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山东省枣庄一中2016届高考数学一模试卷(文科)(解析版)



2016 年山东省枣庄一中高考数学一模试卷(文科)
一、选择题:(该题有 10 个小题,每小题 5 分,共计 50 分) 1.若集合 A={x|y=2x},集合 A.(0,+∞) B.(1,+∞) ,则 A∩B=( )

C.[0,+∞) D.(﹣∞,+∞)

2.设等差数列{an}满足 3a10=5a17,且 a1>0,Sn 为其前 n 项和,则数列{Sn}的最大项是( A.S24 B.S23 C.S26 D.S27



3.一动圆过点 A(0,1),圆心在抛物线 y= x2 上,且恒与定直线相切,则直线 l 的方程为( A.x=1 B.x= C.y=﹣ D.y=﹣1



4.已知实数 a,b,c 满足不等式 0<a<b<c<1,且 M=2a,N=5﹣b,P=lnc,则 M、N、P 的大小关 系为( )

A.P<N<M B.P<M<N C.M<P<N D.N<P<M

5.已知某锥体的正视图和侧视图如图,其体积为

,则该椎体的俯视图可以是(



A.

B.

C.

D.

6.执行如图所示的程序框图,输出的结果是(



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A.5

B.6

C.7

D.8

7.已知 i 为虚数单位,若复数(1+ai)(2+i)是纯虚数,则实数 a 等于( A.2 B. C. D.﹣2



8.将函数 h(x)=2sin(2x+

)的图象向右平移

个单位,再向上平移 2 个单位,得到函数 f(x) )

的图象,则函数 f(x)的图象与函数 h(x)的图象( A.关于直线 x=0 对称 B.关于直线 x=1 对称 C.关于点(1,0)对称 D.关于点(0,1)对称

9.已知双曲线

(a>0,b>0)的焦点 F1(﹣c,0)、F2(c,0)(c>0),过 F2 的直 + = , + = ,则下列各

线 l 交双曲线于 A,D 两点,交渐近线于 B,C 两点.设 式成立的是( A.| |>| | ) C.| ﹣ |=0 D.| ﹣ |>0

B.| |<| |

10.设函数 f(x)在 R 上存在导数 f′(x),?x∈R,有 f(﹣x)+f(x)=x2,在(0,+∞)上 f′(x) <x,若 f(4﹣m)﹣f(m)≥8﹣4m.则实数 m 的取值范围为( A.[﹣2,2] B.[2,+∞) C.[0,+∞) D.(﹣∞,2]∪[2,+∞) )

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二、填空题(该题有 5 个小题,每小题 5 分,共计 25 分) 11.已知函数 f(x)=axlnx,a∈R,若 f′(e)=3,则 a 的值为 .

12.已知

的值为



13.已知函数 f(x)是定义在 R 上的偶函数,当 x≥0 时,f(x)=x2﹣2x,如果函数 g(x)=f(x) ﹣m(m∈R) 恰有 4 个零点,则 m 的取值范围是 .

14.当实数 x,y 满足

时,1≤ax+y≤4 恒成立,则实数 a 的取值范围是



15.给出下列命题,其中正确的命题是

(把所有正确的命题的选项都填上).

①函数 y=f(x﹣2)和 y=f(2﹣x)的图象关于直线 x=2 对称. ②在 R 上连续的函数 f(x)若是增函数,则对任意 x0∈R 均有 f′(x0)>0 成立. ③底面是等边三角形,侧面都是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥. ④若 P 为双曲线 x2﹣ =1 上一点,F1、F2 为双曲线的左右焦点,且|PF2|=4,则|PF1|=2 或 6

⑤已知函数 y=2sin(ωx+θ) (ω>0,0<θ<π)为偶函数,其图象与直线 y=2 的交点的横坐标为 x1, x2,若|x1﹣x2|的最小值为 π,则 ω 的值为 2,θ 的值为 .

三、解答题(该题有 6 个小题,16-19 每小题 12 分,20 题 13 分,21 题 14 分,共计 75 分) 16.在△ ABC 中,设内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c 向量 =(cosA,sinA),向量 =( sinA,cosA),若| + |=2. (1)求角 A 的大小; (2)若 b=4 ,且 c= a,求△ ABC 的面积. ﹣

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17.某班同学利用寒假在 5 个居民小区内选择两个小区逐户进行一次“低碳生活习惯”的调查,以计 算每户的碳月排放量.若月排放量符合低碳标准的称为“低碳族”,否则称为“非低碳族”.若小区内有 至少 75%的住户属于“低碳族”,则称这个小区为“低碳小区”,否则称为“非低碳小区”.已知备选的 5 个居民小区中有三个非低碳小区,两个低碳小

区.

(Ⅰ)求所选的两个小区恰有一个为“非低碳小区”的概率; (Ⅱ)假定选择的“非低碳小区”为小区 A,调查显示其“低碳族”的比例为 ,数据如图 1 所示,经过 同学们的大力宣传,三个月后,又进行了一次调查,数据如图 2 所示,问这时小区 A 是否达到“低碳 小区”的标准?

18.设等比数列{an}的前 n 项和为 Sn,a3= ,且 S2+ (Ⅰ)求数列{an}的通项公式; (Ⅱ)求数列{an?bn}的前 n 项和 Tn.

,S3,S4 成等差数列,数列{bn}满足 bn=8n.

19.已知四棱柱 ABCD﹣A1B1C1D1 的底面 ABCD 是边长为 2 的菱形,AA1=2 ∠BAD=∠A1AC=60°,点 M 是棱 AA1 的中点. (Ⅰ)求证:A1C∥平面 BMD; (Ⅱ)求点 C1 到平面 BDD1B1 的距离.

,BD⊥A1A,

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20.已知焦点在 x 轴上的椭圆 (Ⅰ)求椭圆的标准方程;

+

=1(a>b>0),焦距为 2

,长轴长为 4.

(Ⅱ)过点 O 作两条互相垂直的射线,与椭圆交于 A,B 两点. (1)证明:点 O 到直线 AB 的距离为定值,并求出这个定值; (2)求|AB|的最小值.

21.已知函数 f(x)=

+ax,x>1.

(Ⅰ)若 f(x)在(1,+∞)上单调递减,求实数 a 的取值范围; (Ⅱ)若 a=2,求函数 f(x)的极小值; (Ⅲ)若方程(2x﹣m)lnx+x=0 在(1,e]上有两个不等实根,求实数 m 的取值范围.

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2016 年山东省枣庄一中高考数学一模试卷(文科)
参考答案与试题解析

一、选择题:(该题有 10 个小题,每小题 5 分,共计 50 分) 1.若集合 A={x|y=2x},集合 A.(0,+∞) B.(1,+∞) ,则 A∩B=( )

C.[0,+∞) D.(﹣∞,+∞)

【考点】函数的定义域及其求法;交集及其运算. 【专题】计算题;函数的性质及应用. 【分析】求出集合 A 中函数的定义域确定出 A,求出集合 B 中函数的定义域确定出 B,求出 A 与 B 的交集即可. 【解答】解:集合 A 中的函数 y=2x,x∈R,即 A=R, 集合 B 中的函数 y= 则 A∩B=[0,+∞). 故选 C 【点评】此题属于以函数的定义域为平台,考查了交集及其运算,熟练掌握交集的定义是解本题的 关键. ,x≥0,即 B=[0,+∞),

2.设等差数列{an}满足 3a10=5a17,且 a1>0,Sn 为其前 n 项和,则数列{Sn}的最大项是( A.S24 B.S23 C.S26 D.S27



【考点】等差数列的前 n 项和. 【专题】等差数列与等比数列. 【分析】由题意易得数列的公差,可得等差数列{an}前 27 项为正数,从第 28 项起为负数,可得答 案. 【解答】解:设等差数列{an}的公差为 d, 由 3a10=5a17 可得 3(a1+9d)=5(a1+16d), 解得 d=﹣ a1<0, a1,

∴an=a1+(n﹣1)d=

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令 an= 解得 n≥ ,

a1≤0 可得

≤0,

∴递减的等差数列{an}前 27 项为正数,从第 28 项起为负数, ∴数列{Sn}的最大项为 S27, 故选:D. 【点评】本题考查等差数列的前 n 项和的最值,从数列项的正负入手是解决问题的关键,属基础题.

3.一动圆过点 A(0,1),圆心在抛物线 y= x2 上,且恒与定直线相切,则直线 l 的方程为( A.x=1 B.x= C.y=﹣ D.y=﹣1



【考点】抛物线的简单性质. 【专题】计算题;圆锥曲线的定义、性质与方程. 【分析】要使圆过点 A(0,1)且与定直线 l 相切,需圆心到定点的距离与定直线的距离相等,根 据抛物线的定义可知,定直线正是抛物线的准线. 【解答】解:根据抛物线方程可知抛物线焦点为(0,1), ∴定点 A 为抛物线的焦点, 要使圆过点 A(0,1)且与定直线 l 相切,需圆心到定点的距离与定直线的距离相等, 根据抛物线的定义可知,定直线正是抛物线的准线,准线方程为 y=﹣1 故答案为:y=﹣1. 【点评】本题考查抛物线的定义,考查抛物线的性质,考查学生分析解决问题的能力,属于中档题.

4.已知实数 a,b,c 满足不等式 0<a<b<c<1,且 M=2a,N=5﹣b,P=lnc,则 M、N、P 的大小关 系为( )

A.P<N<M B.P<M<N C.M<P<N D.N<P<M 【考点】对数值大小的比较. 【专题】计算题;函数的性质及应用. 【分析】由对数函数与指数函数的单调性,利用特值法比较大小. 【解答】解:∵0<a<b<c<1, ∴M=2a>20=1,
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N=5﹣b<50=1, 且 N>0; P=lnc<ln1=0, 故 P<N<M; 故选:A. 【点评】本题考查了对数函数与指数函数的单调性及特值法的应用,属于基础题.

5.已知某锥体的正视图和侧视图如图,其体积为

,则该椎体的俯视图可以是(



A.

B.

C.

D.

【考点】简单空间图形的三视图. 【专题】空间位置关系与距离. 【分析】由已知中锥体的正视图和侧视图,可得锥体的高为 面积为 2,进而可得答案. 【解答】解:∵锥体的正视图和侧视图均为边长为 2 的等边三角形, 故锥体的高为 , , ,结合锥体的体积为 ,可得其底

又∵锥体的体积为

故锥体的底面面积为 2, A 中图形的面积为 4,不满足要求; B 中图形的面积为 π,不满足要求; C 中图形的面积为 2,满足要求; D 中图形的面积为 故选:C 【点评】本题考查的知识点是简单几何体的三视图,难度不大,属于基础题. ,不满足要求;

6.执行如图所示的程序框图,输出的结果是(



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A.5

B.6

C.7

D.8

【考点】程序框图. 【专题】图表型;算法和程序框图. 【分析】模拟执行程序框图,根据判断条件依次写出每次循环得到的 n,i 的值,当 n=475 时满足条 件 n>123,退出循环,输出 i 的值为 6. 【解答】解:模拟执行程序框图,可得 n=12,i=1 满足条件 n 是 3 的倍数,n=8,i=2,不满足条件 n>123, 不满足条件 n 是 3 的倍数,n=31,i=3,不满足条件 n>123, 不满足条件 n 是 3 的倍数,n=123,i=4,不满足条件 n>123, 满足条件 n 是 3 的倍数,n=119,i=5,不满足条件 n>123, 不满足条件 n 是 3 的倍数,n=475,i=6,满足条件 n>123,退出循环,输出 i 的值为 6. 故选:B. 【点评】本题主要考查了循环结构的程序框图,根据判断条件正确依次写出每次循环得到的 n,i 的 值是解题的关键,属于基础题.

7.已知 i 为虚数单位,若复数(1+ai)(2+i)是纯虚数,则实数 a 等于( A.2 B. C. D.﹣2



【考点】复数的代数表示法及其几何意义. 【专题】计算题. 【分析】利用复数的运算法则进行化简,然后再利用纯虚数的定义即可得出.
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【解答】解:∵复数(1+ai)(2+i)=2﹣a+(1+2a)i 是纯虚数,∴ 故选 A. 【点评】熟练掌握复数的运算法则、纯虚数的定义是解题的关键.

,解得 a=2.

8.将函数 h(x)=2sin(2x+

)的图象向右平移

个单位,再向上平移 2 个单位,得到函数 f(x) )

的图象,则函数 f(x)的图象与函数 h(x)的图象( A.关于直线 x=0 对称 B.关于直线 x=1 对称 C.关于点(1,0)对称 D.关于点(0,1)对称

【考点】函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换. 【专题】三角函数的图像与性质. 【分析】通过函数图象的平移得到函数 f(x)的解析式为 f(x)=2sin(2x﹣ )+2. )≠f(x),

对于选项 A,h(x)的图象关于 x=0 的对称图象对应的解析式为 h(﹣x)=2sin(﹣2x+ 选项 A 错误;

对于选项 B,h(x)的图象关于 x=1 的对称图象对应的解析式为 h(2﹣x)=2sin(4﹣2x+ 2sin(2x﹣4﹣ )≠f(x),选项 B 错误;

)=﹣

h 0) =﹣2sin 对于选项 C, (x) 的图象关于点 (1, 的对称图象对应的解析式为﹣h (2﹣x) (4﹣2x+ =2sin(2x﹣4﹣ )≠f(x),选项 C 错误;



h 1) =2﹣2sin 对于选项 D, (x) 的图象关于点 (0, 的对称图象对应的解析式为 2﹣h (﹣x) (﹣2x+ =2sin(2x﹣ )+2,选项 D 正确. )的图象向右平移 )+ )=2, 个单位,再向上平移 2 个单位, ]+2=2sin(2x﹣ )+2.



【解答】解:将函数 h(x)=2sin(2x+

得到函数 f(x)的图象的解析式为 f(x)=2sin[2(x﹣ ∵f(x)+h(﹣x)=2sin(2x﹣ )+2+2sin(﹣2x+

∴f(x)=2﹣h(﹣x)=2×1﹣h(2×0﹣x). 则函数 f(x)的图象与函数 h(x)的图象关于点(0,1)对称. 故选:D.
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【点评】本题考查 y=Asin(ωx+φ)型函数的图象变换,三角函数的平移原则为左加右减上加下减, 解答此题的关键是熟记 y=f(x)的图象与 y=2b﹣f(2a﹣x)的图象关于(a,b)对称,是中档题.

9.已知双曲线

(a>0,b>0)的焦点 F1(﹣c,0)、F2(c,0)(c>0),过 F2 的直 + = , + = ,则下列各

线 l 交双曲线于 A,D 两点,交渐近线于 B,C 两点.设 式成立的是( A.| |>| | ) C.| ﹣ |=0 D.| ﹣ |>0

B.| |<| |

【考点】双曲线的简单性质. 【专题】计算题;圆锥曲线的定义、性质与方程. 【分析】特殊化,取过 F2 垂直于 x 轴的直线 l 交双曲线于 A,D 两点,交渐近线于 B,C 两点,可 得 + = =2 , + = =2 ,即可得出结论.

【解答】解:取过 F2 垂直于 x 轴的直线 l 交双曲线于 A,D 两点,交渐近线于 B,C 两点,则 + = =2 , + = =2 ,

∴| ﹣ |=0.. 故选:C 【点评】特殊化是我们解决选择、填空题的常用方法.

10.设函数 f(x)在 R 上存在导数 f′(x),?x∈R,有 f(﹣x)+f(x)=x2,在(0,+∞)上 f′(x) <x,若 f(4﹣m)﹣f(m)≥8﹣4m.则实数 m 的取值范围为( A.[﹣2,2] B.[2,+∞) C.[0,+∞) D.(﹣∞,2]∪[2,+∞) 【考点】利用导数研究函数的单调性. 【专题】导数的综合应用. 【分析】令 g(x)=f(x)﹣ x2,由 g(﹣x)+g(x)=0,可得函数 g(x)为奇函数.利用导数可 得函数 g(x)在 R 上是减函数,f(4﹣m)﹣f(m)≥8﹣4m,即 g(4﹣m)≥g(m),可得 4﹣m≤m, 由此解得 a 的范围. 【解答】解:令 g(x)=f(x)﹣ x2, )

第 11 页(共 24 页)

∵g(﹣x)+g(x)=f(﹣x)﹣ x2+f(x)﹣ x2=0, ∴函数 g(x)为奇函数. ∵x∈(0,+∞)时,g′(x)=f′(x)﹣x<0, 故函数 g(x)在(0,+∞)上是减函数,故函数 g(x)在(﹣∞,0)上也是减函数, 由 f(0)=0,可得 g(x)在 R 上是减函数, ∴f(4﹣m)﹣f(m)=g(4﹣m)+ (4﹣m)2﹣g(m)﹣ m2=g(4﹣m)﹣g(m)+8﹣4m≥8﹣ 4m, ∴g(4﹣m)≥g(m),∴4﹣m≤m,解得:m≥2, 故选:B. 【点评】本题主要考查函数的奇偶性、单调性的应用,体现了转化的数学思想,属于中档题.

二、填空题(该题有 5 个小题,每小题 5 分,共计 25 分) 11.已知函数 f(x)=axlnx,a∈R,若 f′(e)=3,则 a 的值为 【考点】导数的运算. 【专题】计算题;函数思想;综合法;导数的概念及应用. 【分析】根据导数的运算法则计算即可. 【解答】解:f′(x)=a(1+lnx),a∈R,f′(e)=3, ∴a(1+lne)=3, ∴a= , 故答案为: 【点评】本题考查了导数的运算法则,和导数值的计算,属于基础题. .

12.已知 【考点】两角和与差的正切函数. 【专题】转化思想;综合法;三角函数的求值.

的值为 ﹣



【分析】由条件利用两角差的正切公式,求得 tanβ=tan[(α+β)﹣α]的值.

第 12 页(共 24 页)

【解答】解:∵已知

=tan[(α+β)﹣

α] =

=

=﹣ ,

故答案为:﹣ . 【点评】本题主要考查两角和差的正切公式的应用,属于基础题.

13.已知函数 f(x)是定义在 R 上的偶函数,当 x≥0 时,f(x)=x2﹣2x,如果函数 g(x)=f(x) ﹣m(m∈R) 恰有 4 个零点,则 m 的取值范围是 (﹣1,0) . 【考点】根的存在性及根的个数判断. 【专题】计算题;作图题;函数的性质及应用. 【分析】函数 g(x)=f(x)﹣m(m∈R) 恰有 4 个零点可化为函数 f(x)与 y=m 恰有 4 个交点, 作函数 f(x)与 y=m 的图象求解. 【解答】解:函数 g(x)=f(x)﹣m(m∈R) 恰有 4 个零点可化为 函数 f(x)与 y=m 恰有 4 个交点, 作函数 f(x)与 y=m 的图象如下,

故 m 的取值范围是(﹣1,0); 故答案为:(﹣1,0). 【点评】本题考查了函数的零点与函数图象的交点的关系应用,属于基础题.

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14.当实数 x,y 满足

时,1≤ax+y≤4 恒成立,则实数 a 的取值范围是 [

]



【考点】简单线性规划. 【专题】不等式的解法及应用. 【分析】由约束条件作出可行域,再由 1≤ax+y≤4 恒成立,结合可行域内特殊点 A,B,C 的坐标满 足不等式列不等式组,求解不等式组得实数 a 的取值范围. 【解答】解:由约束条件作可行域如图, 联立 ,解得 C(1, ).

联立

,解得 B(2,1).

在 x﹣y﹣1=0 中取 y=0 得 A(1,0). 要使 1≤ax+y≤4 恒成立,



,解得:1



∴实数 a 的取值范围是



解法二:令 z=ax+y, 当 a>0 时,y=﹣ax+z,在 B 点取得最大值,A 点取得最小值, 可得 ,即 1≤a≤ ;

当 a<0 时,y=﹣ax+z,在 C 点取得最大值, ①a<﹣1 时,在 B 点取得最小值,可得 ,解得 0≤a≤ (不符合条件,舍去)

②﹣1<a<0 时,在 A 点取得最小值,可得

,解得 1≤a≤ (不符合条件,舍去)

综上所述即:1≤a≤ ;
第 14 页(共 24 页)

故答案为:



【点评】本题考查线性规划,考查了数形结合的解题思想方法,考查了数学转化思想方法,训练了 不等式组得解法,是中档题.

15.给出下列命题,其中正确的命题是 ①⑤ (把所有正确的命题的选项都填上). ①函数 y=f(x﹣2)和 y=f(2﹣x)的图象关于直线 x=2 对称. ②在 R 上连续的函数 f(x)若是增函数,则对任意 x0∈R 均有 f′(x0)>0 成立. ③底面是等边三角形,侧面都是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥. ④若 P 为双曲线 x2﹣ =1 上一点,F1、F2 为双曲线的左右焦点,且|PF2|=4,则|PF1|=2 或 6

⑤已知函数 y=2sin(ωx+θ) (ω>0,0<θ<π)为偶函数,其图象与直线 y=2 的交点的横坐标为 x1, x2,若|x1﹣x2|的最小值为 π,则 ω 的值为 2,θ 的值为 【考点】命题的真假判断与应用. 【专题】阅读型. 【分析】对于①,令 x﹣2=t,则 2﹣x=﹣t,由 y=f(t)和 y=f(﹣t)的对称性,从而得到函数 y=f (x﹣2)和 y=f(2﹣x)的图象的对称; 对于②,可举反例,函数 y=x3,即可判断; 对于③,考虑侧面的一侧棱和底面的一底边相等,即可判断; 对于④,讨论 P 的位置在左支上,还是在右支上,结合双曲线上的点到焦点距离的最小值,判断出 P 为右支上一点,再由双曲线的定义,即可求出|PF1|; .

第 15 页(共 24 页)

θ= 对于⑤, 由函数为偶函数, 应用诱导公式得,

, 再根据其图象与直线 y=2 的交点, 求出 ωx=2kπ,

再根据|x1﹣x2|的最小值为 π,取 k=0,k=1,求出 ω. 【解答】解:对于①,令 x﹣2=t,则 2﹣x=﹣t,则 y=f(t)和 y=f(﹣t)关于直线 t=0 对称,即关 于直线 x=2 对称, 故①正确; 对于②,在 R 上连续的函数 f(x),若是增函数,则对任意 x0∈R 均有 f′(x0)≥0 成立, 比如 f(x)=x3,f′(x)≥0,故②错; 对于③,侧面为等腰三角形,不一定就是侧棱为两腰,故③错; 对于④,若 P 为双曲线 x2﹣ 上, 则|PF2|的最小值为 >4,故 P 在右支上,|PF1|﹣|PF2|=2,故|PF1|=6,故④错; 时, =1 上一点,F1、F2 为双曲线的左、右焦点,且|PF2|=4,若 P 在左支

对于⑤,函数 y=2sin(ωx+θ)(ω>0,0<θ<π)为偶函数,则由诱导公式得,θ= y=2sin(

)=2cos(ωx)为偶函数,又其图象与直线 y=2 的交点的横坐标为 x1,x2, ,若|x1﹣x2|的最小值为 π 则可取 k=0,1,

即 cos(ωx)=1,ωx=2kπ,x= 即有 ,ω=2,故⑤正确.

故答案为:①⑤. 【点评】本题以命题的真假为载体,考查两函数图象的对称和导数与单调性的关系,以及双曲线的 定义及应用,三角函数的图象与性质,属于基础题.

三、解答题(该题有 6 个小题,16-19 每小题 12 分,20 题 13 分,21 题 14 分,共计 75 分) 16.在△ ABC 中,设内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c 向量 =(cosA,sinA),向量 =( sinA,cosA),若| + |=2. (1)求角 A 的大小; (2)若 b=4 ,且 c= a,求△ ABC 的面积. ﹣

【考点】余弦定理的应用. 【专题】综合题.

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【分析】(1)先根据向量模的运算表示出 据正弦函数的性质和| |=2 可求出 A 的值.

,然后化简成 y=Asin(wx+ρ)+b 的形式,再根

(2)先根据余弦定理求出 a,c 的值,再由三角形面积公式可得到最后答案. 【解答】解:(Ⅰ)∵ ∴ = = ∵ ∴ ∴ , =

又∵0<A<π∴ ∴ (Ⅱ)由余弦定理,

, 即 ∴ ∴c=8

【点评】本题主要考查向量的求模运算、余弦定理和三角形面积公式的应用.向量和三角函数的综 合题是高考的热点问题,每年必考,要给予充分重视.

17.某班同学利用寒假在 5 个居民小区内选择两个小区逐户进行一次“低碳生活习惯”的调查,以计 算每户的碳月排放量.若月排放量符合低碳标准的称为“低碳族”,否则称为“非低碳族”.若小区内有 至少 75%的住户属于“低碳族”,则称这个小区为“低碳小区”,否则称为“非低碳小区”.已知备选的 5

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个居民小区中有三个非低碳小区,两个低碳小

区.

(Ⅰ)求所选的两个小区恰有一个为“非低碳小区”的概率; (Ⅱ)假定选择的“非低碳小区”为小区 A,调查显示其“低碳族”的比例为 ,数据如图 1 所示,经过 同学们的大力宣传,三个月后,又进行了一次调查,数据如图 2 所示,问这时小区 A 是否达到“低碳 小区”的标准? 【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率;频率分布直方图;用样本的频率分布估计总体 分布. 【专题】概率与统计. 【分析】(I)从 5 个小区中任选两个小区,列出所有可能的结果,然后找出选出的两个小区恰有一 个为非低碳小区的基本事件,根据古典概型的概率公式解之即可; (II)根据图 1 可知月碳排放量不超过 300 千克的成为“低碳族”,由图 2 可求出三个月后的低碳族的 比例,从而可判定三个月后小区 A 是否达到了“低碳小区”标准. 【解答】解:(Ⅰ)设三个“非低碳小区”为 A,B,C,两个“低碳小区”为 m,n,… 用(x,y)表示选定的两个小区,x,y∈{A,B,C,m,n}, 则从 5 个小区中任选两个小区,所有可能的结果有 10 个,它们是(A,B),(A,C),(A,m), (A,n),(B,C),(B,m),(B,n),(C,m),(C,n),(m,n).… 用 D 表示:“选出的两个小区恰有一个为非低碳小区”这一事件,则 D 中的结果有 6 个,它们 是:(A,m),(A,n),(B,m),(B,n),(C,m),(C,n).… 故所求概率为 .…

(II)由图 1 可知月碳排放量不超过 300 千克的成为“低碳族”.… 由图 2 可知,三个月后的低碳族的比例为 0.07+0.23+0.46=0.76>0.75,…
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所以三个月后小区 A 达到了“低碳小区”标准.… 【点评】本题主要考查了列举法计算基本事件数及事件发生的概率,以及频率分布直方图,同时考 查了识图能力,属于基础题.

18.设等比数列{an}的前 n 项和为 Sn,a3= ,且 S2+ (Ⅰ)求数列{an}的通项公式; (Ⅱ)求数列{an?bn}的前 n 项和 Tn. 【考点】数列的求和;等比数列的通项公式. 【专题】点列、递归数列与数学归纳法. 【分析】(Ⅰ)记数列{an}的公比为 q,则 2S3=S2+ 从而 q= ,根据公式即得结果; (Ⅱ)当 bn=8n 时,an?bn= ?8n,计算出 Tn、

,S3,S4 成等差数列,数列{bn}满足 bn=8n.

+S4,即

,又由 a3= ,知 a4=



Tn,两式相减即得结论 Tn. ,S3,S4 成等差数列,

【解答】解:(Ⅰ)记数列{an}的公比为 q,由 S2+ 可知 2S3=S2+ 又 a3= ,故 a4= +S4,即 ,

,从而

= ,

则 a1=

= ,an=

=

(n∈N*);

(Ⅱ)当 bn=8n 时,an?bn= 所以 Tn= Tn= 两式相减,得: Tn=

?8n, , ,

=

=


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所以 Tn=16



【点评】本题考查等比数列的通项公式、等差中项的应用、错位相减法求和,考查转化与化归思想、 运算求解能力和数据处理能力,属于中档题.

19.已知四棱柱 ABCD﹣A1B1C1D1 的底面 ABCD 是边长为 2 的菱形,AA1=2 ∠BAD=∠A1AC=60°,点 M 是棱 AA1 的中点. (Ⅰ)求证:A1C∥平面 BMD; (Ⅱ)求点 C1 到平面 BDD1B1 的距离.

,BD⊥A1A,

【考点】点、线、面间的距离计算;直线与平面平行的判定. 【专题】综合题;空间位置关系与距离. 【分析】(Ⅰ)连结 MO,由已知条件推导出 MO∥A1C,由此能证明 A1C∥平面 BMD; (Ⅱ)设 C1H 为 C1 到平面 BDD1B1 的距离,证明 A1O⊥平面 ABCD,利用等体积,结合点 B 到平 面 A1B1C1D1 的距离等于点 A1 到平面 ABCD 的距离 A1O=3,可得点 C1 到平面 BDD1B1 的距离. 【解答】(Ⅰ)证明:AC∩BD=O,连结 MO, ∵A1M=MA,AO=OC, ∴MO∥A1C, ∵MO?平面 BMD,A1C 不包含于平面 BMD, ∴A1C∥平面 BMD …

(Ⅱ)解:设 C1H 为 C1 到平面 BDD1B1 的距离, ∵BD⊥A1A,BD⊥AC,A1A∩AC=A, ∴BD⊥平面 A1AC, ∴BD⊥A1O, ∵四棱柱 ABCD﹣A1B1C1D1 的底面 ABCD 是边长为 2 的菱形,∠BAD=60°,

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∴AO= AC= ∵AA1=2



,∠A1AC=60°,

∴A1O⊥AC, ∵AC∩BD=O, ∴A1O⊥平面 ABCD,… ∵平面 ABCD∥平面 A1B1C1D1, ∴点 B 到平面 A1B1C1D1 的距离等于点 A1 到平面 ABCD 的距离 A1O=3 ∵ A1O? ?2 … = ?C1H? ?2?2 , …

∴C1H=

【点评】本题考查线面平行,考查点到平面距离的计算,考查学生分析解决问题的能力,掌握直线 与平面平行的证明方法是关键.

20.已知焦点在 x 轴上的椭圆 (Ⅰ)求椭圆的标准方程;

+

=1(a>b>0),焦距为 2

,长轴长为 4.

(Ⅱ)过点 O 作两条互相垂直的射线,与椭圆交于 A,B 两点. (1)证明:点 O 到直线 AB 的距离为定值,并求出这个定值; (2)求|AB|的最小值.

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【考点】直线与圆锥曲线的关系;椭圆的简单性质. 【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程. 【分析】(Ⅰ)首先根据条件求出椭圆的方程, (Ⅱ)(1)用分类讨论的方法先设直线的特殊形式,再设一般式,建立直线和椭圆的方程组,再利 用韦达定理的应用求出关系量,(2)用三角形的面积相等,则利用点到直线的距离求出定值,最后 利用不等式求出最小值. 【解答】解:(Ⅰ) 所以: 则:b2=a2﹣c2=1 所以椭圆的标准方程为: 解:(Ⅱ)(1)设 A(x1,y1),B(x2,y2), 证明:①当直线 AB 的斜率不存在时,则△ AOB 为等腰直角三角形,不妨设直线 OA:y=x 将 y=x 代入 ,解得 , ,

所以点 O 到直线 AB 的距离为

②当直线 AB 的斜率存在时,设直线 AB 的方程为 y=kx+m,代入椭圆 联立消去 y 得:(1+4k2)x2+8kmx+4m2﹣4=0 则: ,

因为 OA⊥OB,所以:x1x2+y1y2=0,x1x2+(kx1+m)(kx2+m)=0 即

所以: 整理得:5m2=4(1+k2), 所以点 O 到直线 AB 的距离 =



综上可知点 O 到直线 AB 的距离为定值



解:(2)在 Rt△ AOB 中,利用三角形面积相等, 利用点 O 到直线 AB 的距离为 d,
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则:d?|AB|=|OA|?|OB| 又因为 2|OA|?|OB|≤|OA|2+|OB|2=|AB|2,所以|AB|2≥2d?|AB| 所以|AB|≥ ,

当|OA|=|OB|时取等号,即|AB|的最小值是 【点评】本题考查的知识要点:椭圆标准方程的求法,直线和曲线的位置关系,点到直线的距离, 韦达定理的应用,不等式的应用.属于中档题型.

21.已知函数 f(x)=

+ax,x>1.

(Ⅰ)若 f(x)在(1,+∞)上单调递减,求实数 a 的取值范围; (Ⅱ)若 a=2,求函数 f(x)的极小值; (Ⅲ)若方程(2x﹣m)lnx+x=0 在(1,e]上有两个不等实根,求实数 m 的取值范围. 【考点】利用导数研究函数的单调性;利用导数研究函数的极值. 【专题】导数的综合应用. 【分析】(Ⅰ)求出函数的导数,通过 f′(x)≤0 在 x∈(1,+∞)上恒成立,得到 a 的不等式,利 用二次函数的求出最小值,得到 a 的范围. (Ⅱ)利用 a=2,化简函数的解析式,求出函数的导数,然后求解函数的极值. (Ⅲ)化简方程(2x﹣m)lnx+x=0,得 ,利用函数 f(x)与函数 y=m 在(1,e]上有两

个不同的交点,结合由(Ⅱ)可知,f(x)的单调性,推出实数 m 的取值范围. 【解答】(本小题满分 13 分) 解:(Ⅰ)函数 f(x)= +ax,x>1.

,由题意可得 f′(x)≤0 在 x∈(1,+∞)上恒成立;﹣﹣﹣



,﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣

∵x∈(1,+∞),∴lnx∈(0,+∞),﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣ ∴ ∴ 时函数 t= 的最小值为 ,

﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣

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(Ⅱ) 当 a=2 时, ﹣﹣﹣﹣﹣ 令 f′(x)=0 得 2ln2x+lnx﹣1=0, 解得 当 或 lnx=﹣1(舍),即 时,f'(x)<0,当

﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣

﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣ 时,f′(x)>0

∴f(x)的极小值为

﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣

(Ⅲ)将方程(2x﹣m)lnx+x=0 两边同除 lnx 得 整理得 ﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣

即函数 f(x)与函数 y=m 在(1,e]上有两个不同的交点;﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣ ﹣﹣﹣﹣﹣ 由(Ⅱ)可知,f(x)在 上单调递减,在 ,当 x→1 时, 实数 m 的取值范围为 ,∴ 上单调递增 ,

﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣

【点评】本题考查函数的导数的应用,函数的单调性以及函数 极值的求法,函数的零点的应用,考 查分析问题解决问题的能力.

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