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2012 高考最新总结 排列组合和概率


排列组合和概率 【两年真题重温】 两年真题重温】
【2011 ? 新课标全国】有 3 个兴趣小组,甲、乙两位同学各自参加其中一个小组,每位同学 参加各个小组的可能性相同,则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为( ).

1 A. 3
【答案】A

1 B. 2

2 C. 3

3 D. 4

【解析】 由题意可知播种了 1000 粒, 没有发芽的种子数 ξ 服从二项分布, ξ ~ B (1000, 0.1) , 即 而 X = 2ξ ,则 EX = 2 Eξ = 2 × 1000 × 0.1 = 200 .应选 B. 【2010 年高考课标全国文】设函数 y=f(x)在区间[0,1]上的图象是连续 不断的一条曲线,且恒有 0≤f(x)≤1,可以用随机模拟方法近似计算由 曲线 y=f(x)及直线 x=0, x=1, y=0 所围成部分的面积 S.先产生两组(每 组 N 个)区间[0,1]上的均匀随机数 x1,x2,…,xN 和 y1,y2,…,yN, 由此得到 N 个点(xi,yi)(i=1,2,…,N).再数出其中满足 yi≤f(xi)(i= 1,2, N)的点数 N1, …, 那么由随机模拟方法可得 S 的近似值为________. 【答案】 【解析】由 0≤f(x)≤1 可知曲线 y=f(x)与直线 x=0,x=1,y=0 围成 了一个曲边梯形.又产生的随机数对在如图所示的正方形内,正方形的面积为 1,共有 N 对数,即有 N 个点,且满足 yi≤f(xi)(i=1,2,…,N)的有 N1 个点,即在函数 f(x)图象上及下 方有 N1 个点,所以由几何概型的概率公式得:曲线 y=f(x)与 x=0,x=1,y=0 围成的面 积为×1=

命题意图:本题主要考查二项分布的期望以及随机变量的性质,考查解决应用问题的能力.

【命题意图猜想】 命题意图猜想】
1. 2011 年高考题主要考查等可能事件的概率、相互独立事件的概率、互斥事件的概率.基 础题目,难度较低,分清事件是什么事件是解题的关键;2010 年理科高考题考查二项分布,

也是基础题,清晰二项分布的分辨能力和公式是解题的关键.;2010 年文科高考题同教材 P140 的例 4 相类似,试题从表面来看难度较大,考生感到无从下手,其实很简单,面积比 就等于点数比. 通过这两年的试题分析我们可以看出: 本热点的排列组合和概率问题往往结 合在一起考查,且以概率问题为主,单纯考查排列组合较少,试题难度不大,为中低档题。 2.排列与组合问题一直是高考数学的热点内容之一. 从近几年的高考试题统计分析来看, 对 2. 排列与组合知识的考查均以应用题的形式出现,题型为选择题、填空题,题量多是一道,分 值为 4~5 分,属于中档题.内容以考查排列、组合的基础知识为主.题目难度与课本习题 难度相当,但也有个别题目难度较大,重点考查分析、解决问题的能力及分类讨论的数学思 想方法.预测 2012 年高考,排列、组合及排列与组合的综合应用仍是高考的重点,同时应 注意排列、组合与概率、分布列等知识的结合,重点考查学生的运算能力与逻辑推理能力. 3.猜想: 2012 年的高考题很可能考查单纯排列组合问题, 在 而概率问题放在解答题中涉及, 试题难度不大,理科难度稍微比文科难度要大一些,命题方向为以分类思想为主。

【最新考纲解读】 最新考纲解读】

【回归课本整合】 回归课本整合】
1.排列数 (1)排列数公式 (1)排列数公式

Anm 中 n ≥ m ≥ 1, n、m ∈ N 、组合数 Cnm 中 n ≥ m, n ≥ 1, m ≥ 0, n、m ∈ N .
n! (m ≤ n) n ( n ? m )! ; An = n! = n(n ? 1)(n ? 2)L 2 ? 1 。

m An = n ( n ? 1)( n ? 2) L ( n ? m + 1) =

(2)组合数公式 (2)组合数公式
0 Cn = 1 . k k ?1 m m m?1 m n? m (3) 排 列 数 、 组 合 数 的 性 质 : ① Cn = Cn ; ② Cn = Cn?1 + Cn?1 ; ③ kCn = nCn?1 ; ④
m Cn = m An n ? ( n ? 1) ? L ? ( n ? m + 1) n! = = ( m ≤ n) m Am m ? ( m ? 1) ?L ? 2 ? 1 m!( n ? m )!

! ;规定 0 = 1 ,

C +C +C
r r r r +1

r r +2

+ L+ C = C
r n

r +1 n+1 ;⑤

n 1 1 = ? n ? n ! = ( n + 1)!? n ! ;⑥ (n + 1)! n ! (n + 1)! .

2.解排列组合问题的依据是: 解排列组合问题的依据是: (每类方法都能独立地完成这件事, 它是相互独立的, 解排列组合问题的依据是 分类相加 一次的且每次得出的是最后的结果,只需一种方法就能完成这件事) ,分步相乘(一步得出 的结果都不是最后的结果,任何一步都不能独立地完成这件事,只有各个步骤都完成了,才 能完成这件事,各步是关联的) ,有序排列,无序组合. 3.解排列组合问题的方法有: 解排列组合问题的方法有: 解排列组合问题的方法有 (1)特殊元素、特殊位置优先法(元素优先法:先考虑有限制条件的元素的要求,再 考虑其他元素;位置优先法:先考虑有限制条件的位置的要求,再考虑其他位置) 。 (2)间接法(对有限制条件的问题,先从总体考虑,再把不符合条件的所有情况去掉)

(3)相邻问题捆绑法(把相邻的若干个特殊元素“捆绑”为一个大元素,然后再与其余“普 相邻问题捆绑法 通元素”全排列,最后再“松绑” ,将特殊元素在这些位置上全排列) 。

(事件 A、B 的发生相互独立,互不影响)P(A?B)=P(A) ? P(B) .提醒 (1) 提醒: 9、独立事件: 独立事件: 提醒 如果事件 A、B 独立,那么事件 A 与 B 、 A 与 B 及事件 A 与 B 也都是独立事件; 2)如 ( 果事件 A、B 相互独立,那么事件 A、B 至少有一个不发生的概率是 1-P(A ? B)=1- P(A)P(B); 3)如果事件 A、B 相互独立,那么事件 A、B 至少有一个发生的概率是 1-P ( ( A ? B )=1-P( A )P( B ). 10 、 独 立 事 件 重 复 试 验 : 事 件 A 在 n 次 独 立 重 复 试 验 中 恰 好 发 生 了 k 次 的 概 率
k Pn ( k ) = C n p k (1 ? p ) n ? k (是二项展开式 [(1 ? p) + p]n 的第 k+1 项),其中 p 为在一次独立

重复试验中事件 A 发生的概率. 提醒: (1) 提醒: )探求一个事件发生的概率,关键是分清事件的性质.在求解过程中常应用等 ( 价转化思想和分解(分类或分步)转化思想处理, 把所求的事件: 转化为等可能事件的概率(常 常采用排列组合的知识);转化为若干个互斥事件中有一个发生的概率;利用对立事件的概 率, 转化为相互独立事件同时发生的概率; 看作某一事件在 n 次实验中恰有 k 次发生的概率, 但要注意公式的使用条件.(2)事件互斥是事件独立的必要非充分条件,反之,事件对立是 ( ) 事件互斥的充分非必要条件; 3)概率问题的解题规范:①先设事件 A=“…” B=“…” , ; ( ) ②列式计算;③作答. 11.古典概型: 古典概型: 古典概型 满足以下两个条件的随机试验的概率模型称为古典概型: (1)有限性 有限性:在一次试验中,可能出现的不同的基本事件只有有限个; (1)有限性 (2)等可能性 等可能性: (2)等可能性:每个基本事件的发生都是等可能的. 古典概型中事件的概率计算如果一次试验的等可能基本事件共有 n 个,随机事件 A 包 含了其中 m 个等可能基本事件,那么事件 A 发生的概率为 P(A)=. 12. 12.几何概型 区域 A 为区域Ω的一个子区域,如果每个事件发生的概率只与构成该事件的区域 A 的几何 度量(长度、面积或体积)成正比,而与 A 的位置和形状无关,则称这样的概率模型为几何概 率模型.几何概型的概率 P(A)=, =,其中 ?A 表示构成事件 A 的区域长度(面积或体积).?? 表 几何概型的概率 P(A)=, 示试验的全部结果所构成区域的长度(面积或体积). 13、解决概率问题要注意“四个步骤 一个结合”: 四个步骤, 13、解决概率问题要注意 四个步骤,一个结合 :



? 等可能事件 ? ?互 斥 事 件 ? ?独 立 事 件 ? 求概率的步骤是:第一步,确定事件性质 ? n 次 独 立 重 复 试 验

即所给的问题归结为四类事件中的某一种.
?和 事 件 ? 第二步,判断事件的运算 ? 积 事 件

即是至少有一个发生,还是同时发生,分别运用相加或相乘事件.
m ? 等 可 能 事 件 : P ( A) = ? n ? ?互 斥 事 件 : P ( A + B ) = P ( A) + P ( B ) ? ? 独 立 事 件 : P ( A ? B ) = P ( A) ? P ( B ) ? k k n?k ? 第三步,运用公式 ? n次 独 立 重 复 试 验 : Pn ( k ) = C n p (1 ? p )

求解

第四步,答,即给提出的问题有一个明确的答复.

3.解排列、组合的综合应用问题,要按照“先选后排”的原则进行,即一般是先将符合要求 的元素取出(组合),再对取出的元素进行排列,常用的分析方法有:元素分析法、位置分析 法、图形分析法.要根据实际问题探索分类、分步的技巧,做到层次清楚,条理分明. 4.事件 A 的概率的计算方法,关键要分清基本事件总数 n 与事件 A 包含的基本事件数 m.因 此必须解决以下三个方面的问题:第一,本试验是否是等可能的;第二,本试验的基本事件 数有多少个;第三,事件 A 是什么?它包含的基本事件有多少.回答好这三个方面的问题, 解题才不会出错. 5.几何概型的两个特点:一是无限性,即在一次试验中,基本事件的个数可以是无限的; 二是等可能性,即每一个基本事件发生的可能性是均等的.因此,用几何概型求解的概率问 题和古典概型的思路是相同的,同属于“比例解法” .即随机事件 A 的概率可以用“事件 A 包含的基本事件所占的图形面积(体积、长度)”与“试验的基本事件所占的总面积(总体积、 长度)”之比来表示.

【考场经验分享】 考场经验分享】
1.切实理解“完成一件事”的含义,以确定需要分类还是需要分步进行.分类时要做到不

重不漏.对于复杂的计数问题,可以分类、分步综合应用. 2.解决排列、组合问题可遵循“先组合后排列”的原则,区分排列、组合问题主要是判断 “有序”和“无序” ,更重要的是弄清怎样的算法有序,怎样的算法无序,关键是在计算中 体现“有序”和“无序” . 3.要能够写出所有符合条件的排列或组合,尽可能使写出的排列或组合与计算的排列数相 符,使复杂问题简单化,这样既可以加深对问题的理解,检验算法的正确与否,又可以对排 列数或组合数较小的问题的解决起到事半功倍的效果. 4.几何概型求解时应注意: (1)对于一个具体问题能否应用几何概型概率公式计算事件的概率,关键在于能否将问题几 何化;也可根据实际问题的具体情况,选取合适的参数,建立适当的坐标系,在此基础上, 将试验的每一个结果一一对应于该坐标系中的一个点,使得全体结果构成一个可度量区域. (2)由概率的几何定义可知,在几何概型中, “等可能”一词应理解为对应于每个试验结果的 点落入某区域内的可能性大小仅与该区域的几何度量成正比,而与该区域的位置与形状无 关. 5.如果题设条件比较复杂,且备选答案数字较小,可考虑利用穷举法求解;如果试题难度较 大并和其它知识联系到一起,感觉不易求解,一般不要花费过多的时间,可通过排除法模糊 确定,一般可考虑去掉数字最大和最小的答案.

【新题预测演练】 新题预测演练】
1.【山东省莱芜市 2012 届高三上学期期末检测】 【 届高三上学期期末检测】 如图,在一花坛 A,B,C,D 四个区域种花,现有 4 种不同的花供选种, 要求在每块里种 1 种花,且相邻的两块种不同的花,则不同的种法总数为 A.48 B.60 C.72 D.84 【答案】 D 【解析】当 A 与 C 同色时有 4×3×3=36 种不同的涂法, 当 A 与 C 不同色时有 4×3×2×2=48 种不同的涂法,∴共有 36+48=84. 2.【2012 年石家庄市高中毕业班教学质量检测(二)】 【 年石家庄市高中毕业班教学质量检测 二 】 一个袋子中有 5 个大小相同的球,其中 3 个白球与 2 个黑球,现从袋中任意取出一个球,取 出后不放回,然后再从袋中任意取出一个球,求第一次为白球第二次为黑球的概率为

3 A. 5

3 B. 10

1 C. 2

6 D. 25

3.【保定市 2011—2012 学年度第一学期高三期末调研考试】 【 学年度第一学期高三期末调研考试】 —

2 2 P ( x, y ) 满足 x + y ≤ 1 ,集合 M = ( x, y ) x + y ≤ 1 ,在集合 M 中任取一点, 已知点

{

}

则恰好取到点 P 的概率为

1 A、 π

2 B、 π

3 C、 π

D、1

【答案】B 【解析点 P ( x, y ) 所在正方形的面积为 2,集合 M 所表示的圆的面积为 π ,所以所求概率

2
为π . 4.【2012 年高中毕业年级第一次质量预测理】 【 年高中毕业年级第一次质量预测理】 如图所示,在一个边长为 1 的正方形 AOBC 内,曲线 y = x 和曲线
2

y = x 围成一个叶形图(阴影部分) ,向正方形 AOBC 内随机投一
点(该点落在正方形 AOBC 内任何一点是等可能的) ,则所投的点落 在叶形图内部的概率是

1 A. 2

1 B. 6

1 C. 4

1 D. 3

【答案】D
1 S阴 2 3 1 1 1 S阴 = ∫ ( x ? x 2 )dx = ( x 2 ? x3 ) |1 = , S正方形OBCA =1, P = ∴ = . 0 3 3 3 S正方形OBCA 3 0 【解析】

5.【湖北省孝感市 2011-2012 学年度高中三年级第一次统一考试】 【
如图所示,在 A B 间有四个焊接点,若焊接点脱落,则导致电路不通.今发现 A、B 之间电路不通,则焊接

点脱落的不同情况有()种.

A.9

B. 11

C. 13

D. 15

【答案】 C 【解析】按照脱落的个数多少进行分类.若脱落 1 个,则有(1) (4)共 2 种;若脱落 2 个, 有(1、4) (2、3) (1,2) (1,3) (4,2) (4,3)共 6 种;若脱落 3 个,有(1,2,3) (1,2,4) (2,3,4) (1,3,4)共 4 种;若脱落 4 个,有(1,2,3,4)共 1 种.综上共有 2+6+4+1=13 种. 6.【浙江省 2012 年高三调研理科数学测试卷】 年高三调研理科数学测试卷】 【 袋中共有 8 个球,其中 3 个红球、2 个白球、3 个黑球.若从袋中任取 3 个球,则所取 3 个 球中至多有 1 个红球的概率是

9
(A) 14 【答案】D

37
(B) 56

39
(C) 56

5
(D) 7

P=

【解析】 明确公式 1 个红球”的各种情形。解题的关键是将“至多有 1 个红球”分为“有一个红球”和“没有红球”

m n 中 m 表示为“从 8 个球取 3 个球,”的各种情形, n 表示“至多有

P=

两类. 7.[广东省深圳市福田区 2012 届数学科 理)试题详细解析 届数学科(理 试题详细解析 试题详细解析] 广东省深圳市福田区

1 3 C3C52 C5 5 + 3= . C83 C8 7

[?
在区间

π π 1 , ] 2 2 上随机取一个数 x, cos x 的值介于 0 到 2 之间的概率为(
2 B. π 1 C. 2 2 D. 3

).

1 A. 3
【答案】A

w.w.w.. c.o.m

[?
【解析】 :在区间

π π π π 1 , ] x ∈ [? , ] 2 2 上随机取一个数 x,即 2 2 时,要使 cos x 的值介于 0 到 2

?
之间,需使

π
2

≤x≤?

π

π

3或3

≤x≤

π

π

2 ,区间长度为 3 ,由几何概型知 cos x 的值介于 0

π
1 3 =1 3 .故选 A. 到 2 之间的概率为 π
w.w.w..c.o.m

8.【河北省唐山市 2012 届高三上学期摸底考试数学】 【 届高三上学期摸底考试数学 考试数学】 五名志愿者去四个不同的社区参加创建文明城市的公益活动,每个社区至少一人,且甲、乙 不能分在同一个社区,则不同的分配方法有( ) A. 240 种 B. 216 种 C. 120 种 D.72 种 【答案】B
1 C42C2 1 + C3 2 【解析】五名志愿者分成四组,每组至少一人且甲乙不在同一组共有 A2 种,再把

2 1 ? C4 C2 1? 4 ? 2 + C3 ? ? A4 = 216 ? 四组安排到四个社区,共有 ? A2 .

9.【河北省正定中学 2011—2012 学年度高三月考(数学理) 【 学年度高三月考(数学理) — 】 如图,设 D 是图中边长为 4 的正方形区域, E 是 D 内函数 y = x 图象下方的点构成的区 域. D 中随机投一点, 向 则该点落入 E 中的概率为 ( )
2

1 A. 5 1 C. 3
【答案】C

1 B. 4 1 D. 2

【解析】 S 阴影=

2∫

2

0

1 x 2 dx = 2 × x 3 3

2 0

16 1 8 16 P= 3 = = 2× = 3 3 , 16 3 .

10.【山西省 2012 届高三第二次四校联考】 【 届高三第二次四校联考】

1 某人抛掷一枚硬币,出现正反的概率都是 2 ,构造数列 {a n } ,使得
?1 (当第n次出现正面时) an = ? * ??1 (当第n次出现反面时) ,记 S n = a1 + a2 + ? ? ? + an (n ∈ N ) .则 S 4 = 2 的概率为

1 A. 16

1 B. 8

1 C. 4

1 D. 2

12.【福州市 2012 届第一学期期末高三质检】 【 届第一学期期末高三质检】 在三次独立重复试验中,事件 A 在每次试验中发生的概率相同,若事件 A 至少发生一次的

63 64 ,则事件 A 恰好发生一次的概率为 概率为 1 A. 4
【答案】C 【解析】设事件 A 在每次试验中发生的概率为 x ,由题意有
3 1 ? C3 (1 ? x )3 =

3 B. 4

9 C. 64

27 D. 64 63 3 x= 64 ,得 4,

3 9 1 3 C3 ( )(1 ? )2 = 4 4 64 . 则事件 A 恰好发生一次的概率为
13.(2012 届河北正定中学高三上学期第二次月考)小波通过做游戏的方式来确定周末活 ( 届河北正定中学高三上学期第二次月考)

1 动,他随机地往单位圆内投掷一点,若此点到圆心的距离大于 2 ,则周末去看电影;若此 1 点到圆心的距离小于 4 ,则去打篮球;否则,在家看书,则小波周末不在家看书的概率为 A 13 16 B 3 16 C 3 8 D 1 2

【答案】A

0 【解析】 14.【唐山市 2011—2012 学年度高三年级第一学期期末考试】 【 — 学年度高三年级第一学期期末考试】 一学期期末考试 在具有 5 个行政区域的地图(如图)上,给这 5 个区域着色共使用了 4 种不同的 颜色,相邻区域不使用同一颜色,则有 种不同的着色方法。 【答案】 48 【解析】依题意,一共使用了 4 种不同的颜色,因 5 块区域,故必有

S阴影 =2 ∫

2

16 1 2 8 16 1 x 2 dx = 2 × x 3 |0 = 2 × = ,∴ P = 3 = . 3 3 3 16 3

2 块颜色相同.分成 2 类: 1,5 块颜色相同,则 C4C3C2 = 24; 若 若 2,4 颜色相同,同理也有 24 种,故共有 48 种不同的着色方法. 15.【2012 年上海市普通高等学校春季招生考试】 年上海市普通高等学校春季招生考试】 【
1 1 1

某校要从 2 名男生和 4 名女生中选出 4 人担任某游泳赛事的志愿者工作, 则在选出的志愿者 中,男、女生都有的概率为 .(结果有数值表示)

14 【答案】 15 P=
【解析】根据限制条件进行分类“1 男 3 女”“2 男 2 女”两类情况,然后利用公式
1 3 C2C4 + C22C42 14 P= = . C 1C 3 , C 2C 2 , C64 15 进行求解。若“1 男 3 女”则有 2 4 “2 男 2 女”有 2 4 故

m n

16.(2012 届山东实验中学第一次诊断考试)已知函数 f ( x) = ?3 x 2 + ax + b, 若 a、 b 都是 届山东实验中学第一次诊断考试) ( 在区间[0,4]内任取一个数,则 f (1) > 0 的概率为_______

17.(2012 届无锡一中高三第一学期期初试卷)从一副没有大小王的 52 张扑克牌中随机抽 ( 届无锡一中高三第一学期期初试卷) 取 1 张,事件 A 为“抽得红桃 8” ,事件 B 为“抽得为黑桃” ,则事件“A+B”的概率值是 _____________(结果用最简分数表示) .


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