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圆锥曲线对比表



第一部分
椭圆

椭圆、双曲线及抛物线(用 8 个课时)
双曲线 平面内与两个定点 F1、F2 的距离的差的绝对值等 于常数 2a(小于 F1 F2 ) 的点的轨迹 与定点的距离和它到定 直线的距离的比是常数 抛物线 与定点 F 的距离和它到定直线的距离的比 是常数

1. 椭圆、双曲线、抛物线的标准方程与几何性质对比表

平面内与两个定点 F1、 F2 的距 离 的 和 等 于 常 数 2a ( 大 于

第 一 定 义

F1 F2 )的点的轨迹
与定点的距离和它到定直线 的距离的比是常数

c (大于 1)的点的轨迹 a

第 二 定 义 标 准 方 程
a.b. c 关系

c (小于 a

1)的点的轨迹

c (大于 1)的点的轨迹 a

设定点到定直线的距离为 p(p>0)

x2 y2 ? ?1 a2 b2
(a>b>0)
2 2

y2 x2 ? ?1 a2 b2
(a>b>0)
2

x2 y2 y2 x2 ? ? 1 ? 2 ? 1 y 2 ? 2 px 2 2 2 a b a b (a>0,b>0) (a>0,b>0)
c =b +a
2 2 2

a =b +c

图 形

顶 点 焦 点 焦 半 径
准线

(±a,0) (0,±b) (±c,0) 左 焦 半 径 |PF1|=a+ex0, 右焦半径 |PF2|=a-ex0,

(±b,0) (0,±a) (0,±c) 下 焦 半 径 |PF1|=a+ey0, 上焦半径 |PF2|=a-ey0,

(±a,0) (±c,0)

(0,±a) (0,±c)

原点

原点

原点

原点

(

p 2

,0)

(-

p ,0) 2

(

p 2

,0)

(-

p ,0) 2

a2 x?? c

a2 y?? c

a2 x?? c
y?? b x a

a2 y?? c
y?? a x b

X=-

p 2

X=

p 2

y=-

p 2

y=

p 2

渐近 线 中心 对称 轴 范围 离心 率 原点 X 轴、y 轴

原点 X 轴、y 轴 X轴 x》0 X轴 x《0 1 y轴 y》0 y轴 y《0

x ? a, y ? b
e=

x ? b, y ? a

x ?a
e=

y ?a
c (e>1) a

c (o<e<1) a

1

x2 y2 x2 y2 2、与双曲线 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 有公共渐近线的双曲线可设为 2 ? 2 ? ? (? ? 0) a b a b
过双曲线

x2 y2 b2 ? ? 1 ( a ? 0 , b ? 0 ) ? c , ? 的焦点且与 x 轴垂直的直线交双曲线于点( ) a a2 b2
,过焦点的直线与曲线交于点 A(x1,y1),B(x2,y2)

3 、抛物线方程 为 (1)焦半径|AF|=

p ? x1 (其余情况同理可得) 2

(2)焦点弦|AB|= p ? x1 ? x2 (3)通径:最短的焦点弦长为 ;

(4)

(5) 4.椭圆的参数方程: ?

? x ? a cos? ,(焦点在 X 轴). ? y ? b sin ? ? x ? a sec? ,(焦点在 X 轴). ? y ? b tan?

双曲线的参数方程: ?

练习:

1.设动点坐标(x,y)满足

,则

的最小值为(



A.

B.

C.

D.10

2.某圆锥曲线 C 是椭圆或双曲线,若其中心为坐标原点,对称轴为坐标轴,

且过点

,则(

) B.曲线 C 一定是双曲线 D.这样的曲线 C 不存在 均相切的动圆圆心的轨迹图形为( )

A.曲线 C 可能为椭圆也可能为双曲线 C.曲线 C 一定是椭圆 3.与圆 A.双曲线 及圆 B.两个双曲线 C.椭圆

D.两个椭圆

2

4. 例 6

x2 y2 P 是双曲线 - = 1 的右支上一点,M、N 分别是圆(x+5) +y =4 和(x-5) +y 9 16
2 2 2

2

=1 上的点,则|PM|-|PN|的最大值为( 5.设椭圆 实根分别为 和 ,则点 内 外



A.6

B.7

C.8 ,方程

D.9 的两个

的离心率为 ( )

,右焦点为

A.必在圆 C.必在圆 6.双曲线 A. 7.已知双曲线 A. B.
2 2

B.必在圆



D.以上三种情形都有可能 ( D. ,则双曲线的离心率为 ( ) )

的虚轴长是实轴长的 2 倍,则 B. C.

的两条渐近线的夹角为 C. D.2

8. P 是双曲线 9x -16y =144 右支上一点,F1、F2 分别是左、右焦点,则△PF1F2 的内切圆圆心的横坐标 为_____ 9.过点 (1,2)的直线 将圆 分成两段弧,其中的劣弧最短时,直线 的方程为

____________. 10.从直线 最小值为____________. 11.设 、 分别是椭圆 的左、右焦点. 的最大值和最小值; 、 ,且∠ 为锐角(其中 为坐标 上一点做圆 的切线,切点为 ,四边形 面积的

(Ⅰ)若

是该椭圆上的一个动点,求

(Ⅱ)设过定点

的直线 与椭圆交于不同的两点

原点) ,求直线 的斜率 的取值范围.

3



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