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2016届合肥八中高三最后一卷数学(理) 试题卷(B)



2016 年普通高等学校招生考试合肥八中最后一卷(B)

数学(理科)试卷
注意事项:1.试卷分为第Ⅰ卷和第Ⅱ卷, 试卷分值:150 分,考试时间 120 分钟; 2.所有答案均要答在答题卷上,否则无效。考试结束后只交答题卷。

第Ⅰ卷 一.选择题 本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有

一项是符合题目要求的. 1. 复数

1? i (i 是虚数单位)在复平面上对应的点位于( i3
B. 第二象限 C. 第三象限

) D. 第四象限 )

A.第一象限 2.

已知命题 p : a ? 1或b ? 2 ,命题 q : a ? b ? 3 ,则 p 是 q 的( A.充分不必要条件 C.充要条件 B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条

3. 如图, x1 , x2 , x3 为某次考试三个评阅人对同一道题的独立评分,

p 为该题的最终得分,当 x1 ? 6, x2 ? 9, p ? 8.5 时, x3 等于( A. 11 B. 8.5 C. 8 D. 7



y2 4. 若 n 是 2 和 8 的等比中 项, 则圆锥曲线 x ? ? 1 的离心率是( n 3 5 3 C. 或 D. 或 5 2 2 2
2

) A.

3 2

B. 5

5.已知 a ? A.45

?

?

2 0

6 4 (sin x ? cos x)dx ,在 (1 ? ax) (1 ? y) 的展开式中,

xy 2 项的系数为 (

) B.60

C.72

D.120 )

6.要得到函 数 f ? x ? ? sin ? 3x ? A.向右平移 B.向右平移 C.向左平移 D.向左平移

? ? ?
3

? ?

??

? 的导函数 f ' ? x ? 的图象,只需将 f ? x ? 的图象( 3?

个单位,再把各点的纵坐标伸长到原来的 3 倍(横坐标不变) 个单位,再把各点的纵坐标缩短到原来的 3 倍(横坐标不变) 个单位,再把各点的纵坐标缩短到原来的 3 倍(横坐标不变) 个单位,再把各点的纵坐标伸长到原来的 3 倍(横坐标不 变)

6 3 6

?

7.若在区间[-5,5]内任取一个实数 a,则使直线 x+y+a=0 与圆(x-1)2+(y+2)2=2 有公 共点的概率为( A. 2 5 ) B. 2 5 C. 3 5 D. 3 2 10

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8. 设 m、n 为空间的两条不同的直线,α、β为空间的两个不同的平面,给出下列命题: ①若 m∥α,m∥β,则α∥β;②若 m⊥α,m⊥β,则α∥β; ③若 m∥α,n∥α,则 m∥n;④若 m⊥α,n⊥α,则 m∥n. 上述命题中,所有真命题的个数是( A. 0 B. 1 C. 2 ) D.3

9.如图所示,侧棱与底面垂直,且底面为正方形的四棱柱 ABCD-A1B1C1D1 中,AA1=2, AB=1, M、N 分别在 AD1、BC 上移动,始终保持 MN ∥平面 DCC1D1,设 BN= x, MN=y,则函数 y=f(x)的图像大致是( )

10.在 ? ABC 中,a, b, c 分别是内角 A,B,C 的对边, 若

S? ABC ?

a 2 ? b2 ? c2 4







S? ABC

? 表示 ? ABC 的面积) ,且 ? ? ?

??? ? ???? AB AC ??? ? ? ???? AB AC

? ??? ? ? ? BC ? 0 ,则 ? ABC 的形状是( ? ?
B 等边三角形 D 等腰直角三角形
x n



A 顶角是 450 的等腰三角形 C 直角三角形 11.已知点列 An ? an , bn ? n ? N

?

?

? 均为函数 y ? a ? a ? 0, a ? 1? 的图像上,点列 B ? n, 0 ? 满

足 An Bn ? An Bn ?1 ,若数列 ?bn ? 中任意连续三项能构成三角形的三边,则 a 的取值范围为 ( ) A

? ? 5 ?1 ? ? 5 ?1 ? ? 0, 2 ? ??? ? 2 , ?? ? ? ? ? ? ? ? ? 3 ?1 ? ? 3 ?1 0, ? , ?? ? ? ? ? ? ? ? 2 ? ? ? ? 2 ?

B

? 5 ?1 ? ? 5 ?1? ? ? 2 ,1? ??? ?1, 2 ? ? ? ? ? ? ? 3 ?1 ? ? 3 ?1? ,1 ? 1, ? ? ? ? ? 2 ? ? 2 ? ? ? ? ?

C

D

12. 已知点 A(?

1 1 , ) 在抛物线 C : y 2 ? 2 px( p ? 0) 的准线上,点 M,N 在抛物线 C 上, 2 2

且位于 x 轴的两侧, O 是坐标原点, 若 OM ? ON =3 , 则点 A 到动直线 MN 的最大距离为(

???? ? ????

).

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A.

3 2

B.

5 2

C.

5 2 2

D.

7 . 2

第Ⅱ卷 本卷包括必考题和选考题两部分.第(13)题~第(21)题为必考题,每个试题考生都必 须做答.第(22)题~第(24)题为选考题,考生根据要求做答. 二、填空题:本大题 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.把答案填在答题卡相应位置. 13. 某校 100 名学生期中考试数学成绩的频率分布直方图如 图所示,其中成绩分组区间是: [50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100].则图中 a 的值是 14. 已知 ?ABC 中的内角为 A, B, C ,重心为 G , 若 2 sin A?GA ? 3 sin B?GB ? 3sin C ? GC ? 0 ,则 .

????

????

????

?

cos B ?

.

15. 三棱锥 P ? ABC 底面是边长为 6 的正三角形, PA ? 面 ABC , PA ? 4 ,则该三棱锥外接球的表 面积为 16.若函数 f(x)= 2e - ax +(a-2e)x 有三个 不同的零点,则实数 a 的取值范围是 。 三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.(本小题满分 12 分) 已知数列 ?an ? 中, an ?1 ? S n ? n ? 3, n ? N * , a1 ? 2 . (1)求证:当 n ? 2,n ? N * 时, ?an ? 1? 是等比数列,并求 ?an ? 的通项公式; (2)设 bn ?
x 2

1 4 n (n ? N *) 的前 n 项和为 Tn ,求证: ? Tn ? ( n ? N *) . 3 3 Sn ? n ? 2

18.(本小题满分 12 分) .如图,在直三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中, AC ? BC , AA1 ? AC ? BC ? 2 , D 、 E 、 F 分 别是 AB 、 AA1 、 CC1 的中点, P 是 CD 上的点. (Ⅰ)求证:直线 PE∥ 平面 A1 BF ; (Ⅱ)求二面角 D ? EC ? A 的余弦值; (Ⅲ)求点 E 到平面 A1 BF 的距离.

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19.(本小题满分 12 分) 近年来我国电子商务行业迎来发展的新机遇,2015 年双 11 期间,某购物平台的销售业绩高 达 918 亿人民币.与此同时,相关管理部门推出了针对电商的商品和服务的评价体系.现从评价 系统中选出 200 次成功交易,并对其评价进行统计,对商品的好评率为 0.6,对服务的好评率为 0.75,其中对商品和服务都做出好评的交易为 80 次. (1) 列出关于商品和服务评价的 2×2 列联表,并判断能否在犯错误的概率不超过 0.001 的前 提下,认为商品好评与服务好评有关? (2)若将频率视为概率,某人在该购物平台上进行的 5 次购物中,设对商品和服务全好评的 次 数为随机变量 X : ①求 X ? 2 的概率; ②求 X 的数学期望和方差.

P( K 2 ≥ k ) 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
n(ad ? bc) 2 (K ? ,其中 n ? a ? b ? c ? d ) (a ? b)(c ? d )(a ? c)(b ? d )
2

20.(本小题满分 12 分) 已知椭圆 C:

x2 y 2 2 )在椭圆 C 上。 ? 2 ? 1 ( a ? b ? 0 )的右焦点为 F(1,0),且( ?1 , 2 a b 2

(1)求椭圆的标准方程; ( 2)已知动直线 l 过点 F,且与椭圆 C 交于 A、 B 两点,试问 x 轴上是否存在定点 Q, 使得

??? ? ??? ? 7 QA ? QB ? ? 恒成立?若存在,求出点 Q 的坐标;若不存在,请说明理由。 16

21.(本小题共 12 分) 已知函数 f ( x ) ? x ln x . (Ⅰ)求曲线 y ? f ( x ) 在点 (1, f (1)) 处的切线方程; (Ⅱ)求证: f ( x ) ? x ? 1 ; (Ⅲ)若 f ( x ) ? ax 2 ?

2 ( a ? 0) 在区间 (0, ?? ) 上恒成立,求 a 的最小值. a

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请考生在第 22、23、24 题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题记分.做答时请 用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑. 22. (本小题满分 10 分)选修 4—1:几何证明选讲 如图,圆 O1 与圆 O2 相交于 A、B 两点, AB 是圆 O2 的直径,过 A 点作圆 O1 的切线交 圆 O2 于点 E,并与 BO1 的延长线交于点 P,PB 分别与圆 O1、圆 O2 交于 C,D 两点. (Ⅰ)求证:PA·PD=PE·PC; (Ⅱ)求证:AD=AE.

23.(本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程

? x ? 2 ? 2 cos ? , 在直角坐标系 xOy 中, 曲线 C1 的参数方程为 ? ( ? 为参数) . 以 O 为极点,x 轴 ? y ? 2sin ?
正半轴为极轴,并取相同的单位长度建立极坐标系. (Ⅰ)写出 C1 的极坐标方程; (Ⅱ)设曲线 C2 :

? ? 1 π x2 ? x ? x, 2 经伸缩变换 ? y ?1 2 后得到曲线 C3 ,射线 ? ? ( ? ? 0 )分别 ? 3 4 ? ? y? ? y

与 C1 和 C3 交于 A , B 两点,求 | AB | .

24. (本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 已知不等式 | x ? 3 |? 2 x ? 1 的解集为 {x | x ? m} . (Ⅰ)求 m 的值;
1 (Ⅱ)设关于 x 的方程 | x ? t | ? | x ? | ? m ( t ? 0 )有解,求实数 t 的值. t

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