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三角函数定义及诱导公式和变换公式


1、 角度制与弧度制的互化: 180? ? ? ; 1? ?

? 180? ? 57.3? ;1 弧度 ? 180 ?

2、角 ? 和 ? 终边相同: ? ? ? ? k ? 360?, k ? Z 3、三角函数的定义:以角 ? 的顶点为坐标原点,始边为 x 轴正半轴建立直角坐标系,在角 ? 的终边上任取一个 异于原点的点 P ( x, y ) ,点 P 到原点的距离记为 r,( r ? 那么 sin ? ?

x 2 ? y2 )

y x y ; cos ? ? ; tan ? ? ; r r x

4、三角函数的符号: 由三角函数的定义,以及各象限内点的坐标的符号,我们可以得知:

y ? 对于第一、 二象限为正 ( y ? 0, r ? 0 ) , 对于第三、 四象限为负 ( y ? 0, r ? 0 ) ; r sin ? x ②余弦值 对于第一、 四象限为正 ( x ? 0, r ? 0 ) , 对于第二、 三象限为负 ( x ? 0, r ? 0 ) ; cos ? r tan ? y ③正切值 对于第一、三象限为正( x, y 同号),对于第二、四象限为负( x, y 异号) x
①正弦值 5、特殊角的三角函数值: 0° 30° 45° 60° 90° 1 0 180° 0 -1 0 270° -1 0

Ⅰ + + +

Ⅱ + - -

Ⅲ - - +

Ⅳ - + -

sin ? cos ? tan ?

0 1 0

1 2 3 2 3/3

2 2 2 2
1

3 2 1 2 3

6、三角函数诱导公式一览表 公式一: 设 α 为任意角,终边相同的角的同一三角函数的值相等: sin ( 2kπ+α ) =sinα cos ( 2kπ+α ) =cosα tan ( 2kπ+α ) =tanα 公式二: 设 α 为任意角, π+α 的三角函数值与 α 的三角函数值之间的关系: sin ( π+α ) = - sinα cos ( π+α ) = - cosα tan ( π+α ) =tanα 公式三: 任意角 α 与 -α 的三角函数值之间的关系: sin (- α ) = - sinα cos (- α ) =cosα tan (- α ) = - tanα 公式四: 利用公式二和公式三可以得到 π-α 与 α 的三角函数值之间的关系: sin ( π - α ) =sinα cos ( π - α ) = - cosα tan ( π - α ) = - tanα 公式五: 利用公式一和公式三可以得到 2π-α 与 α 的三角函数值之间的关系: sin ( 2π - α ) = - sinα cos ( 2π - α ) =cosα tan ( 2π - α ) = - tanα 公式六: π/2±α 与 α 的三角函数值之间的关系:

sin(

公式七: 3π/2±α 与 α 的三角函数值之间的关系: sin (

? ? +α)=cosα cos ( +α ) = - sinα 2 2

sin (

? - α ) =cosα 2

cos (

? - α ) =sinα 2

3? 3? 3? 3? +α ) = - cosα cos ( +α ) =sinα sin ( - α ) = - cosα cos ( - α ) = - sinα 2 2 2 2 诱导公式记忆口诀:“奇变偶不变,符号看象限”。 “奇、偶”指的是π/2 的倍数的奇偶,“变与不变”指的是三角函数的名称的变化:“变”是

指正、余弦互相变。“符号看象限”的含义是:将α看作为锐角,要服从原来的角所在的象限中原 来函数的符号,从而得到等式右边是正号还是负号。

7、三角恒等变换公式:
(1)两角和与差的三角函数: sin(α+β)=sinα·cosβ+cosα·sinβ sin(α-β)=sinα·cosβ-cosα·sinβ cos(α+β)=cosα·cosβ-sinα·sinβ cos(α-β)=cosα·cosβ+sinα·sinβ

tan(α+β)=

tan? ? tan? 1 ? tan? ? tan?

tan(α-β)=

tanα - tanβ 1 ? tan? ? tan?

(2)二倍角公式: sin2α=2sinα·cosα cos2α= cos ? - sin ? =2 cos ? -1=1-2 sin ?
2 2 2 2

? cos 2? ?

tan2α=

2 tan? 1 ? tan 2? tan? ?

cos 2? ? 1 1 ? cos 2? 2 ; sin ? ? 2 2

(3)asinx+bcosx = a 2 ? b 2 sin ?? ? ? ? 8、解三角形公式:
正弦定理 1、正弦定理:在△ABC 中,

b a

a b c ? ? ? 2 R (R 为△ABC 外接圆半径)。 sin A sin B sin C

2、变形公式:(1)化边为角: a ? 2 R sin A, b ? 2 R sin B , c ? 2 R sin C ; (2)化角为边: sin A ?

a b c ,sin B ? ,sin C ? ; 2R 2R 2R

(3) a : b : c ? sin A : sin B : sin C 余弦定理 1、余弦定理: a
2

? b ? c ? 2bc cos A ? cos A ? b ? c ? a
2 2
2 2

2

2 bc
2

b ? c ? a ? 2 ac cos B ? cos B ? c ? a ? b 2 ca
2 2 2 2

2

c ? a ? b ? 2 ab cos C ? cos C ? a ? b ? c 2 ab
2 2 2 2 2

2

三角形面积公式: S?ABC

1 1 1 1 abc ? ah ? absin C ? ac sin B ? bc sin A ? ? 2R2 sin Asin Bsin C 2 2 2 2 4R



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