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高考数学立体几何解答题 (1)



1、法一(Ⅰ)取 BC1 的中点为 R ,连接 RE, RF , 则 RF // CC1 , AE // CC1 ,且 AE ? RF ,…………………………3 分 则四边形 AFRE 为平行四边形, 则 AF // RE ,即 AF // 平面 REC .………………………………6 分 1 (Ⅱ)延长 C1 E 交 CA 延长线于点 Q ,连接 QB , 则 QB 即为平面 B

EC 与平面 ABC 的交线, 1 且 BC ? BQ, C1 B ? BQ , 则 ?C1 BC 为平面 BEC 和平面 ABC 所成的锐二面角的平面角.……8 分 1 在 ?BCC1 中, cos?C1 BC ?

2 2 5

?

5 .…………………………12 分 5

法二 取 B1C1 中点为 S ,连接 FS , 以点 F 为坐标原点,FA 为 x 轴,FB 为 y 轴,FS 为 z 轴建立空间直角坐标系, 则 A( 3,0,0), B(0,1,0), F (0,0,0),C(0,?1,0) ,

A1 ( 3,0,4), B1 (0,1,4),C(0,?1,4), E( 3,0,2) ,……………………2 分
(Ⅰ)则 AF ? (? 3,0,0) , BE ? ( 3,?1,2), BC1 ? (0,?2,4) , 设平面 BEC 的法向量为 m ? ( x1 , y1 , z1 ) , 1 则 m ? BE ? 0, m ? BC1 ? 0 ,即 ?

? 3 x1 ? y1 ? 2 z1 ? 0 ?? 2 y1 ? 4 z1 ? 0

………………4 分

令 y1 ? 2 ,则 x1 ? 0, z1 ? 1,即 m ? (0,2,1) ,所以 AF ? m ? 0 , 故直线 AF // 平面 BEC .………………………………………………6 分 1 (Ⅱ)设平面 ABC 的法向量 n ? (0,0,1) , 则 cos? ?

m?n mn

?

5 .………………………………………………12 分 5

1

2、解: (1)因为 A1O⊥平面 BCD,BC?平面 BCD,∴BC⊥A1O, 因为 BC⊥CD,A1O∩CD=O,∴BC⊥面 A1C D. 因为 A1D?面 A1CD,∴BC⊥A1 D. 分) (6 (2)连结 BO,则∠A1BO 是直线 A1B 与平面 BCD 所成的角. 因为 A1D⊥BC,A1D⊥A1B,A1B∩BC=B,∴A1D⊥面 A1B C. 1C?面 A1BC, 1D A ∴A ⊥A1 C. 在 Rt△DA1C 中,A1D=3,CD=5,∴A1C=4. 1 1 12 根据 S△A1CD= A1D· 1C= A1O· A CD,得到 A1O= , 2 2 5 12 A1O 5 12 在 Rt△A1OB 中,sin∠A1BO= = = . A1B 5 25 12 所以直线 A1B 与平面 BCD 所成角的正弦值为 . (12 分) 25 3.解: 解法一:(Ⅰ)当点 E 为 BC 的中点时, EF 与平面 PAC 平行.-------1 分 ∵在 ?PBC 中,E 、F 分别为 BC 、PB 的中点, EF ∥ PC ∴ 又 EF ? 平面 PAC , 而 PC ? 平面 PAC ∴ EF ∥平面 PAC . ………4 分 (Ⅱ)证明:? PA ? 平面ABCD,BE ? 平面ABCD ,

? EB ? PA ,又 EB ? AB, AB ? AP ? A, ? EB ? 平面PAB ,
又 AF ? 平面PAB,∴ AF ? BE . ---------------------------------6 分

P F

A
又 PA ? AB ? 1 ,点 F 是 PB 的中点,? AF ? PB,

B
G

E

又? PB ? BE ? B, PB, BE ? 平面PBE ,? AF ? 平面PBE .

D
? PE ? 平面PBE, AF ? PE .………8 分 ?
(Ⅲ)过 A 作 AG ? DE 于 G ,连 PG , 又∵ DE ? PA ,则 DE ? 平面 PAG , 则 ?PGA 是二面角 P ? DE ? A 的平面角, ∴ ?PGA ? 45 ,………10 分
?

C

∵ PD 与平面 ABCD 所成角是 30 ,∴ ?PDA ? 30 ,
?

?

∴ AD ? 3 , PA ? AB ? 1 . ∴ AG ? 1 , DG ? 2 ,设 BE ? x ,则 GE ? x , CE ? 3 ? x , 在 Rt ?DCE 中,

?

2?x

? ??
2

3 ? x ? 12 ,
………12 分

?

2

得 BE ? x ? 3 ? 2 .

z

P F

2

A
(O )

B y
E

解法二:(向量法) (Ⅰ)同解法一………………4 分 (Ⅱ)建立如图所示空间直角坐标系,则 P ? 0,0,1? ,

? 1 1? B ? 0,1,0? , F ? 0, , ? , D ? 2 2?
设 BE ? x ,则 E ? x,1,0?

?

3, 0, 0 .

?

? ? 1 1 PE ? AF ? ( x,1,?1) ? (0, , ) ? 0 2 2

∴ AF ? PE

………8 分

?? ? ?? m? PD ? 0 , 得 : ( Ⅲ ) 设 平 面 P D E的 法 向 量 为 m ? ? p q?1 , 由 ? ? ? , , ? m? PE ? 0 ?
?? ? 1 x m?? ,1 ? 3 ? 3 ? ,? , 1 ?
?

而平面 ADE 的法向量为 AP ? (0,0,1) ,

2 | m? AP | ∵二面角 P ? DE ? A 的大小是 45 ,所以 cos 45 = ? ? ? , 2 | m || AP |
? ?

?

?



1 1 ? x ? ? ?1 ? ? ?1 3 ? 3?
2

?

1 , 2

得 BE ? x ? 3 ? 2 或 BE ? x ? 3 ? 2 (舍) ………………12 分 . 4、解: (Ⅰ)在平行四边形 ABCD 中,由 AD ? 1 , CD ? 2 , ?BAD ? 120? , 易知 CA ? AD ,…………………2 分 又 SA ? 平面 ABCD ,所以 CA ? 平面 SAD , ∴ SD ? AC , 在直角三角形 SAB 中,易得 SA ? 3 ,
? 在直角三角形 SAD 中, ?ADE ? 60 , SD ? 2 ,

又 SE ? 3ED ,∴ DE ? 可得 AE ?

1 , 2

AD2 ? DE2 ? 2 AD ? DE cos600

1 1 1 3 . ? 1? ? 2? ? ? 4 2 2 2
∴ SD ? AE ,……………………5 分 又∵ AC ? AE ? A ,∴ SD ? 平面 AEC .……6 分

3

(Ⅱ)由(Ⅰ)可知, CA ? SA , CA ? AE , 可知 ?EAS 为二面角 E ? AC ? S 的平面角,

?EAS ? 30? ,此时 E 为 SD 的中点. ……………8 分
过 A 作 AF ? CD ,连结 SF ,则平面 SAF ? 平面 SCD , 作 AG ? SF ,则 AG ? 平面 SCD ,连结 EG , 可得 ?AEG 为直线 AE 与平面 SCD 所成的角. 因为 AF ?

3 , SA ? 3 , 2

3 ? 3 15 2 ? 所以 AG ? .……………10 分 5 15 2
在 Rt ?AGE 中, tan ?AEG ?

AG 15 , ? AE 5 15 .……………………12 分 5

直线 AE 与平面 CDE 所成角的大小为 arcsin

解法二:依题意易知 CA ? AD , SA ? 平面 ACD.以 A 为 坐标原点,AC、AD、SA 分别为 x, y , z 轴建立空间直角坐标 系,则易得 A ? 0,0,0 ? , C

?

3,0,0 , D ? 0,1,0 ? , S 0,0, 3 ,
? ? ? 3 3? ? ,……………3 分 4 4 ? ?
从 而

?

?

?

(Ⅰ)由 SE : ED ? 3 有 E ? 0, ,





??? ???? ? ? S ?D ?A C 0 ? , ? ? ? ??? ??? S ?D ?A E 0 ? ?

SD ?





ACE.……………………6 分 (Ⅱ )由 AC ? 平 面 S A D , 二面角 E ? AC ? S 的 平 面角

?EAS ? 30? . 又 ?ASD ? 30? ,则 E 为 SD 的中点,
即 E ? 0, , ?

? ?

1 3? ? ,………………8 分 2 2 ? ?

设平面 SCD 的法向量为 n ? ? x, y, z ?

???? ?n ? DC ? 3x ? y ? 0, ? 则 ? ??? ,令 z ? 1 ,得 n ? 1, 3,1 ? ,…………10 分 ?n ? SD ? y ? 3z ? 0. ?

?

?

4

1 3 ??? ? 0 ?1 ? 3? ?1 ??? ? AE ? n 2 2 ? 15 ? ? 从而 cos ? AE , n ?? ??? 5 , | AE || n | 1? 5
所以 AE 与平面 SCD 所成角大小为 arcsin 13、

15 .………………12 分 5

解: (1)连接 EC ,交 BF 于点 O ,取 AC 中点 P , 连接 PO, PD ,可得 PO ∥ AE ,且 PO ?

A

1 AE , 2
D E

1 而 DF ∥ AE ,且 DF ? AE ,所以 DF ∥ PO , 2

P O C B

且 DF ? PO ,所以四边形 DPOF 为平行四边形, F 所以 FO ∥ PD ,即 BF ∥ PD ,又 PD ? 平面 ACD , BF ? 平面 ACD ,所以 BF ∥平面 ACD .……………………………………8 分 (2)二面角 A ? EF ? C 为直二面角,且 AE ? EF ,所以 AE ? 平面 BCFE , 又 BC ? 平面 BCFE ,所以 AE ? BC ,又 BC ? BE , BE ? AE ? E , 所以 BC ? 平面 AEB ,所以 BC 是三棱锥 C ? ABE 的高, 同理可证 CF 是四棱锥 C ? AEFD 的高,…………………………………10 分 所以多面体 ADFCBE 的体积

1 1 1 1 10 V ? VC ? ABE ? VC ? AEFD ? ? ? 2 ? 2 ? 2 ? ? (1 ? 2) ? 2 ? 2 ? .………14 分 3 2 3 2 3

5



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