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湖北省武汉市武汉中学2014-2015学年高二数学上学期期中试题 文



湖北省部分重点中学 2014-2015 学年度上学期高二期中考试 数 学 试 卷(文科)
考试时间:11 月 14 日 14:00-16:00 本卷满分 150 分 一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是满足题目要求的. 1.直线 3x+3y ? 1 ? 0 的倾斜角是 ( )

A.1

20? B.135? C.150? D.30? 2.对一个容量为 N 的总体抽取容量为 n 的样本,当选取简单随机抽样、系统抽样和分层抽样 三种不同方法抽取样本时,总体中每个个体被抽中的概率分别为 p1,p2,p3,则( ) A.p1=p2<p3 B.p2=p3<p1 C.p1=p3<p2 D.p1=p2=p3 3. 从装有 2 个红球和 2 个黑球的口袋内任取得 2 个球,那么互斥而不对立的两 个事件是( ) A.至少有 1 个黑球与都是黑球 B.至少有 1 个红球与都是黑球 C.至少有 1 个黑球与至少有 1 个红球 D.恰有 1 个黑球 与恰有 2 个黑球 4.对某同学的 6 次数学测试成绩(满分 100 分)进行统计,作出的茎叶图如图所 示,给出关于该同学数学成绩的以下说法: ①中位数为 83; ②众数为 83; 7 8 ③平均数为 85; ④极差为 12. 8 3 3 5 其中,正确说法的序号是( ) 9 1 0 A. ①② B. ②③ C. ③④ D. ②④

5.已知变量 x 与 y 负相关,且由观测数据算得样本平均数 x =3, y =3.5,则 由该观测数据算得的线性回归方程可能是( ^=-2x+9.5 A.y ^=-0.3x-4.4 C.y )

^=2x-2.4 B.y D.^ y=0.4x+2.3 )

6. 某三棱锥的三视图如下左图所示,该三棱锥的表面积是 ( A.30+6 5 B.28+6 5 C.56+12 5 D.60+12 5 7. 若某程序框图如下右图所示,则输出的 p 的值是( )

-1-

A.21 C.30

B.28 D.55

8.设 A、B、C、D 是球面上的四点,AB、AC、AD 两两互相垂直,且 AB ? 5 ,

AC ? 4 , AD ? 23 ,则球的表面积为(
A. 36? B. 64?

) D.

C. 100 ?

144 ?

9.过点(1,2)总可以作两条直线与圆 x 2 ? y 2 ? kx ? 2 y ? k 2 ? 15 ? 0 相切,则 k 的取值范 围是( ) B. k ? ?3 或 2 ? k ? D. ?

A. k ? ?3 或 k ? 2 C. k ? 2 或 ?

8 3 3

8 3 ? k ? ?3 3

8 8 3 ? k ? ?3 或 2 ? k ? 3 3 3

2 10. 设点 P 是函数 y ? ? 4 ? ( x ? 1) 图象上的任意一点, 点

Q(2a, a ? 3) ( a ? R ) ,

则 | PQ | 的最小值为(

)

A.

5 ?2

B. 5

C.

8 5 ?2 5

D.

7 5 ?2 5

二、填空题:本大题共 7 小题,每小题 5 分,共 35 分.请将答案填在答题卡对应题号的位置 ................ 上 . . 11.某单位有职工 200 名,现要从中抽取 40 名职工作样本,用系统抽样法,将全体职工随机 按 1-200 编号,并按编号顺序平均分为 40 组(1-5 号,6-10 号,…,196-200 号).若第 5 组抽出的号码为 23,则第 10 组抽出的号码应是 . 12. 若数据组 k1 , k2 , ???, k8 的平均数为 4,方差为 2,则 3k1 ? 2,3k2 ? 2, ???,3k8 ? 2 的平均数为

________ ,方差为 ________ .
13. 若直线 x+m y+6=0 与直线(m-2)x+3y+2m=0 平行,则 m 的值为________.
?0 ? x ? 2 14. 设不等式组 ? 表示的平面区域为 D ,在区域 D 内随机取一个点,此点到坐标原点 ?0 ? y ? 2

的距离不小于 2 的概率是________. 15. 用更相减损术或辗转相除法求 459 和 357 的最大公约数为__________. 16.已知 P 是直线 3x ? 4 y ? 11 ? 0 上的动点,PA,PB 是圆 x ? y ? 2 x ? 2 y ? 1 ? 0 的切线,
2 2

A,B 是切点,C 是圆心,那么四边形 PACB 的面积的最小值是___________. 17.如图,ABCD-A1B1C1D1 为正方体,下面结论中正确的是________.(把你认为正确的结论都 填上) ①BD∥平面 CB1D1;

-2-

②AC1⊥平面 CB1D1; ③AC1 与底面 ABCD 所成角的正切值是 2; ④二面角 C—B1D1-C1 的正切值是 2; ⑤过点 A1 与异面直线 AD 与 CB1 成 70°角的直线有 2 条.

三、解答题:本大题共 5 个小题,共 65 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 18. (本小题满分 12 分)
6}, 已知向量 a ? ( x, ?1) , 其中 x 随机选自集合 { ? 1, 1, 3 } ,y 随机选自集合 { ? 2, 2, b ? (2, y) ,

(Ⅰ)求 a // b 的概率;

(Ⅱ)求 a ? b 的概率.

19. (本小题满分 13 分) 某校 100 名学生期中考试数学成绩的频率分布直方图如图,其中成绩分组区间如下: 组号 分组 第一组 [50,60) 第二组 [60,70) 第三组 [70,80) 第四组 [80,90) 第五组 [90,100]

(Ⅰ)求图中 a 的值; (Ⅱ)根据频率分布直方图,估计这 100 名学生期中考试数学成绩的平均分; (Ⅲ)现用分层抽样的方法从第 3、4、5 组中随机抽取 6 名学生,将该样本看成一个总体, 从中随机抽取 2 名,求其中恰有 1 人的分数不低于 90 分的概率?
频率 组距 0.035 0.030 0.020 0.010 a

O 20. (本小题满分 13 分)已知 ABCD ? A1 B1C1 D1 是 方体,求:

_ 50

60 70 80 90 100

成绩
D

边长为 1 的正

C
A

(Ⅰ) 直线 AC1 与平面 AA1 B1 B 所成角的正切值; (Ⅱ)二面角 B ? AC1 ? B1 的大小.
B

A1
B1

D1

21. (本小题满分 13 分) 已知曲线 C: x ? y ? 2 x ? 4 y ? m ? 0 ,O 为
2 2

C1

坐标原点

(Ⅰ)当 m 为何值时,曲线 C 表示圆;

-3-

(Ⅱ)若曲线 C 与直线 x ? 2 y ? 3 ? 0 交于 M、N 两点,且 OM⊥ON,求 m 的值.

22. (本小题满分 14 分)已知 A,B 分别是直线 y=x 和 y=-x 上的两个动点,线段 AB 的长 为 2 3 ,D 是 AB 的中点. (Ⅰ)求动点 D 的轨迹 C 的方程; (Ⅱ)若过点(1,0)的直线 l 与曲线 C 交于不同两点 P、Q, ① 当|PQ|=3 时,求直线 l 的方程; ② 试问在 x 轴上是否存在点 E(m,0),使 PE · QE 恒为定值?若存在,求出 E 点的坐标 及定值;若不存在,请说明理由. 湖北省部分重点中学 2014-2015 学年度上学期高二期中考试 文科数学参考答案 一、选择题(每小题 5 分,共 50 分) 题号 答案 1 C 2 D 3 D 4 B 5 A 6 A 7 C 8 B 9 D 10 A

二、填空题(每小题 5 分,共 35 分)

48 51

14 , 18

m ? ?1
①②④

1?

? 4

3

三、解答题(共 65 分) 18.解:则基本事件空间包含的基本事件有:(-1,-2),(-1,2),(-1,6), (1,-2),(1,2),(1,6),(3,-2),(3,2),(3,6),共 9 种.…………………4 分 (Ⅰ)设“ a // b ”事件为 A ,则 xy ? ?2 . 事件 A 包含的基本事件有(-1,2),(1,-2) 共 2 种. ∴ a // b 的概率为 P ? A ? ?

2 . 9

…………………8 分

(Ⅱ)设“ a ? b ” 事件为 B ,则 y ? 2 x . 事件 A 包含的基本事件有(-1,-2), (1,2),(3,6)共 3 种. ∴ a ? b 的概率为 P ? B ? ? 19. 解: (Ⅰ)由题意得 10a ? 0.01?10 ? 0.02 ?10 ? 0.03 ?10 ? 0.035 ?10 ? 1 ,所以 a ? 0.005 . …………………3 分 (Ⅱ) 由直方图分数在[50,60]的频率为 0.05, [60,70]的频率为 0.35, [70,80]的频率为 0.30, [80,90]的频率为 0.20, [90,100]的频率为 0.10, 所以这 100 名学生期中考试数学成绩 的平均分的估计值为: 55 ? 0.05 ? 65 ? 0.35 ? 75 ? 0.30 ? 85 ? 0.20 ? 95 ? 0.10 ? 74.5
-4-

3 1 ? . 9 3

…………………12 分

………………6 分 (Ⅲ)由直方图,得: 第 3 组人数为 0.3 ? 100 ? 30 , 第 4 组人数为 0.2 ? 100 ? 20 人, 第 5 组人数为 0.1 ? 100 ? 10 人. 所以利用分层抽样在 60 名学生中抽取 6 名学生, 每组分别为:

频率 组距 0.035 0.030 0.020 0.010 a

30 ? 6 ? 3 人, 60 20 ? 6 ? 2 人, 第 4 组: 60 10 ? 6 ? 1 人. 第 5 组: 60
第 3 组: 所以第 3、4、5 组分别抽取 3 人、2 人、1 人.

O

_ 50

60 70 80 90 100

成绩

…………………9 分

设第 3 组的 3 位同学为 A1 , A2 , A3 , 第 4 组的 2 位同学为 B1 , B2 , 第 5 组的 1 位同学为 C1 , 则从六位同学中抽两位同学有 15 种可能如下:

( A1 , A2 ), ( A1 , A3 ), ( A1 , B1 ), ( A1 , B2 ), ( A1 , C1 ), ( A2 , A3 ), ( A2 , B1 ), ( A2 , B2 ), ( A2 , C1 ), ( A3 , B1 ), ( A3 , B2 ), ( A3 , C1 ), ( B1 , B2 ), ( B1 , C1 ), ( B2 , C1 ),
其中恰有 1 人的分数不低于 90 分的情形有:

( A1 , C1 ) , ( A2 , C1 ) , ( A3 , C1 ) , ( B1 , C1 ) , ( B2 , C1 ) ,共 5 种.…………………13 分
所以其中第 4 组的 2 位同学至少有一位同学入选的概率为 20 . 解: (Ⅰ)连结 AB1 ,∵ ABCD ? A1 B1C1 D1 是正方体 ∴ B1C1 ? 平面ABB1 A1 , AB1 是 AC1 在平面 AA1 B1 B 上的射影 ∴ ?C1 AB1 就是 AC1 与平面 AA1 B1 B 所成的角
E B

5 1 ? 15 3
A
D

C

在 ?C1 AB1 中, tan ?C1 AB1 ?

1

2 ? 2 2

F

A1

D1

∴直线 AC1 与平面 AA1 B1 B 所成的角的正切值为

2 2

B1

C1

…………………6 分 (Ⅱ)过 B1 作 B1 E ? BC1 于 E ,过 E 作 EF ? AC1 于 F ,连结 B1 F 下证 ?B1 FE 是二面角 B ? AC1 ? B1 的平面角: 由题意 AB ? 平面BCC1 B1 ,又 B1 E ? 平面BCC1 B1 ,? AB ? B1 E 又 B1 E ? BC1 , AB BC1 ? B ,? B1 E ? 平面ABC1 ,
AC1 ? ABC1 , ? B1 E ? AC1 ,又 EF ? AC1 ,从而 AC1 ? B1 EF

-5-

B1 F ? 平面B1 EF ,? AC1 ? B1 F ,故 ?B1 FE 是二面角 B ? AC1 ? B1 的平面角

1 2 在 Rt ?BB1C1 中, , B1 E ? C1 E ? BC1 ? , 2 2

在 Rt ?ABC1 中, sin ?BC1 A ? ∴ tan ?B1 FE ?
B1 E ? 3 EF

3 6 ∴ EF ? C 1 E ? sin ?BC1 A ? , 3 6

∴ ?B1 FE ? 60 ,即二面角 B ? AC1 ? B1 的大小为 60 …………………13 分

21.解: (Ⅰ)由题意可知: D2 ? E 2 ? 4F ? (?2)2 ? (?4)2 ? 4m ? 20 ? 4m ? 0

? m?5

…………………3 分

(Ⅱ )设 M ( x1, y1) , N ( x2 ,y2 ) ,由题意 OM⊥ON,则 OM ? ON ? 0 , 即 x1 x2 ? y1y2 ? 0 联立直线方程和圆的方程: ? ……………(1)

? x2 ? y 2 ? 2x ? 4 y ? m ? 0 ?x ? 2 y ? 3 ? 0

消去 x 得到关于 y 的一元二次方程: 5 y 2 ?12 y ? 3 ? m ? 0 直线与圆有两个交点,?? ? b ? 4ac ? 12 ? 4 ? 5 ? m ? 0 ,即 m ? 3 ?
2 2

36 21 ,m? 5 5

又由(Ⅰ) m ? 5 , 由韦达定理: y1 ? y2 ?

? m?

21 5
……………(2)

12 3? m , y1 y2 ? 5 5

又点 M ( x1, y1) , N ( x2 ,y2 ) 在直线 x ? 2 y ? 3 ? 0 上,? x1 ? 3 ? 2 y1 , x2 ? 3 ? 2 y2 代入(1)式得: (3 ? 2 y1 )(3 ? 2y2 ) ? y1 y2 ? 0 , 5 y1 y2 ? 6( y1 ? y2 ) ? 9 ? 0 将(2)式代入上式得到: 3 ? m ? 6?

12 ? 9 ? 0 , m ? 12 ? 21 5 5 5
…………………13 分

? m?

12 5
a ?b a?b ,y= , 2 2
2

22. 解: (Ⅰ)设 D(x,y),A(a,a),B(b,-b), ∵ D 是 AB 的中点, ∴x=
2

∵ |AB|=2 3 ,∴(a-b) +(a+b) =12, ∴(2y) +(2x) =12,∴点 D 的轨迹 C 的方程为 x +y =3.
2 2 2 2

…………………5 分

(Ⅱ)①当直线 l 与 x 轴垂直时,P(1, 2 ),Q(1,- 2 ),此时|PQ|=2 2 ,不符合题意;

-6-

当直线 l 与 x 轴不垂直时,设直线 l 的方程为 y=k(x-1),由于|PQ|=3,所以圆心 C 到 直线 l 的距离为
| ?k | 3 3 , 由 = , 解得 k= ? 3 .故直线 l 的方程为 y= ? 3 (x-1). 2 2 2 k ?1

②当直线 l 的斜率存在时,设其斜率为 k,则 l 的方程为 y=k(x-1), 由消去 y 得(k +1)x -2k x+k -3=0, 设 P(x1,y1),Q(x2,y2)则由韦达定理得 x1+x2= 则 PE =(m-x1,-y1), QE =(m-x2,-y2), ∴ PE · QE =(m-x1)(m-x2)+y1y2=m -m(x1+x2)+x1x2+y1y2 =m -m(x1+x2)+x1x2+k (x1-1)(x2-1) =m -
2 2 2 2 2 2 2 2

2k 2 k2 ? 3 ,x1x2= 2 , 2 k ?1 k ?1

(m2 ? 2m ? 1)k 2 ? m2 ? 3 2mk 2 k2 ? 3 k2 ? 3 2k 2 2 + 2 +k ( 2 - 2 +1)= 2 k 2 ?1 k ?1 k ?1 k ?1 k ?1 m2 ? 2m ? 1 =1,解得 m=1,∴ PE · QE 为定值-2, m2 ? 3

要使上式为定值须

当直线 l 的斜率不存在时 P(1, 2 ),Q(1,- 2 ), 由 E(1,0)可得 PE =(0,- 2 ), QE =(0, 2 ), ∴ PE · QE =-2, 综上所述当 E(1,0)时, PE · QE 为定值-2 分 . …………………14

-7-



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