OA=(1,2),AB=(3,3),

→ → → ∴OP=OA+tAB=(1+3t,2+3t). 2 若点 P 在 x 轴上,则 2+3t=0,解得 t=- ; 3 1 若点 P 在 y 轴上,则 1+3t=0,解得 t=- ; 3
? ?1+3t<0, 2 若点 P 在第三象限,则? 解得 t<- . 3 ?2+3t<0. ?

→ → (2)若四边形 OABP 为平行四边形,则OP=AB,
?1+3t=3, ? ∴? ∵该方程组无解,∴四边形 OABP 不能成为平行四边形. ?2+3t=3. ?

→ 10.如图,在平行四边形 ABCD 中,M,N 分别为 DC,BC 的中点,已知AM → → → =c,AN=d,试用 c,d 表示AB,AD. → → 解 法一 设AB=a,AD=b, → → ? 1 ? 则 a=AN+NB=d+?- b?,① ? 2 ? → → ? ? b=AM+MD=c+?- a?.② 1 ? 2 ?

? 1?? ? 1 ?? 将②代入①,得 a=d+?- ??c+?- a??, ? 2?? ? 2 ??
4 2 2 ∴a= d- c= (2d-c),③ 3 3 3 2 → 2 → 2 ? 1? 2 将③代入②,得 b=c+?- ?× (2d-c)= (2c-d).∴AB= (2d-c),AD= (2c-d). 3 3 3 ? 2? 3 → → 法二 设AB=a,AD=b.因 M,N 分别为 CD,BC 的中点, → 1 → 1 所以BN= b,DM= a, 2 2 1 2 ? ?c=b+2a, ? ?a=3(2d-c), 因而? ?? 1 2 ?d=a+2b ? ?b=3(2c-d), ? → 2 → 2 即AB= (2d-c),AD= (2c-d). 3 3 能力提升题组 (建议用时:20 分钟)
3

→ → 11.(2016·南通调研)如图, 在△OAB 中, P 为线段 AB 上的一点, OP=xOA+

yOB,且BP=2 PA,则 x=________,y=________.
→ → → → → → → 2→ → 2 → → 2→ 1→ 解析 由题意知OP=OB+BP,又BP=2PA,所以OP=OB+ BA=OB+ (OA-OB)= OA+ OB, 3 3 3 3 2 1 所以 x= ,y= . 3 3 答案 2 1 3 3







12.在平面直角坐标系 xOy 中,已知 A(1,0),B(0,1),C 为坐标平面内第一象限内一点, π → → → 且∠AOC= ,且|OC|=2,若OC=λ OA+μ OB,则 λ +μ =________. 4 π 解析 因为|OC|=2,∠AOC= ,所以 C( 2, 2), 4 → → → 又OC=λ OA+μ OB,所以( 2, 2)=λ (1,0)+μ (0,1)=(λ ,μ ),所以 λ =μ = 2,λ +μ =2 2. 答案 2 2 λ 13.向量 a,b,c 在正方形网格中的位置如图所示,若 c=λ a+μ b(λ ,μ ∈R),则 = μ ________.

解析 以向量 a 和 b 的交点为原点建立如图所示的平面直角坐标系(设每个 小正方形边长为 1),则 A(1,-1),B(6,2),C(5,-1), → → → ∴a=AO=(-1,1),b=OB=(6,2),c=BC=(-1,-3). ∵c=λ a+μ b, ∴(-1,-3)=λ (-1,1)+μ (6,2), 即-λ +6μ =-1,λ +2μ =-3, 1 解得 λ =-2,μ =- , 2

4

λ ∴ =4. μ 答案 4 14. 如图,已知点 A(1,0),B(0,2),C(-1,-2),求以 A,B,C 为顶点 的平行四边形的第四个顶点 D 的坐标. 解 如图所示,以 A,B,C 为顶点的平行四边形可以有三种情况: ① ?ABCD;②?ADBC;③?ABDC.设 D 的坐标为(x,y), → → ①若是?ABCD,则由AB=DC,得(0,2)-(1,0)=(-1,-2)-(x,y), 即(-1,2)=(-1-x,-2-y),
?-1-x=-1, ? ∴? ?-2-y=2, ?

∴x=0,y=-4. ∴D 点的坐标为(0,-4)(如图中所示的 D1). → → ②若是?ADBC,由CB=AD,得 (0,2)-(-1,-2)=(x,y)-(1,0), 即(1,4)=(x-1,y), 解得 x=2,y=4. ∴D 点的坐标为(2,4)(如图中所示的 D2). → → ③若是?ABDC,则由AB=CD,得 (0,2)-(1,0)=(x,y)-(-1,-2), 即(-1,2)=(x+1,y+2). 解得 x=-2,y=0. ∴D 点的坐标为(-2,0)(如图中所示的 D3), ∴以 A,B,C 为顶点的平行四边形的第四个顶点 D 的坐标为(0,-4)或(2,4)或(-2,0).

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