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2016年河北省唐山市高考数学二模试卷(理科)(解析版)



2016 年河北省唐山市高考数学二模试卷(理科)
一、选择题:共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分。在每个小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的一项。 1.数 z 满足(1+z) (1+2i)=i,则复平面内表示复数 z 的点位于( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 2.已知 a,b 为实数,则“a3<b3”是“2a<2b”的

( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件 3.已知甲在上班途中要经过两个路口,在第一个路口遇到红灯的概率为 0.5,两个路口连续 遇到红灯的概率为 0.4,则甲在第一个路口遇到红灯的条件下,第二个路口遇到红灯的概率 为( ) A.0.6 B.0.7 C.0.8 D.0.9 4.执行如图的程序框图,若输入 M 的值为 1,则输出的 S=( )

A.6 B.12 C.14 D.20 5.在?ABCD 中,AB=2AD=4,∠BAD=60°,E 为 BC 的中点,则 A.6 B.12 C.﹣6 D.﹣12 6.设椭圆 C:y2+

?

=(



=1(0<m<1)的两焦点分别为 F1,F2,若在椭圆 C 上存在点 P 使得 )

PF1⊥PF2,则 m 的取值范围是( A.[ ,1) B. (0,

] C.[ ,1) D. ( 0, ] )+2sin sin(x+ D. ) )的最大值是( )

7.函数 f(x)=cos(x+ A.1 B.sin

C.2sin

8.曲线 y= A.

和 x2+y2=2 及 x 轴所围成的封闭图形的面积是( B. C. D.

9.5 名大学生为唐山世界园艺博览会的 3 个场馆提供翻译服务,每个场馆分配一名或两名 大学生,则不同的分配方法有( )
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A.90 种B.180 种 C.270 种 D.360 种 10.在四棱锥 P﹣ABCD 中,PA⊥底面 ABCD,底面 ABCD 为正方形,PA=AB,该四棱锥 被一平面截去一部分后, 剩余部分的三视图如图, 则截去部分体积与剩余部分体积的比值为 ( )

A.

B.

C.

D. x 在[0,1)上的最大值为 m,在(1,2]上的最小值为

11.已知函数 f(x)= n,则 m+n=( ) A.﹣2 B.﹣1 C.1

D.2 的最小值是( )

12.在等边△ABC 中,M 为△ABC 内一动点,∠BMC=120°,则 A.1 B. C. D.

二、填空题: (本题共 4 小题,每题 5 分,共 20 分) 13.设双曲线的焦点在 x 轴上,两条渐近线方程为 y=± x,则离心率 e 为 .

14.若实数 x,y 满足

,则 z=3x+4y 的最大值是



15.已知 AB 是球 O 的直径,C,D 为球面上两动点,AB⊥CD,若四面体 ABCD 体积的最 大值为 9,则球 O 的表面积为 . 3 2 16. 当 x∈[﹣1, +∞) 时, 不等式 x ﹣ax ﹣4x+8≥0 恒成立, 则 a 的取值范围是 . 三、简答题:本大题共 70 分。 (解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 17.已知数列{an}的前 n 项和为 Sn,a1=2,2Sn=(n+1)2an﹣n2an+1,数列{bn}满足 b1=1, bnbn+1= .

(I)求数列{an}的通项公式; (Ⅱ)是否存在正实数 λ,便得{bn}为等比数列?并说明理由. 18.二手车经销商小王对其所经营的某一型号二手汽车的使用年数 x(0<x≤10)与销售价 格 y(单位:万元/辆)进行整理,得到如表的对应数据: 2 4 6 8 10 使用年数
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售价

16

13

9.5

7

4.5

(Ⅰ)试求 y 关于 x 的回归直线方程; (参考公式:

=



= ﹣



(Ⅱ)已知每辆该型号汽车的收购价格为 w=0.05x2﹣1.75x+17.2 万元,根据(Ⅰ)中所求的 回归方程,预测 x 为何值时,小王销售一辆该型号汽车所获得的利润 z 最大? 19.如图,直角三角形 ABC 中,∠BAC=60°,点 F 在斜边 AB 上,且 AB=4AF.D,E 是平 面 ABC 同一侧的两点,AD⊥平面 ABC,BE⊥平面 ABC,AD=3,AC=BE=4. (Ⅰ)求证:平面 CDF⊥平面 CEF; (Ⅱ)点 M 在线段 BC 上,异面直线 CF 与 EM 所成角的余弦值为 ,求 CM 的长.

20.已知点 F 为抛物线 C:x2=4y 的焦点,A,B,D 为抛物线 C 上三点,且点 A 在第一象 限,直线 AB 经过点 F,BD 与抛物线 C 在在点 A 处的切线平行,点 M 为 BD 的中点 (Ⅰ)求证:AM 与 y 轴平行; (Ⅱ)求△ABD 面积 S 的最小值. 21.已知函数 f(x)=xlnx+a,直线 y=x 与曲线 y=f(x)相切. (Ⅰ)求 a 的值; (Ⅱ)证明:xex﹣1[f(x)﹣2]+f(x)≥0. 请考生在 22、23、24 三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分.[选修 4-1: 几何证明选讲] 22.如图,四边形 ABCD 内接于圆 O,AC 与 BD 相交于点 F,AE 与圆 O 相切于点 A,与 CD 的延长线相交于点 E,∠ADE=∠BDC. (Ⅰ)证明:A、E、D、F 四点共圆; (Ⅱ)证明:AB∥EF.

[选修 4-4:坐标系与参数方程]

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23.在直角坐标系 xOy 中,曲线 C1:

(φ 为参数,0<φ<π) ,曲线 C2 与曲

线 C1 关于原点对称,以 O 为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线 C3 的极坐标方程 为 ρ=2(0<θ<π) ,过极点 O 的直线 l 分别与曲线 C1,C2,C3 相交于点 A,B,C. (Ⅰ)求曲线 C1 的极坐标方程; (Ⅱ)求|AC|?|BC|的取值范围. [选修 4-5:不等式选讲] 24.已知函数 f(x)=|x+1|+m|x﹣1|. (Ⅰ)当 m=2 时,求不等式 f(x)<4 的解集; (Ⅱ)若 m<0,f(x)≥2m,求 m 的最小值.

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2016 年河北省唐山市高考数学二模试卷(理科)
参考答案与试题解析

一、选择题:共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分。在每个小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的一项。 1.数 z 满足(1+z) (1+2i)=i,则复平面内表示复数 z 的点位于( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 【考点】复数代数形式的乘除运算. 【分析】由(1+z) (1+2i)=i,得到 ,再利用复数代数形式的乘除运算化简,求

出复平面内表示复数 z 的点的坐标,则答案可求. 【解答】解:由(1+z) (1+2i)=i, 得 则复平面内表示复数 z 的点的坐标为: ( 故选:B. 2.已知 a,b 为实数,则“a3<b3”是“2a<2b”的( A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件 ) = ,

, ) ,位于第二象限.

【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断. 【分析】利用函数 y=x3,y=2x 在 R 上单调递增即可得出. 【解答】解:由于函数 y=x3,y=2x 在 R 上单调递增,∴a3<b3”?a<b?“2a<2b”. ∴“a3<b3”是“2a<2b”的充要条件. 故选:C. 3.已知甲在上班途中要经过两个路口,在第一个路口遇到红灯的概率为 0.5,两个路口连续 遇到红灯的概率为 0.4,则甲在第一个路口遇到红灯的条件下,第二个路口遇到红灯的概率 为( A.0.6 ) B.0.7 C.0.8 D.0.9 【考点】条件概率与独立事件. 【分析】由题意可知 P(A)=0.5,P(AB)=0.4,利用条件概率公式可求得 P(B 丨 A)的 值. 【解答】解:设第一个路口遇到红灯概率为 A,第二个路口遇到红灯的事件为 B, 则 P(A)=0.5,P(AB)=0.4, 则 P(B 丨 A)= 故答案选:C. 4.执行如图的程序框图,若输入 M 的值为 1,则输出的 S=( ) =0.8,

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A.6

B.12

C.14

D.20

【考点】程序框图. 【分析】模拟执行程序框图,依次写出每次循环得到的 M,S,k 的值,当 k=4 时不满足条 件 k≤3,退出循环,输出 S 的值为 12. 【解答】解:模拟执行程序,可得 M=1,S=1,k=1 满足条件 k≤3,M=3,S=4,k=2 满足条件 k≤3,M=2,S=6,k=3 满足条件 k≤3,M=6,S=12,k=4 不满足条件 k≤3,退出循环,输出 S 的值为 12. 故选:B. 5.在?ABCD 中,AB=2AD=4,∠BAD=60°,E 为 BC 的中点,则 A.6 B.12 C.﹣6 D.﹣12 ? =( )

【考点】平面向量数量积的运算. 【分析】建立平面直角坐标系,代入各点坐标计算 【解答】解以 AB 所在直线为 x 轴,以 A 为坐标原点建立平面直角坐标系, 则 A(0,0) ,B(4,0) ,C(5, =( , ∴ . 故选:D =(﹣3, = ) , ) =﹣12, ) ,D(1, ) .E( , )

6.设椭圆 C:y2+

=1(0<m<1)的两焦点分别为 F1,F2,若在椭圆 C 上存在点 P 使得 )

PF1⊥PF2,则 m 的取值范围是( A.[ ,1) B. (0,

] C.[ ,1) D. ( 0, ]

【考点】椭圆的简单性质.
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【分析】求得椭圆的 a,b,c,在椭圆 C 上存在点 P 使得 PF1⊥PF2,等价为以 F1F2 为直径 的圆与椭圆有交点,即有 c≥b,解不等式即可得到所求范围. 【解答】解:椭圆 C:y2+ =1(0<m<1)的 a=1,b=m,c= ,

在椭圆 C 上存在点 P 使得 PF1⊥PF2,等价为以 F1F2 为直径的圆与椭圆有交点, 即有 c≥b,即 ≥m, .

即为 2m2≤1,解得 0<m≤ 故选:B.

7.函数 f(x)=cos(x+ A.1 B.sin

)+2sin

sin(x+ D.

)的最大值是(



C.2sin

【考点】三角函数的最值. 【分析】由三角函数公式整体可得 f(x)=cosx,可得函数的最大值为 1. 【解答】解:由三角函数公式可得 f(x)=cos(x+ =cos[(x+ =cos(x+ =cos(x+ =cos[(x+ )+ )cos )cos )﹣ ]+2sin sin(x+ )sin )sin ) +2sin sin(x+ ) )+2sin sin(x+ )

﹣sin(x+ +sin(x+ ]=cosx,

∴函数的最大值为 1. 故选:A. 8.曲线 y= A. 和 x2+y2=2 及 x 轴所围成的封闭图形的面积是( B. C. D. )

【考点】定积分在求面积中的应用. 【分析】首先求出曲线的交点,S 阴影=S 扇形 0AC﹣S 三角形 OBA+S 曲多边形 OBA,分别求出其面积, 问题得以解决. 【解答】解:曲线 y= 由 和 x2+y2=2 及 x 轴所围成的封闭图形的面积如图阴影部所示

,解得 x=1,y=1,即 A(1,1) ,B(1,0) ,

因为 S 曲多边形 OBA=

dx=

|

= ,

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S 三角形 OBA= ×1×1= , S 扇形 0AC= π×2= , ﹣ + = + ,

∴S 阴影=S 扇形 0AC﹣S 三角形 OBA+S 曲多边形 OBA= 故选:C.

9.5 名大学生为唐山世界园艺博览会的 3 个场馆提供翻译服务,每个场馆分配一名或两名 大学生,则不同的分配方法有( ) A.90 种B.180 种 C.270 种 D.360 种 【考点】计数原理的应用. 【分析】根据每个场馆分配一名或两名大学生,则 5 人将被分成 3 组,人数为 1,2,2,先 将 5 人分成 3 组,然后按顺序分配. 【解答】解:由题意知将 5 人将被分成 3 组,人数为 1,2,2,则有 然后将分好的 3 组按一定的顺序,分到三个场馆,有 A33=6 种方法, 所以不同的分配方案有种 15×6=90, 故选:A. 10.在四棱锥 P﹣ABCD 中,PA⊥底面 ABCD,底面 ABCD 为正方形,PA=AB,该四棱锥 被一平面截去一部分后, 剩余部分的三视图如图, 则截去部分体积与剩余部分体积的比值为 ( ) =15 种,

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A.

B.

C.

D.

【考点】由三视图求面积、体积. 【分析】 根据几何体的三视图, 得出该几何体是过 BD 且平行于 PA 的平面截四棱锥 P﹣ABCD 所得的几何体; 画出图形结合图形求出截取部分的体积与剩余部分的体积之比是多少即可.

【解答】解:根据几何体的三视图,得;

该几何体是过 BD 且平行于 PA 的平面截四棱锥 P﹣ABCD 所得的几何体; 设 AB=1,则截取的部分为三棱锥 E﹣BCD,它的体积为 V 三棱锥 E﹣BCD= × ×1×1× = 剩余部分的体积为 V 剩余部分=V 四棱锥 P﹣ABCD﹣V 三棱锥 E﹣BCD= ×12×1﹣ 所以截取部分的体积与剩余部分的体积比为 故选:B. : = ; =1:3. ,

11.已知函数 f(x)=

x 在[0,1)上的最大值为 m,在(1,2]上的最小值为

n,则 m+n=( ) A.﹣2 B.﹣1 C.1 D.2 【考点】函数的最值及其几何意义. =1+ 【分析】 通过变形可知 f (x) 1) = +sinπx, 进而可知当 x∈[0, 时, 函数 g (x)

+sinπx 满足 g(2﹣x)=﹣g(x) ,由此可知在区间[0,1)∪(1,2]上,函数 f(x)关于点 (1,1)中心对称,利用对称性即得结论. 【解答】解:f(x)= x=1+ +sinπx,

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记 g(x)= g(2﹣x)=

+sinπx,则当 x∈[0,1)时, +sinπ(2﹣x)= ﹣sinπx,

即在区间[0,1)∪(1,2]上,函数 f(x)关于点(1,1)中心对称, ∴m+n=2, 故选:D.

12.在等边△ABC 中,M 为△ABC 内一动点,∠BMC=120°,则 A.1 B. C. D.

的最小值是(



【考点】正弦定理. M 为△ABC 内一动点, 【分析】 如图所示, 不妨设等边△ABC 的边长为 2, ∠BMC=120°. 点 M 在弦 BC 所对的弓形 上,∠BQC=120°.由图可知:当点 M 取与 y 轴的交点时,∠ MBC=30°,可得:Q ,A ,C(1,0) ,M(x,y) .设参数方程为:



=

=

=t,化为:

sin(θ+β)=

≤1,解出即可得出.

【解答】解:如图所示, 不妨设等边△ABC 的边长为 2, ∵M 为△ABC 内一动点,∠BMC=120°, ∴点 M 在弦 BC 所对的弓形 上,∠BQC=120°. 由图可知:当点 M 取与 y 轴的交点时,∠MBC=30°, 可得:Q ,A ,C(1,0) ,M(x,y) . = .

点 M 所在圆的方程为:

设参数方程为:





=

=

=

=t,

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化为:sin(θ+β)=

≤1,

解得 t≥ , ∴ 故选:C. .

二、填空题: (本题共 4 小题,每题 5 分,共 20 分) 13.设双曲线的焦点在 x 轴上,两条渐近线方程为 y=± x,则离心率 e 为 【考点】双曲线的简单性质. 【分析】由题意,设双曲线的方程为 =1,从而得到 = ,从而求离心率. .

【解答】解:由题意,设双曲线的方程为

=1,

则两条渐近线方程为 y=± x, 则 = ,

则 e= =

=

=



故答案为:



14.若实数 x,y 满足

,则 z=3x+4y 的最大值是 14



【考点】简单线性规划. 【分析】 画出满足条件的平面区域, 求出角点的坐标, 结合函数的图象求出 z 的最大值即可.
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【解答】解:画出满足条件的平面区域,如图示:





,解得 A(2,2) ,

由 z=3x+4y 得:y=﹣ x+ , 结合图象得直线过 A(2,2)时,z 最大, z 的最大值是 14, 故答案为:14. 15.已知 AB 是球 O 的直径,C,D 为球面上两动点,AB⊥CD,若四面体 ABCD 体积的最 大值为 9,则球 O 的表面积为 36π . 【考点】球的体积和表面积. 【分析】由题意,△ABC 为等腰直角三角形,高为球 O 的半径时,四面体 ABCD 的体积最 大,利用四面体 ABCD 体积的最大值为 9,求出 R,即可求出球 O 的表面积. 【解答】解:由题意,△ABC 为等腰直角三角形,高为球 O 的半径时,四面体 ABCD 的体 积最大, 最大值为 =9,∴R=3,

∴球 O 的表面积为 4πR2=36π. 故答案为:36π. 16.当 x∈[﹣1,+∞)时,不等式 x3﹣ax2﹣4x+8≥0 恒成立,则 a 的取值范围是 (﹣∞, 2] . 【考点】函数恒成立问题. 【分析】分类讨论,当 x∈[﹣1,0)∪(0,+∞)时,化简不等式为 a≤ =x﹣

+

,再令 f(x)=x﹣ +

,求导确定函数的单调性,从而求函数的最值,从而解恒成

立问题. 【解答】解:当 x=0 时,不等式 x3﹣ax2﹣4x+8≥0 成立, 当 x∈[﹣1,0)∪(0,+∞)时,
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x3﹣ax2﹣4x+8≥0 可化为 a≤

=x﹣ +



令 f(x)=x﹣ +

,则 f′(x)=1+



=

=



故 x∈[﹣1,0)时,f′(x)>0,x∈(0,2)时,f′(x)<0; x∈(2,+∞)时,f′(x)>0; 故 f(x)在[﹣1,0)上是增函数,在(0,2)上是减函数,在[2,+∞)上是增函数, 而 f(﹣1)=﹣1+4+8=11,f(2)=2﹣2+2=2, 故 a≤2; 故答案为: (﹣∞,2]. 三、简答题:本大题共 70 分。 (解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 17.已知数列{an}的前 n 项和为 Sn,a1=2,2Sn=(n+1)2an﹣n2an+1,数列{bn}满足 b1=1, bnbn+1= .

(I)求数列{an}的通项公式; (Ⅱ)是否存在正实数 λ,便得{bn}为等比数列?并说明理由. 【考点】等比数列的通项公式;数列递推式. 【分析】 (Ⅰ)根据递推公式,得到 2an=an+1+an﹣1,继而得到数列{an}为等差数列,求出公 差 d,即可求出数列{an}的通项公式, 2 b3, =b3?b1, (Ⅱ) 根据递推公式, 得到 bn+2=4bn, 求出 b2, 若{bn}为等比数列, 则满足 (b2) 继而求出正实数 λ. 【解答】解: (Ⅰ)由 2Sn=(n+1)2an﹣n2an+1,得到 2Sn﹣1=n2an﹣1﹣(n﹣1)2an, ∴2an=(n+1)2an﹣n2an+1﹣n2an﹣1+(n﹣1)2an, ∴2an=an+1+an﹣1, ∴数列{an}为等差数列, ∵2S1=(1+1)2a1﹣a2, ∴4=8﹣a2, ∴a2=4, ∴d=a2﹣a1=4﹣2=2, ∴an=2+2(n﹣1)=2n, (Ⅱ)∵bnbn+1= ∴b2b1=4λ, ∴b2=4λ, ∴bn+1bn+2=λ?4n+1, ∴ =4, =λ?4n,b1=1,

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∴bn+2=4bn, ∴b3=4b1=4, 若{bn}为等比数列, 则(b2)2=b3?b1, ∴16λ2=4×1, ∴λ= .

18.二手车经销商小王对其所经营的某一型号二手汽车的使用年数 x(0<x≤10)与销售价 格 y(单位:万元/辆)进行整理,得到如表的对应数据: 使用年数 售价 2 16 4 13 6 9.5 8 7 10 4.5

(Ⅰ)试求 y 关于 x 的回归直线方程; (参考公式:

=



= ﹣



(Ⅱ)已知每辆该型号汽车的收购价格为 w=0.05x2﹣1.75x+17.2 万元,根据(Ⅰ)中所求的 回归方程,预测 x 为何值时,小王销售一辆该型号汽车所获得的利润 z 最大? 【考点】线性回归方程. 【分析】 (Ⅰ)由表中数据计算 、 ,求出 、 ,即可写出回归直线方程;

(Ⅱ)写出利润函数 z=y﹣w,利用二次函数的图象与性质求出 x=3 时 z 取得最大值. 【解答】解: (Ⅰ)由表中数据得, = ×(16+13+9.5+7+4.5)=10, 由最小二乘法求得 = =﹣1.45, = ×(2+4+6+8+10)=6,

=10﹣(﹣1.45)×6=18.7, 所以 y 关于 x 的回归直线方程为 y=﹣1.45x+18.7; (Ⅱ)根据题意,利润函数为 z=y﹣w=(﹣1.45x+18.7)﹣(0.05x2﹣1.75x+17.2)=﹣0.05x2+0.3x+1.5, 所以,当 x=﹣ =3 时,二次函数 z 取得最大值;

即预测 x=3 时,小王销售一辆该型号汽车所获得的利润 z 最大. 19.如图,直角三角形 ABC 中,∠BAC=60°,点 F 在斜边 AB 上,且 AB=4AF.D,E 是平 面 ABC 同一侧的两点,AD⊥平面 ABC,BE⊥平面 ABC,AD=3,AC=BE=4. (Ⅰ)求证:平面 CDF⊥平面 CEF;

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(Ⅱ)点 M 在线段 BC 上,异面直线 CF 与 EM 所成角的余弦值为 ,求 CM 的长.

【考点】异面直线及其所成的角;平面与平面垂直的判定. 【分析】 (Ⅰ)由余弦定理得 CF=2 且 CF⊥AB,AD⊥CF,从而 CF⊥平面 DABE,∠DFE 为二面角 D﹣CF﹣E 的平面角.推导出∠DFE=90°,由此能证明平面 CDF⊥平面 CEF. (Ⅱ)以 C 为坐标原点,CA 为 x 轴,CB 为 y 轴,建立空间直角坐标系 C﹣xyz,利用向量 法能求出 a 的值. 【解答】证明: (Ⅰ)∵直角三角形 ABC 中,∠BAC=60°,AC=4, ∴AB=8,AF= AB=2,由余弦定理得 CF=2 且 CF⊥AB.

∵AD⊥平面 ABC,CF? 平面 ABC,∴AD⊥CF, 又 AD∩AB=A,∴CF⊥平面 DABE, ∴CF⊥DF,CF⊥EF. ∴∠DFE 为二面角 D﹣CF﹣E 的平面角. 又 AF=2,AD=3,BE=4,BF=6, 故 Rt△ADF∽Rt△BFE.∴∠ADF=∠BFE, ∴∠AFD+∠BFE=∠AFD+∠ADF=90°, ∴∠DFE=90°,D﹣CF﹣E 为直二面角. ∴平面 CDF⊥平面 CEF.… 解: (Ⅱ)以 C 为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系 C﹣xyz, 则 C(0,0,0) ,B(0,4 ,0) ,E(0,4 ,4) , F(3, ,0) ,M(0,a,0) , (0≤a≤4 ) ∴ =(3, ,0) , =(0,a﹣4 ,﹣4) , ∵异面直线 CF 与 EM 所成角的余弦值为 ,

∴|cos?



>|=

=

= ,

解得 a=

,故 CM=

.…

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20.已知点 F 为抛物线 C:x2=4y 的焦点,A,B,D 为抛物线 C 上三点,且点 A 在第一象 限,直线 AB 经过点 F,BD 与抛物线 C 在在点 A 处的切线平行,点 M 为 BD 的中点 (Ⅰ)求证:AM 与 y 轴平行; (Ⅱ)求△ABD 面积 S 的最小值. 【考点】抛物线的简单性质. 【分析】 (I)设出 A,B,D 三点坐标,根据 kBD=y′| 列方程.根据根与系数的关系求

出 M 的横坐标即可; (II)求出直线 BD 的方程,求出 AM 和 B 到直线 AM 的距离,则 S△ ABD=2S△ ABM,求出 S 关于 xA 的函数,利用基本不等式求出函数的最小值. 【解答】证明: (Ⅰ)设 A(x0, 由 x2=4y 得 y= ∴y′= , ∴kBD= , , ) ,B(x1, ) ,D(x2, ) . (x0>0)

又 kBD=

=



∴ ∴

=

, =x0,即 xM=x0.

∴AM 与 y 轴平行. 解: (Ⅱ)F(0,1) ,

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∴kAF=

=

,kBF=

=



∵A,B,F 三点共线, ∴kAF=kBF, ∴ = ,整理得(x0x1+4) (x0﹣x1)=0,

∵x0﹣x1≠0, ∴x0x1=﹣4,即 x1=﹣ 直线 BD 的方程为 y= .

(x﹣x1)+



∴yM=

(x0﹣x1)+

=

+

+2=

+

+2.

由(Ⅰ)得 S△ ABD=2S△ ABM=|

+

+2﹣

|×|x1﹣x0|

=|

+

+2|×|x0+

|= (x0+

)3≥16,

当且仅当 x0=

即 x0=2 时等号成立,

∴S 的最小值为 16.

21.已知函数 f(x)=xlnx+a,直线 y=x 与曲线 y=f(x)相切. (Ⅰ)求 a 的值; (Ⅱ)证明:xex﹣1[f(x)﹣2]+f(x)≥0.
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【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程. 【分析】 (Ⅰ)设切点为(m,n) ,求出导数,求得切线的斜率和切点,由切线的方程,可 得 m=1,进而得到切点,可得 a=1; (Ⅱ)由 xex﹣1[f(x)﹣2]+f(x)=xex﹣1(xlnx﹣1)+xlnx+1=(1+xex﹣1) (xlnx﹣1)+2, x﹣1 令 g(x)=(1+xe ) (xlnx﹣1)+2,求出导数,求得单调区间、极小值且为最小值 0,即 可得证. 【解答】解: (Ⅰ)设切点为(m,n) , f(x)=xlnx+a 的导数为 f′(x)=lnx+1, 可得切线的斜率为 1+lnm, 由切线的方程 y=x,可得 1+lnm=1,即 m=1, 切点为(1,1) ,可得 a=1; (Ⅱ)证明:xex﹣1[f(x)﹣2]+f(x)=xex﹣1(xlnx﹣1)+xlnx+1 =(1+xex﹣1) (xlnx﹣1)+2, 令 g(x)=(1+xex﹣1) (xlnx﹣1)+2, x﹣1 g′(x)=(1+x)e (xlnx﹣1)+(1+xex﹣1) (1+lnx) 当 x=1 时,g′(x)=2?(﹣1)+2?1=0, 当 x>1 时, (1+x)ex﹣1>2,xlnx﹣1>﹣1, x﹣1 (1+x)e (xlnx﹣1)>﹣2, (1+xex﹣1) (1+lnx)>2?1=2, g x ′ 则 ( )>0,g(x)递增; 当 0<x<1 时, (1+x)ex﹣1(xlnx﹣1)<﹣2, (1+xex﹣1) (1+lnx)<2, 则 g′(x)<0,g(x)递减. 即有 g(x)在 x=1 处取得极小值,且为最小值 0. 则有 xex﹣1[f(x)﹣2]+f(x)≥0. 请考生在 22、23、24 三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分.[选修 4-1: 几何证明选讲] 22.如图,四边形 ABCD 内接于圆 O,AC 与 BD 相交于点 F,AE 与圆 O 相切于点 A,与 CD 的延长线相交于点 E,∠ADE=∠BDC. (Ⅰ)证明:A、E、D、F 四点共圆; (Ⅱ)证明:AB∥EF.

【考点】弦切角;圆內接多边形的性质与判定. 【分析】 (Ⅰ)由题意证明∠CAE=∠ADE,又已知∠ADE=∠BDC,可证∠BDC=∠CAE, 从而可得 A,E,D,F 四点共圆. (Ⅱ)由圆內接四边形的性质得∠ADE=∠AFE=∠BDC,又∠BDC=∠BAC,从而可证∠ AFE=∠BAC,即可证明 AB∥EF. 【解答】 (本题满分为 10 分)
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证明: (Ⅰ)因为 AE 与圆 O 相切于点 A, 所以∠CAE=∠CBA; 因为四边形 ABCD 内接于圆 O, 所以∠CBA=∠ADE; 又已知∠ADE=∠BDC, 所以∠BDC=∠CAE, 故 A,E,D,F 四点共圆.… (Ⅱ)由(Ⅰ)得∠ADE=∠AFE=∠BDC, 又∠BDC=∠BAC(同弧所对的圆周角相等) , AFE= BAC 所以∠ ∠ , 故 AB∥EF.…

[选修 4-4:坐标系与参数方程] 23.在直角坐标系 xOy 中,曲线 C1: (φ 为参数,0<φ<π) ,曲线 C2 与曲

线 C1 关于原点对称,以 O 为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线 C3 的极坐标方程 为 ρ=2(0<θ<π) ,过极点 O 的直线 l 分别与曲线 C1,C2,C3 相交于点 A,B,C. (Ⅰ)求曲线 C1 的极坐标方程; (Ⅱ)求|AC|?|BC|的取值范围. 【考点】参数方程化成普通方程;简单曲线的极坐标方程. 【分析】 (I)利用同角三角函数的关系消元得到 C1 的普通方程,在将普通方程转化为极坐 标方程; (II)求出三条曲线的普通方程,设直线方程为 y=kx(k>0) ,求出 A,B,C 的坐标,利用 AC BC = OC OA OA 三点的位置关系得出| |?| | (| |﹣| |)?(| |+|OC|)=|OC|2﹣|OA|2.将 |AC|?|BC|转化为关于 k 的函数. 【解答】解: (I)曲线 C1 的直角坐标方程为(x﹣1)2+y2=1,即 x2+y2﹣2x=0(0<y≤1) . 2 ∴曲线 C1 的极坐标方程为 ρ ﹣2ρcosθ=0,即 ρ=2cosθ(0<θ<π) . 2 2 (II)曲线 C2 的普通方程为(x+1) +y =1(﹣1≤y<0) , 2 2 曲线 C3 的普通方程为 x +y =4(0<y≤2) . 设直线 l 的方程为 y=kx(k>0) . 则 A( , ) ,B(﹣ ,﹣ ) ,C ( , ) .

∵A,B 关于原点对称,∴|BC|=|OB|+|OC|=|OA|+|OC|, ∴|AC|?|BC|=(|OC|﹣|OA|)?(|OA|+|OC|)=|OC|2﹣|OA|2 = ﹣ =4﹣ .

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设 f(k)=4﹣ ∵f(0)=0,

,则 f(k)在(0,+∞)上单调递增, ,

∴0<f(k)<4. 即|AC|?|BC|的取值范围时(0,4) . [选修 4-5:不等式选讲] 24.已知函数 f(x)=|x+1|+m|x﹣1|. (Ⅰ)当 m=2 时,求不等式 f(x)<4 的解集; (Ⅱ)若 m<0,f(x)≥2m,求 m 的最小值. 【考点】绝对值三角不等式;绝对值不等式的解法.

【分析】 (Ⅰ)当 m=2 时,f(x)=

,作出图象,结合图象由 f(x)的

单调性及 f( )=f(﹣1)=4,能求出 f(x)<4 的解集. (Ⅱ)由 f(x)≥2m 得|x+1|≥m (2﹣|x﹣1|) ,从而﹣ |x+1|≥|x﹣1|﹣2,在同一直 角坐标系中画出 y=|x﹣1|﹣2 及 y=﹣ |x+1|的图象,根据图象性质能求出 m 的最小值.

【解答】解: (Ⅰ)当 m=2 时,f(x)=



作出图象,得:

结合图象由 f(x)的单调性及 f( )=f(﹣1)=4, 得 f(x)<4 的解集为{x|﹣1<x< }.… (Ⅱ)由 f(x)≥2m 得|x+1|≥m (2﹣|x﹣1|) ,

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∵m<0,∴﹣ |x+1|≥|x﹣1|﹣2, 在同一直角坐标系中画出 y=|x﹣1|﹣2 及 y=﹣ |x+1|的图象,

根据图象性质可得﹣ ≥1,即﹣1≤m<0, 故 m 的最小值为﹣1.…

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2016 年 9 月 4 日

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