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100测评网2009届高三数学第一轮复习资料——平面解析几何



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平面解析几何
第 2 章 平面解析几何初步 §2.1 直线与方程 考纲要求:①在平面直角坐标系中,结合具体图形,确定直线位置的几何要素. ②理解直线的倾斜角和斜率的概念,掌握过两点的直线斜率的计算公式. ③能根据两条直线的斜率判断这两条直线平行或垂直.

④掌握确定直线位置的几何要素,掌握直线方程的几种形式(点斜式、两点式及一般式) ,了解斜截式与一 次函数的关系. ⑤能用解方程组的方法求两直线的交点坐标. ⑥掌握两点间的距离公式,点到直线的距离公式,会求两条平行直线间的距离. §2.1.1 直线的斜率 必修 2

重难点: 对直线的倾斜角、 斜率的概念的理解能牢记过两点的斜率公式并掌握斜率公式的推 导.
经典例题:已知 A(3, 2), B(-4, 1), C(0, -1), 求直线 AB, BC, CA 的斜率, 并判断它们的倾斜角是钝角 还是锐角. 当堂练习: 1.过点(3, 0)和点(4, 3 )的斜率是( A. 3 B.- 3 C. )

3 3

0

D. -

3 3

2.过点(3, 0)和点(0, 3)的倾斜角是( A. 45
0

B.- 45

0

C. 135

0 D.- 135

3.过点 P(-2, m)和 Q(m, 4)的直线斜率等于 1,那么 m 的值等于 A.1 或 3 B. 4 C.1 D.1 或 4 4.在直角坐标系中,直线 y= - 3 x+1 的倾斜角为( A. 120
0






0 D.- 60

B.- 30

0

C. 60

0

5.过点(-3, 0)和点(-4, 3 )的倾斜角是( A. 30
0


0

B. 150

0

C. 60

D. 120

0

6.如图,直线 l1、l2、l3 的斜率分别是 k1、k2、k3,则有( A.k1<k2<k3 C.k3<k2<k1 B.k3<k1<k2 D.k1<k3<k2



7.若两直线 a,b 的倾斜角分别为 ? 1,? 2 ,则下列四个命题中正确的是( A. 若 ? 1 ? ? 2 , 则两直线斜率 k1< k2 C.若两直线斜率 k1< k2, 则 ? 1 ? ? 2 8.下列命题:



B. 若 ? 1 ? ? 2 , 则两直线斜率 k1= k2 D.若两直线斜率 k1= k2, 则 ? 1 ? ? 2

(1)若点 P(x1,y1),Q (x2,y2), 则直线 PQ 的斜率为 k ?

y 2 ? y1 ; x 2 ? x1

(2)任意一条直线都存在唯一的倾斜角,但不一定都存在斜率; (3)直线的斜率 k 与倾斜角 ? 之间满足 k ? tan ? ; (4)与 x 轴平行或重合的直线的倾斜角为 00.以上正确的命题个数是( )

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A.0 个 B. 1 个 C. 2 个 9.若直线 x ? 1 的倾斜角为 ? ,则 ? ( ) A.等于 0 B.等于 D.3 个

?
4

C.等于

?
2

D.不存在 )

10.已知θ ∈R,则直线 x sin ? ? A.[0°,30°] 11.设 f B.

3 y ? 1 ? 0 的倾斜角的取值范围是(
C.[0°,30°]∪ 150 ,180

?150 ,180 ?

?

?

D.[30°,150°]

? x ? 为奇函数,且在 ? ??, 0 ? 内是减函数。 f ? ?2? ? 0 。则 xf ? x ? ? 0 的解集为( ) A. ? ?2, 0 ? ? ? 2, ?? ? B. ? ??, ?2 ? ? ? 0, 2 ? C. ? ??, ?2 ? ? ? 2, ?? ? D. ? ?2, 0 ? ? ? 0, 2 ?
α 2
= 1 ? sin ? - 1 ? sin ? ,则直线的斜率等 于( A. )

12.如果 ab>0,直线 ax+by+c=0 的倾斜角为α ,且 sin

4 3

B.
0



4 3
0

C.

±

4 3


D.

±

3 4

13.直线 x cos 20 ? y sin 20 ? 3 ? 0 的倾斜角是( A.20
0

B.160

0

C.70

0

D.1100 .

14.直线倾斜角? 的取值范围是
0

15.直线 l 的倾斜角α =120 ,则直线 l 的斜率等于 __________.

3 <tan ? ? 3 ,则α 的取值范围是______________. 3 17.直线 l 过点 A(0, 1)和 B(-2, -1),直线 l 绕点 A 逆时针旋转 450 得直线 l‘,那么 l’的斜率是
16.若直线的倾斜角α 满足 __________ . 18. (1)当且仅当 m 为何值时,经过两点 A(-m,6) 、B(1,3m)的直线的斜率是 12. (2)当且仅当 m 为何值时,经过两点 A(m,2) 、B(-m,2m-1)的直线的倾斜角是 600.

19.(1)若三点(2,3) , (3,a) , (4,b)在同一直线上,求 a、b 的关系;(2)已知三点 A(a,2)、B(3, 7)、C(-2,-9a)在一条直线上,求实数 a 的值.

20.在直角坐标系中, ?ABC 三个顶点 A(0,3) 、B(3,3) 、C(2,0) ,若直线 x ? a 将 ?ABC 分割成面 积相等的两部分,求实数 a 的值.

21.已知两点 A(3,2) ,B(-4,1) ,求过点 C(0,-1)的直线 l 与线段 AB 有公共点求直线 l 的斜率 k 的取值范围.

必修 2

第 2 章 平面解析几何初步 §2.1.2 直线的方程

重难点: 对直线的倾斜角、 斜率的概念的理解能牢记过两点的斜率公式并掌握斜率公式的推 导.
经典例题: 已知过点 A (1, 1) 且斜率为-m(m>0)的直线与 x, y 轴分别交于 P、 Q, 过 P、 Q 作直线 2 x ? y ? 0

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的垂直平分线,垂足为 R、S,求四边形 PRSQ 的面积的最小值.

当堂练习: 1.方程 y=k(x-2)表示( ) A.过点(-2,0)的所有直线 B.通过点(2,0)的所有直线 C.通过点(2,0)且不垂直于 x 轴的直线 D.通过点(2,0)且除去 x 轴的直线 2. 在等腰 ? AOB 中, |AO|=|AB|, 点 O(0,0), A(1,3), 而点 B 在 x 轴的正半轴上, 则此直线 AB 的方程为 ( ) A.y-1=3(x-3) B.y-1=-3(x-3) C.y-3=3(x-1) D.y-3=-3(x-1) 3.如果 AC<0,且 BC<0,那么直线 Ax+By+C=0 不通过( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 4.直线 l 沿 y 轴负方向平移 a(a≠0)个单位,再沿 x 轴正方向平移 a+1 个单位,若此时所得直线与直线 l 重合,则直线 l 的斜率是( ) A.

a a ?1

B.-

a a ?1

C.

a ?1 a

D.-

a ?1 a

5.下列四个命题中的真命题是( ) A.经过定点 P0(x0,y0)的直线都可以用方程 y-y0=k(x-x0)表示 B.经过任意两个不同的点 P1(x1,y1)和 P2(x2,y2)的直线都可以用方程(y-y1) (x2-x1)=(x-x1) (y2-y1) 表示 C.不经过原点的直线都可以用方程

x y + =1 表示 a b


D.经过定点 A(0,b)的直线都可以用方程 y=kx+b 表示 6.过点 A(1,2)作直线 ? 使它在两坐标轴上的截距的绝对值相等,满足条件的直线 ? 的条数是( A.1 B.2 C .3 D .4 7.若直线(m+2)x+(m2-2m-3)y=2m 在 x 轴上的截距是 3,则 m 的值是( ) A.

2 5

B.6

C .-

2 5

D.-6 ) D.x+2y-9=0 或 2x-5y=0

8.过点(5,2),且在 x 轴上的截距是在 y 轴上的截距的 2 倍的直线方程是( A.2x+y-12=0 B.2x+y-12=0 或 2x-5y=0 C.x-2y-1=0 9.二元一次方程 Ax+By+C=0 表示为直线方程,下列不正确叙述是( ) A. 实数 A、B 必须不全为零 B.A2+B2 ? 0 C.所有的直线均可用 Ax+By+C=0 (A2+B2 ? 0)表示 D.确定直线方程 Ax+By+C=0 须要三个点坐标待定 A,B,C 三个变量

10.过点 M(2,1)的直线 l 与 x 轴,y 轴分别相交于 P,Q 两点,且|MP|=|MQ|,则直线 l 的方程是( A.x-2y+3=0 B.2x-y-3=0 C.2x+y-5=0 D.x+2y-4=0 11.若(m2-4)x+(m2-4m+3)y+1=0 表示直线,则( ) A.m ? ? 2 且 m ? 1, m ? 3 B.m ? ? 2 C.m ? 1,且 m ? 3 D.m 可取任意实数 12.若直线 ax+by+c=0 在第一、二、三象限,则( ) A.ab>0,bc>0 B.ab>0,bc<0 C. ab<0,bc>0 D. ab<0,bc<0 13.直线 ax+by=1 (ab ? 0)与两坐标轴围成的面积是( ) A.



1 ab 2

B.

1 |ab| 2

C.

1 2ab

D.

1 2 | ab |

14.直线 l 过点 A(0, 1)和 B(-2, -1),如果直线 l 绕点 A 逆时针旋转 450 得直线 l1,那么 l1 的方程 0 是 . 如果直线 l 绕点 B 逆时针旋转 45 得直线 l2,那么 l2 的方程是 . 15.以下四个命题: (1)所有直线总可以用直线的点斜式、斜截式表示; (2) 直线的点斜式和斜截式是可以 等价转换的; (3)一次函数的图象是一条直线,直线方程总可以用一个一次函数去表示; (4) 斜截式 y=kx+b 中的 b 表示直线与 y 轴交点到原点的距离.其中正确命题的题号是________. 16 .直线 ? 过点(3 , 4) ,且在第一象限和两坐标轴围成的三角形的面积是 24 ,则 ? 的截距式方程是 _______________. 17.若方程 Ax+By+C=0 表示与两条坐标轴都相交的直线,则 A,B,C 应满足条件___________.

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18.求与两坐标轴围成三角形周长为 9 且斜率为-

4 的直线方程. .3

19.在直角坐标系中,过点 A(1,2)且斜率小于 0 的直线中,当在两坐标轴上的截距之和最小时,求该 直线的斜率.

20.光线从点 A(-3,4)射出,经 x 轴上的点 B 反射后交 y 轴于 C 点,再经 C 点从 y 轴上反射恰好经过点 D(-1,6) ,求直线 AB,BC,CD 的方程.

21.已知直线 l 1:y=4x 与点 P(6,4) ,在 l 1 上求一点 Q,使直线 PQ 与直线 l 1,以及 x 轴在第一象限围成 的三角形面积最小.

必修 2

第 2 章 平面解析几何初步 §2.1.3 两条直线的平行与垂直

重难点: 能熟练掌握两条直线平行和垂直的条件并灵活运用, 把研究两条直线的平行或垂直 问题,转化为研究两条直线的斜率的关系问题.
经典例题:已知三角形的两个顶点是 B (2,1)、C (-6, 3), 垂心是 H (-3, 2), 求第三个顶 A 的坐标.

当堂练习: 1.下列命题中正确的是( ) B.平行的两条直线的倾斜角相等 D.两直线平行则它们在 y 轴上截距不相等 A.平行的两条直线的斜率一定相等 C.斜率相等的两直线一定平行

2.已知直线 mx+ny+1=0 平行于直线 4x+3y+5=0,且在 y 轴上的截距为 A.4 和 3 B.-4 和 3 C.-4 和-3

1 ,则 m,n 的值分别为( 3
D.4 和-3



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3.直线 ? 1 :kx+y+2=0 和 ? 2 :x-2y-3=0, 若 ? 1 || ? 2 ,则 ? 1 在两坐标轴上的截距的和( A.-1 B.-2 C.2 ) D. ? D.6 4.两条直线 mx+y-n=0 和 x+my+1=0 互相平行的条件是( A. m=1 B.m= ? 1 C. ? )

?m ? 1 ? n ? ?1

? m ? ? 1 ?m ? 1 或? ? n ? ? 1 ?n ? 1


5.如果直线 ax+(1-b)y+5=0 和(1+a)x-y-b=0 同时平行于直线 x-2y+3=0,则 a、b 的值为( A.a=

1 , b=0 2

B.a=2, b=0

C.a=-

1 , b=0 2

D. a=)

1 , b=2 2

6.若直线 ax+2y+6=0 与直线 x+(a-1)y+(a2-1)=0 平行但不重合,则 a 等于( A.-1 或 2 B.-1 C.2 D.

2 3

7.已知两点 A(-2,0) ,B(0,4) ,则线段 AB 的垂直平分线方程是( A.2x+y=0 A.x+2y=0 B.2x-y+4=0 B.x+2y-4=0 C.x+2y-3=0 ) C.2x-y+5=0 ) 8.原点在直线 ? 上的射影是 P(-2,1) ,则直线 ? 的方程为( 9.两条直线 x+3y+m=0 和 3x-y+n=0 的位置关系是( A.平行
2 2

) D.x-2y+5=0 D.2x+y+3=0

B.垂直 )

C.相交但不垂直 B.一个点 D.两条平行直线

D.与 m,n 的取值有关

10.方程 x -y =1 表示的图形是( A.两条相交而不垂直的直线 C.两条垂直的直线

11.已知直线 ax-y+2a=0 与直线(2a-1)x+ay+a=0 互相垂直,则 a 等于( A.1 A. (-6,8) B.0 B. (-8,-6) C.1 或 0 ) C. (6,8) 12.点(4,0)关于直线 5x+4y+21=0 对称的点是(



D.1 或-1 D. (-6,-8) )

13.已知点 P(a,b)和点 Q(b-1,a+1)是关于直线 ? 对称的两点,则直线 ? 的方程为( A.x+y=0 B.x-y=0 C.x+y-1=0

D.x-y+1=0

14.过点 M(3,-4)且与 A(-1,3) 、B(2,2)两点等距离的直线方程是__________________. 15 . 若两 直线 ax + by + 4 = 0 与 (a - 1)x + y + b = 0 垂 直相 交于 点 (0, m) ,则 a + b + m 的 值 是 _____________________. 16.若直线 ? 1:2x-5y+20=0 和直线 ? 2:mx-2y-10=0 与坐标轴围成的四边形有一个外接圆,则实数 m 的值 等于 ________. 17.已知点 P 是直线 ? 上一点,若直线 ? 绕点 P 沿逆时针方向旋转角 ? (00< ? <900)所得的直线方程是 x-y-2=0, 若将它继续旋转 900- ? ,所得的直线方程是 2x+y-1=0, 则直线 ? 的方程是___________. 18.平行于直线 2x+5y-1=0 的直线 ? 与坐标轴围成的三角形面积为 5,求直线 ? 的方程.

19.若直线 ax+y+1=0 和直线 4x+2y+b=0 关于点(2,-1)对称,求 a、b 的值.

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20.已知三点 A(1,0),B(-1,0),C(1,2),求经过点 A 并且与直线 BC 垂直的直线 ? 的方程.

21.已知定点 A(-1,3) ,B(4,2) ,在 x 轴上求点 C,使 AC ? BC.

必修 2

第 2 章 平面解析几何初步 §2.1.4-6 两条直线的交点、平面上两点间的距离、点到直线的距离

重难点: . 能判断两直线是否相交并求出交点坐标, 体会两直线相交与二元一次方程的关系; 理解两点间距离公式的推导, 并能应用两点间距离公式证明几何问题; 点到直线距离公式的 理解与应用.
经典例题:求经过点 P(2,-1) ,且过点 A(-3,-1)和点 B(7,-3)距离相等的直线方程.

当堂练习:
? A1 x ? B1 y ? C1 ? 0 的实数解,以下四 ? A2 x ? B 2 y ? C 2 ? 0

1.两条直线 A1x+B1y+C1=0 与 A2x+B2y+C2=0 的交点坐标就是方程组 ? 个命题: (1)若方程组无解,则两直线平行 (3)若方程组有两个解,则两直线重合 其中命题正确的个数有( A.1 个 A. k ? 1或k ? 9 B.2 个 ) C.3 个

(2)若方程组只有一解,则两直线相交 (4)若方程组有无数多解,则两直线重合。

D.4 个 ) D. k ? 1且k ? ?9 ) C. k ? 1且k ? 9

2.直线 3x-(k+2)y+k+5=0 与直线 kx+(2k-3)y+2=0 相交,则实数 k 的值为( B. k ? 1或k ? ?9 3.直线 y=kx-k+1 与 ky-x-2k=0 交点在第一象限,则 k 的取值范围是(

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A.0<k<1 B.k>1 或-1<k<0 C.k>1 或 k<0 D.k>1 或 k< ) )

1 2

4.三条直线 x-y+1=0、2x+y-4=0、ax-y+2=0 共有两个交点,则 a 的值为( A.1 B .2 C.1 或-2

D.-1 或 2

5.无论 m、n 取何实数,直线(3m-n)x+(m+2n)y-n=0 都过一定点 P,则 P 点坐标为( A. (-1,3) B. (-

1 3 , ) 2 2

C. (-

1 3 , ) 5 5

D. ()

1 3 ,) 7 7

6.设 Q(1,2), 在 x 轴上有一点 P , 且|PQ|=5 , 则点 P 的坐标是( A.(0,0)或(2,0) B.(1+ 21 ,0) C.(1- 21 ,0)

D.(1+ 21 ,0)或(1- 21 ,0) ) D.(-3,1)或(5,1) )

7.线段 AB 与 x 轴平行,且|AB|=5 , 若点 A 的坐标为(2,1) , 则点 B 的坐标为( A. (2,-3)或(2,7) B. (2,-3)或(2,5)
/

C.(-3,1)或(7,1)
/

8.在直角坐标系中, O 为原点. 设点 P(1,2) , P (-1, -2) , 则 ? OPP 的周长是( A. 2 5 B.4 5 C. 5 ) D.6 5

9.以 A(-1,1) ,B(2,-1) , C(1 ,4)为顶点的三角形是( A.锐角三角形 A.3 条 B.直角三角形 B.2 条

C.等腰三角形 ) C.1 条

D.等腰直角三角形 D.0 条 ) )

10.过点(1,3)且与原点的距离为 1 的直线共有(

11.过点 P(1,2)的直线 ? 与两点 A(2,3) 、B(4,-5)的距离相等,则直线 ? 的方程为( A.4x+y-6=0 A.d ? 5 B.x+4y-6=0 B .3 ? d ? 5 C.3x+2y=7 或 4x+y=6 C.0 ? d ? 5 D.2x+3y=7 或 x+4y=6 D.0<d ? 5 12.直线 l1 过点 A(3,0) ,直线 l2 过点 B(0,4) , ? 1 || ? 2 ,用 d 表示 ? 1和? 2 的距离,则(

13.已知两点 A(1,6 3 ) 、B(0,5 3 )到直线 ? 的距离等于 a, 且这样的直线 ? 可作 4 条,则 a 的取 值范围为( A.a ? 1 ) B.0<a<1 C.0<a ? 1 D.0<a<21

14.若 p、q 满足 p-2q=1,直线 px+3y+q=0 必过一个定点,该定点坐标为 ________. 15.直线 ax+by+6=0 与 x-2y=0 平行,并过直线 4x+3y-10=0 和 2x-y-10=0 的交点,则 a= _______, b=___________. 16.已知 ? ABC 的顶点 A(-1,5) ,B(-2,-1) ,C(4,7), 则 BC 边上的中线 AD 的长为___________. 17. 已知 P 为直线 4x-y-1=0 上一点,P 点到直线 2x+y+5=0 的距离与原点到这条直线的距离相等,则 P 点 的坐标为___________. 18. ? ABC 的顶点 B(3,4) ,AB 边上的高 CE 所在直线方程为 2x+3y-16=0,BC 边上的中线 AD 所在直线方 程为 2x-3y+1=0,求 AC 的长.

19.已知二次方程 x2+xy-6y2-20x-20y+k=0 表示两条直线,求这两条直线的交点坐标.

20.已知平行四边形 ABCD 的三个顶点的坐标是 A(-3,-4) ,B(3,-2) ,C(5,2) ,求点 D 的坐标.

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21.直线 l 经过点 A(2,4) ,且被平行直线 x-y+1=0 与 x-y-1=0 所截得的线段的中点在直线 x+y-3=0 上, 求直线 l 的方程.

第 2 章 平面解析几何初步 §2.2 圆与方程 考纲要求:①掌握确定圆的几何要素,掌握圆的标准方程与一般方程. ②能根据给定直线、圆的方程.判断直线与圆的位置关系;能根据给定两个圆的方程,判断两圆的位置关 系. ③能用直线和圆的方程解决一些简单的问题. ④初步了解用代数方法处理几何问题的思想. §2.2.1 圆的方程

必修 2

重难点:会根据不同的已知条件,利用待定系数法求圆的标准方程;了解圆的一般方程的代 数特征,能实现一般方程与标准方程间的互化,根据已知条件确定方程中的系数,D、E、F.
经典例题:求过三点 A(0,0) ,B(1,1) ,C(4,2)的圆的方程,并求这个圆的半径长和圆心坐标.

当堂练习: 1.点(1,1)在圆(x-a)2+(y+a)2=4 的内部,则 a 的取值范围是( A.-1<a<1
2



B.0<a<1
2 2

C.a<-1 或 a>1 )

D.a= ? 1 D.不确定 D.以(-a,-b)为圆心的圆 )
2 2 2

2.点 P(m ,5)与圆 x +y =24 的位置关系是( A.在圆内
2

B.在圆外
2

C.在圆上 )

3.方程(x+a) +(y+b) =0 表示的图形是( A.点(a,b)
2 2

B.点(-a,-b)
2

C.以(a,b)为圆心的圆
2 2

4.已知一圆的圆心为点(2,-3) ,一条直径的两个端点分别在 x 轴和 y 轴上,则此圆的方程是( A.(x-2) +(y+3) =13
2 2 2

B.(x+2) +(y-3) =13

C.(x-2) +(y+3) =52 )

D.(x+2) +(y-3) =52 D.以上皆对

5.圆(x-a) +(y-b) =r 与两坐标轴都相切的充要条件是( A.a=b=r
2 2 2 2

B.|a|=|b|=r
2

C.|a|=|b|=|r| ? 0 )
2 2 2

6.圆(x-1) +(y-3) =1 关于 2x+y+5=0 对称的圆方程是( A.(x+7) +(y+1) =1 B.(x+7) +(y+2) =1

C.(x+6) +(y+1) =1

D.(x+6) +(y+2) =1 )

2

2

7.如果圆的方程为 x2+y2+kx+2y+k2=0,那么当圆面积最大时,圆心坐标为( A. (-1,1) B. (1,-1) C. (-1,0) ) D. (0,-1) 8.圆 x2+y2-2Rx-2Ry+R2=0 在直角坐标系中的位置特征是( A. 圆心在直线 y=x 上 C. 圆心在直线 y=-x 上
2 2

B.圆心在直线 y=x 上, 且与两坐标轴均相切 D.圆心在直线 y=-x 上, 且与两坐标轴均相切 ) D.F=0,D ? 0,E ? 0 ) B.E=0,F=0,D ? 0
2 2

9.如果方程 x +y +Dx+Ey+F=0 与 x 轴相切于原点,则( A.D=0,E=0,F ? 0
2 2

C.D=0,F=0,E ? 0

10.如果方程 x +y +Dx+Ey+F=0(D +E -4F>0) 所表示的曲线关于直线 y=x 对称,那么必有(

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A.D=E
4 4 2 2

B.D=F

C.E=F )

D.D=E=F

11.方程 x -y -4x +4y =0 所表示的曲线是( A.一个圆 A.关于 x 轴对称
2 2

B.两条平行直线
2 2

C.两条平行直线和一个圆 ) C.关于直线 x-y=0 对称 )
2 2

D.两条相交直线和一个圆 D.关于直线 x+y=0 对称 D.x2+y2+4x+2y+4=0

12.若 a ? 0, 则方程 x +y +ax-ay=0 所表示的图形( B.关于 y 轴对称
2 2

13.圆的一条直径的两端点是(2,0) 、 (2,-2) ,则此圆方程是( A.x +y -4x+2y+4=0 B.x +y -4x-2y-4=0

C.x +y -4x+2y-4=0

14.过点 P(12,0)且与 y 轴切于原点的圆的方程为 __________________. 15.圆(x-4)2+(y-1)2=5 内一点 P(3, 0) ,则过 P 点的最短弦的弦长为 _____,最短弦所在直线方程为 ___________________. 16.过点(1,2)总可以向圆 x +y +kx+2y+k -15=0 作两条切线,则 k 的取值范围是 _______________. 17.已知圆 x2+y2-4x-4y+4=0,该圆上与坐标原点距离最近的点的坐标是 ___________,距离最远的点的坐 标是________________. 18.已知一圆与直线 3x+4y-2=0 相切于点 P(2,-1) ,且截 x 轴的正半轴所得的弦的长为 8,求此圆的标准 方程.
2 2 2

19.已知圆 C:x +y -4x-6y+12=0, 求在两坐标轴上截距相等的圆的切线方程.

2

2

20.已知方程 x +y -2(t+3)x+2(1-4t )y+16t +9=0 表示一个圆, (1)求 t 的取值范围; (2)求该圆半径 r 的取值范围.

2

2

2

4

21.已知曲线 C:x +y -4mx+2my+20m-20=0 (1)求证不论 m 取何实数,曲线 C 恒过一定点; (2)证明当 m≠2 时,曲线 C 是一个圆,且圆心在一条定直线上;

2

2

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(3)若曲线 C 与 y 轴相切,求 m 的值.

必修 2

第 2 章 平面解析几何初步 §2.2.2-3 直线与圆、圆与圆的位置关系

重难点:掌握直线与圆、圆与圆的位置关系的几何图形及其判断方法,能用坐标法判直线与圆、圆与圆的 位置关系. 经典例题:已知圆 C1:x2+y2=1 和圆 C2:(x-1)2+y2=16,动圆 C 与圆 C1 外切,与圆 C2 内切,求动圆 C 的圆 心轨迹方程.

当堂练习: 1.已知直线

y ? 2 x ? k 和圆 x 2 ? y 2 ? 4 有两个交点,则 k 的取值范围是(
B. k ? 0 C. k ? 2 5 D. ? 2 5 ? k ? 2 5 )



A. ? 5 ? k ? 5

2 2.圆 x2+y2-2acos ? ? x-2bsin ? ? y-a2sin ? =0 在 x 轴上截得的弦长是(

A.2a

B.2|a|

C. 2 |a|

D.4|a|

3.过圆 x2+y2-2x+4y- 4=0 内一点 M(3 ,0)作圆的割线 ? ,使它被该圆截得的线段最短,则直线 ? 的方程 是( ) B.x-y-3=0
2 2

A.x+y-3=0 A.1 或-1

C.x+4y-3=0 ) C.1 ) D.-7 或 13 )

D.x-4y-3=0 D.-1

4.若直线(1+a)x+y+1=0 与圆 x +y -2x=0 相切,则 a 的值为( B.2 或-2
2 2

5.若直线 3x+4y+c=0 与圆(x+1) +y =4 相切,则 c 的值为( A.17 或-23 B.23 或-17 C.7 或-13

6.若 P(x,y)在圆 (x+3)2+(y-3)2=6 上运动,则

y 的最大值等于( x
C.-3-2 2 )

A.-3+2 2

B.-3+ 2

D.3-2 2

7.圆 x2+y2+6x-7=0 和圆 x2+y2+6y-27=0 的位置关系是( A. 相切
2 2 2

B. 相交
2

C. 相离 C.x-y-2=0
2 2

D.内含 ) ) D.x-y+2=01.

8.若圆 x +y =4 和圆 x +y +4x-4y+4=0 关于直线 ? 对称,则直线 ? 的方程是( A.x+y=0
2 2

B.x+y-2=0
2 2

9.圆的方程 x +y +2kx+k -1=0 与 x +y +2(k+1)y+k +2k=0 的圆心之间的最短距离是( A.

2 2

B.2 2

C.1

D.

2


10.已知圆 x2+y2+x+2y= A.相交

61 1 0 和圆(x-sin ? )2+(y-1)2= , 其中 0 ? ? ? 900, 则两圆的位置关系是( 16 16
B.外切 C.内切 D.相交或外切

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11.与圆(x-2)2+(y+1)2=1 关于直线 x-y+3=0 成轴对称的曲线的方程是( A.(x-4) +(y+5) =1 A.0
2 2


2

B.(x-4) +(y-5) =1 B .1 C. ? 2

2

2

C.(x+4) +(y+5) =1 D .2

2

D.(x+4) +(y-5) =1 )

2

2

12.圆 x2+y2-ax+2y+1=0 关于直线 x-y=1 对称的圆的方程为 x2+y2=1, 则实数 a 的值为( 13.已知圆方程 C1:f(x,y)=0,点 P1(x1,y1)在圆 C1 上,点 P2(x2,y2)不在圆 C1 上,则方程: f(x,y)- f(x1,y1)-f(x2,y2)=0 表示的圆 C2 与圆 C1 的关系是( A.与圆 C1 重合 C.过 P1 且与圆 C1 同心相同的圆 ) B. 与圆 C1 同心圆 D. 过 P2 且与圆 C1 同心相同的圆

14.自直线 y=x 上一点向圆 x2+y2-6x+7=0 作切线,则切线的最小值为___________. 15.如果把直线 x-2y+ ? =0 向左平移 1 个单位,再向下平移 2 个单位,便与圆 x2+y2+2x-4y=0 相切,则实数

? 的值等于__________.
16.若 a2+b2=4, 则两圆(x-a)2+y2=1 和 x2+(y-b)2=1 的位置关系是____________. 17.过点(0,6)且与圆 C: x +y +10x+10y=0 切于原点的圆的方程是____________. 18.已知圆 C:(x-1)2+(y-2)2=25, 直线 ? : (2m+1)x+(m+1)y-7m-4=0(m ? R), (1) 证明直线 ? 与圆相交; (2) 求直线 ? 被圆 C 截得的弦长最小时,求直线 ? 的方程.
2 2

19.求过直线 x+3y-7=0 与已知圆 x2+y2+2x-2y-3=0 的交点,且在两坐标轴上的四个截距之和为-8 的圆的方 程.

20.已知圆满足: (1)截 y 轴所得弦长为 2, (2)被 x 轴分成两段弧,其弧长的比为 3:1, (3)圆心到直 线 ? :x-2y=0 的距离为

5 ,求这个圆方程. 5

21.求与已知圆 x2+y2-7y+10=0 相交,所得公共弦平行于已知直线 2x-3y-1=0 且过点(-2,3) , (1,4)的 圆的方程.

第 2 章 平面解析几何初步 §2.3 空间直角坐标系 考纲要求:①了解空间直角坐标系,会用空间直角坐标系表示点的位置. ②会推导空间两点间的距离公式.

必修 2

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§2.3.1-2 空间直角坐标系、空间两点间的距离

重难点:了解空间直角坐标系,会用空间直角坐标系刻画点的位置;会推导空间两点间的距 离公式.
经典例题:在空间直角坐标系中,已知 A(3,0,1)和 B(1,0,-3) ,试问 (1)在 y 轴上是否存在点 M,满足 | MA |?| MB | ? (2)在 y 轴上是否存在点 M,使△MAB 为等边三角形?若存在,试求出点 M 坐标.

当堂练习: 1.在空间直角坐标系中, 点 P(1,2,3)关于 x 轴对称的点的坐标为( ) A.(-1,2,3) B.(1,-2,-3) C.(-1, -2, 3) D.(-1 ,2, -3) 2.在空间直角坐标系中, 点 P(3,4,5)关于 yOz 平面对称的点的坐标为( ) A.(-3,4,5) B.(-3,- 4,5) C.(3,-4,-5) D.(-3,4,-5) 3.在空间直角坐标系中, 点 A(1, 0, 1)与点 B(2, 1, -1)之间的距离为( ) A. 6 B.6 C. 3 D.2 4.点 P( 1,0, -2)关于原点的对称点 P/的坐标为( ) A.(-1, 0, 2) B.(-1,0, 2) C.(1 , 0 ,2) 5.点 P( 1, 4, -3)与点 Q(3 , -2 , 5)的中点坐标是( ) A.( 4, 2, 2) B.(2, -1, 2) C.(2, 1 , 1)

D.(-2,0,1) D. 4, -1, 2)

6.若向量 a 在 y 轴上的坐标为 0, 其他坐标不为 0, 那么与向量 a 平行的坐标平面是( ) A. xOy 平面 B. xOz 平面 C.yOz 平面 D.以上都有可能 7.在空间直角坐标系中, 点 P(2,3,4)与 Q (2, 3,- 4)两点的位置关系是( ) A.关于 x 轴对称 B.关于 xOy 平面对称 C.关于坐标原点对称 D.以上都不对 8.已知点 A 的坐标是(1-t , 1-t , t), 点 B 的坐标是(2 , t, t), 则 A 与 B 两点间距离的最小值为( A.



5 5

B.

55 5
C. 2

C.

3 5 5

D. )

11 5

9.点 B 是点 A(1,2,3)在坐标平面 A.

yOz 内的射影,则 OB 等于(

14

B.

13

3

D.

11

10.已知 ABCD 为平行四边形,且 A(4,1,3) ,B(2,-5,1) ,C(3,7,-5) ,则点 D 的坐标为 ( )

7 ,4,-1) B. (2,3,1) C. (-3,1,5) 2 11.点 P ( a, b, c) 到坐标平面 xOy 的距离是( )
A. ( A.

D. (5,13,-3)

a 2 ? b2

B. c

C.

c

D. a

?b


12.已知点

A(1,?2,11) , B(4,2,3) , C ( x, y,15) 三点共线,那么 x, y 的值分别是( 1 1 A. ,4 B.1,8 C. ? ,-4 D.-1,-8 2 2

13.在空间直角坐标系中,一定点到三个坐标轴的距离都是 1,则该点到原点的距离是( A.



6 2

B.

3

C.

3 2

D.

6 3

14.在空间直角坐标系中, 点 P 的坐标为(1, ________________.

2 , 3 ),过点 P 作 yOz 平面的垂线 PQ, 则垂足 Q 的坐标是

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15.已知 A(x, 5-x, 2x-1)、B(1,x+2,2-x) ,当|AB|取最小值时 x 的值为_______________. 16. 已知空间三点的坐标为 A(1,5,-2)、 B (2, 4, 1) 、 C (p, 3, q+2) , 若 A、 B、 C 三点共线, 则 p =_________, q=__________. 17.已知点 A(-2, 3, 4), 在 y 轴上求一点 B , 使|AB|=7 , 则点 B 的坐标为________________. 18.求下列两点间的距离: (1) A(1 , 1 , 0) , B(1 , 1 , 1); (2) C(-3 ,1 , 5) , D(0 , -2 , 3).

19.已知 A(1 , -2 , 11) , B(4 , 2 , 3) ,C(6 , -1 , 4) , 求证: ? ABC 是直角三角形.

20.求到下列两定点的距离相等的点的坐标满足的条件: (1) A(1 , 0 ,1) , B(3 , -2 , 1) ; (2) A(-3 , 2 , 2) , B(1 , 0 , -2).

21.在四棱锥 P-ABCD 中,底面 ABCD 为正方形,且边长为 2a,棱 PD⊥底面 ABCD,PD=2b,取各侧棱的中 点 E,F,G,H,写出点 E,F,G,H 的坐标.

必修 2 A. 锐角三角形 B. 直角三角形

必修 2 综合测试 ) C. 钝角三角形 D.等腰三角形

1.以集合 M={a , b , c}中的三个元素为边长可构成一个三角形, 那么这个三角形一定不是(

2.已知

? x 2 (x ? 0), ? 则 f ? f f ?? 3? ? 的值等于( ? f ?x ? ? ? ? (x ? 0), ? ? 0 (x ? 0), ?

?

?

).

A. 0 3.设 f(x)= A.

B. ?

C.

?2

D.9 ) -

5 2

,

x ?1 +m,f(x)的反函数 f (x)=nx-5,那么 m、n 的值依次为( 2 5 5 -2 B. - , 2 C. , 2 D. 2 2

5 2

,-2

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4.已知 f(x )=lgx(x>0),则 f(4)的值为( A. 2lg2
2 3

) C. 2 lg2 D. 2 lg4

B. 1 lg2

3

3

3

5.函数 y=log 1 (-2x
2

+5x+3)的单调递增区间是( B. ? ,?? ?


1 2 5 4 5 4

A. (-∞,

5 4



?5 ?4

? ?

C.(-

,

)

D.[

,3]

6.关于直线 a, b, l 以及平面 M , N ,下面命题中正确的是( A.若 a // M , b // M , 则 a // b C.若 a ? M , b ? M , 且 l B.若 a // M , b

) 则b ? M

? a,

? a, l ? b, 则 l ? M

D. 若 a ? M , a // N , 则 M ? N )

7.若直线 m 不平行于平面 ? ,且 m ? ? ,则下列结论成立的是( A. ? 内的所有直线与 m 异面 C. ? 内存在唯一的直线与 m 平行 点重合,那么这个三棱锥的体积为( A. ) C.

B. ? 内不存在与 m 平行的直线 D. ? 内的直线与 m 都相交

8.正方形 ABCD 的边长为 1,E、F 分别为 BC、CD 的中点,沿 AE,EF,AF 折成一个三棱锥,使 B,C,D 三

1 8

B.

1 24

2 24

D.

5 48


9.如图,在多面体 ABCDEF 中,已知面 ABCD 是边长为 3 的 正方形,EF∥AB,EF 与面 AC 的距离为 2,则该多面体的体积为( A.

E

F

9 2

B.5

C.6

D.

15 2


D A
D.150 ? ? <1800 )

C B

10.已知直线 ? 的倾斜角为? -150,则下列结论正确的是( A.00 ? ? <1800 B.150<? <1800

C.150 ? ? <1950

11.过原点,且在 x、y 轴上的截距分别为 p、q(p≠0,q≠0)的圆的方程是( A. x 2 ? y 2 ? px ? qy ? 0 C. x 2 ? y 2 ? px ? qy ? 0
2

B. x 2 ? y 2 ? px ? qy ? 0 D. x 2 ? y 2 ? px ? qy ? 0

12.直线 x+y+a=0 半圆 y=- 1 ? x 有两个不同的交点,则 a 的取值范围是( A. 1, 2



? ?

B.[1, 2 ]

C.[- 2 ,-1]

D.( - 2 ,-1)

13.与直线 L:2x+3y+5=0 平行且过点 A(1,-4)的直线 L/的方程是_______________. 14.在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中, 与 AD1 成 600 角的各侧面对角线的条数是___________. 15.老师给出一个函数 y=f(x),四个学生甲、乙、丙、丁各指出这个函数的一个性质: 甲:对于 x∈R,都有 f(1+x)=f(1-x) ; 丙:在(0,+∞)上函数递增; 乙:在 (-∞,0 ] 上函数递减; 丁:f(0)不是函数的最小值. .

如果其中恰有三人说得正确,请写出一个这样的函数 16.若实数 x、y 满足等式(x-2) +y =3,则
2 2

y 的最大值 ________________. x?4

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17.在斜三棱柱 A1B1C1—ABC 中,底面是等腰三角形,AB=AC,侧面 BB1C1C⊥底面 ABC. (1)若 D 是 BC 的中点,求证:AD⊥CC1; (2)过侧面 BB1C1C 的对角线 BC1 的平面交侧棱于 M,若 AM=MA1,求证:截面 MBC1⊥侧面 BB1C1C.

18.已知函数

f ( x ) 对任意实数 x,y 都有 f ( x ? y) ? f ( x) ? f ( y) ,且当 x ? 0 时,

f ( x) ? 0,f (?1) ? ?2 ,求 f ( x ) 在 [ ?2,1] 上的值域.

19.已知 A,B,C,D 四点不共面,且 AB||平面 ? ,CD||平 面 ? ,AC ? ? =E,AD ? ? =F,BD ? ? =H,BC ? ? =G. (1)求证:EFGH 是一个平行四边形; (2)若 AB=CD=a,试求四边形 EFGH 的周长.
?
E F G A

B

H

C

D

20.已知点 A(0,2)和圆 C: ( x ? 6)

2

? ( y ? 4) 2 ?

36 ,一条光线从 A 点出发射到 x 轴上 5

后沿圆的切线方向反射,求(1)这条光线从 A 点到切点所经过的路程.(2)求入射光线的 方程.

21.已知圆方程 x

2

? y 2 ? 4 px ? ( 4 2 ? p) y ? 8 ? 0 ,且 p ? 1,p ? R,
(2)求圆心的轨迹 ; (3)求圆的公切线方程.

(1) 求证圆恒过定点;

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22.设函数 y ? f ( x) 定义在 R 上,当 x ? 0 时, f ( x ) ? 1 ,且对任意 m,n ,有 f (m ? n) ? f (m) ? f (n) , 当 m ? n 时 f (m) ? f (n) . (1) 证明 f (0) ? 1 ; (2)证明:

f ( x ) 在 R 上是增函数;(3)设 A ? ?( x,y) | f ( x 2 ) ? f ( y 2 ) ? f (1)?,

B ? {( x,y) | f (ax ? by ? c) ? 1,a,b,c ? R,a ? 0} ,若 A ? B ? ? ,求 a,b,c 满足的条件.

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参考答案
第 2 章 平面解析几何初步 §2.1.1 柱、锥、台、球的结构特征 经典例题: 解: 直线 AB 的斜率 k1=1/7>0, 所以它的倾斜角α 是锐角; 直线 BC 的斜率 k2=-0.5<0, 所以它的倾斜角α 是钝角; 直线 CA 的斜率 k3=1>0, 所以它的倾斜角α 是锐角. 当堂练习:
0 0 0 1.A; 2.C; 3.C; 4.A; 5.B; 6.D; 7.D; 8.C; 9.C; 10.C; 11.C; 12.B; 13.D; 14. 0 ?? <180 ; 15.- 3 ; 16.30 < 0 α <60 ; 17.不存在;

18.(1)由题意得

2m ? 1 ? 2 3 3 ?3 3m ? 6 0 ,解得 . ? 12 ,解得 m=-2;(2)由题意得 tan 60 ? ? m ? m 4 1 ? (?m)
a ?3 b ?3 , ? 2( a ? 3) ? b ? 3 ,即 2a-b=3 为所求. ? 3? 2 4 ? 2

19. (1)依题意知三点共线,则有 (2) kAB=

7 ? 9a 7 ? 9a 7?2 5 , kAC= ,∵A、B、C 三点在一条直线上,∴kAB=kAC. ? ? 3? 2 5 3? a 3? a

5 7 ? 9a 2 ? 解之得a ? 2或a ? . 3? a 5 9
20.解: S ?ABC ?

1 2

AB ? hc ?

9 2

,直线 x

? a 与AC的交点D ? ? a, 3(1 ?
?

a

) ? ,与AB 的交点 2 ? y

?

E ( a,3) , S ?ADE ?

1 2

DE ? ha ?

3a 4

2

?

9 4

,解得 a

? 3

B(-4,,1)
1 2

A(3,2) 0 C(0,-1) x

21.解:根据图形可知,过 C 的直线与线段 AB 相交时, k ? 1或k ? ?

§2.1.1 直线的方程 经典例题: 解: 解:设 l 方程为 y ? 1 ? ?m( x ? 1) ,则 P (1 ?
1 m , 0), Q (0,1 ? m ) 从而可得直线 PR 和 QS 的方程分别为:

x ? 2y ?

m ?1 ? 0 和 x ? 2 y ? 2(m ? 1) ? 0 m
2

| 2m ? 2 ? 1 ?
又 PR∥QS ∴ | RS |?

1

5

m ?

|

3 ? 2m ? 5

1 m


2?
|PR| ?

m , | QS |? m ? 1 ,四边形 PRSQ 为梯形 5 5 1 2 2? ( 2 m ? m ? 1) ? 5 5 3 ? 2m ? 1 m ? 1 ( m ? 1 ? 4 ) 2 ? 1 ? 1 (2 ? 9 ) 2 ? 1 ? 3.6 5 m 9 80 5 4 80 5

∴ S PRSQ ?

∴四边形 PRSQ 的面积的最小值为 3.6. 当堂练习:

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1.C; 2.D; 3.C; 4.B; 5.B; 6.C; 7.D; 8.D; 9.D; 10.D; 11.D; 12.D; 13.D; 14. x=0,y= -1; 15. (2) ; 16.

x y ? ? 1 ; 17. A ? 0 且 B ? 0 ,C ? R ; 6 8
18.解:设直线的斜截式方程为 y=由|b|+

3 4 x+b, 令 x=0, y=b; 令 y=0, x= b, 4 3

3 3 5 3 |b|+ b 2 ? ( b) 2 ? 9 , 即(1+ + )|b|=9,得|b|=3,即 b= ? 3, 4 4 4 4 4 ? 所求直线的方程为 y=- x ? 3. 3 2 19.解:设直线方程为 y-2=k(x-1) (k<0),令 y=0, x=1- ; 令 x=0, y=2-k ,则截距和 b= k
(1-

2 2 2 )+(2-k)=3+(- )+(-k) ? 3 ? 2 2 , 当且仅当- =-k, 即 k= - 2 (? k<0). k k k 2 )+(2-k),整理成关于 k 的一元二次方程:k 2+(b-3)k+2=0 有实数解,因此 k

另解: b= (1-

?=(b-3) 2-8 ? 0,即 b ? 3 ? 2 2 ,此时 k= - 2 . 20. 解:作点 A 关于 x 轴的对称点 A1(-3,-4) ,D 点关于 y 轴的对称点 D 1(1,6) , 直线 A1D 1(即直线 BC)的方程为 5x-2y+7=0, 令 y=0,得 x= 同理可求得 C(0,

7 7 ,即 B(- ,0), 5 5

7 ) ,于是可求得直线 AB 的方程为 5x+2y+7=0, 直线 CD 的方程为 5x+2y-7=0. 2 y?4 x?6 ? 21. 解:设 Q(x1,4x1), x1>1, 过两点 P、Q 的直线方程为 , 若 QP 交 x 轴于点 M(x2,0),得 4 x1 ? 4 x 1 ? 6
10x1 10x1 5 x1 5 x1 1 1 5 x1 2 ? 4 x1 ? , M( ,0). ? S ?OMQ ? | OM | ? y Q ? ? ,由 S= ,得 10x1 -Sx1+S=0, x1 ? 1 x1 ? 1 2 2 x1 ? 1 x1 ? 1 x1 ? 1 据 ? ? 0,得 S ? 40,当 S=40 时,x1=2, ? 点 Q(2,8).
x2= §2.1.3 两条直线的平行与垂直 经典例题: 解: ? AC ? BH , ? k AC ? ?
2

2

1 ? 5 , ? 直线 AB 的方程为 y=3x-5 k BH

(1)

? AB ? CH , ? k AB ? ?

1 ? 3 , ? 直线 AC 的方程为 y=5x+33 k CH
? x ? ?19 , ? A 点的坐标为(-19,-62). ? y ? ?62

(2)

由(1)与(2)联立解得 ?

当堂练习: 1.B; 2.C; 3.C; 4.D; 5.C; 6.B; 7.C; 8.C; 9.B; 10.C; 11.D; 12.D; 13.D; 14. x+3y+9=0 或 13x+5y-19=0; 15. 2 或-1; 16. -5; 17. x-2y-3=0; 18. 解:依题意,可设 ? 的方程为 2x+5y+m=0, 它与 x,y 轴的交点分别为((0,-

m ,0), 2

m 1 m m 2 ),由已知条件得: ? | ? | ? | ? |? 5 , ? m =100, ? m ? ?10,? 直线 ? 的方程为 2x+5y ? 10=0. 2 2 5 5

19. 解:由 4x+2y+b=0,即 2x+y+

b =0, 两直线关于点对称,说明两直线平行, ? a =2. 2

在 2x+y+1=0 上取点(0,-1) ,这点关于(2,-1)的对称点为(4,-1) ,

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又(4,-1)满足 2x+y+ 20. 解: ? k BC=

b =0, 得 b= -14, 所以 a =2, b= -14. 2

2?0 =1, ? k l =-1, ? 所求的直线方程为 y= -(x-1),即 x+y-1=0. 1 ? ( ?1)

21. 解:设 C(x,0) 为所求点,则 k AC= 即

?3 ?2 , k BC= ,?AC ? BC,? k AC k BC=-1, x ?1 x?4

6 ? ?1,? x=1 或 x=2, 故所求点为 C(1,0)或 C(2,0). ( x ? 1)( x ? 4)
§2.1.4-6 两条直线的交点、平面上两点间的距离、点到直线的距离

经典例题: 解:若过 P 点的直线垂直于 x 轴,点 A 与点 B 到此直线的距离均为 5,? 所求直线为 x=2; 若过 P 点的直线不垂直于 x 轴时,设 ? 的方程为 y+1=k(x-2), 即 kx-y+(-1-2k)=0. 由 | ?3k ? 1 ? 1 ? 2k | ? | 7k ? 3 ? 1 ? 2k | ,即|5k|=|5k+2|,
k ?1
2

解得 k=-

k ?1
2

1 , 5

? 所求直线方程为 x+5y+3=0; 综上,经过 P 点的直线方程为 x=2 或 x+5y+3=0.
当堂练习: 1.D; 2.D; 3.B; 4.C; 5.D; 6.D; 7.C; 8.B; 9.D; 10.B; 11.C; 12.D; 13.B; 14. (2 2 ; 17. ( , ? )或(? 18. 解: ? k CE= -

1 1 , ); 15. –2, 4; 16. 2 6

1 6

1 3

3 ; , ? 7) 2

?3 x ? 2 y ? 1 ? 0 2 3 由? , 求得 A(1,1) , 设 C(a ,b) , , AB ? CE,? k AB ? , AB 方程为 3x-2y-1=0, 3 2 ?2 x ? 3 y ? 1 ? 0 ?2a ? 3b ? 16 ? 0 3? a 4?b ? , ) , ? C 点在 CE 上,BC 中点 D 在 AD 上,? ? 3 ? a 则 D( , 求得 C(5,2) , 4?b 2 2 2? ? 3? ?1 ? 0 ? 2 2 ?
再利用两点间距离公式,求得 AC 的长为 17. 19. 解:利用待定系数法,原二次函数可化为(x-2y+m)(x+3y+n)=0, 由两个多项式恒等,对应项系数对应相

?mn ? k ?m ? ?12 ? x ? 2 y ? 12 ? 0 ? ? m ? n ? ? 20 ? 等,于是有 ? , 得两直线交点坐标 ?n ? ?8 ? (x-2y-12=0)(x+3y-8)=0 由 ? ?x ? 3 y ? 8 ? 0 ?3m ? 2n ? ?20 ?k ? 96 ? ?
为(

52 4 , ? ). 5 5
?3 ? 5 ?4 ? 2 ? 1, y P ? ? ?1, 2 2

20. 解:设点 P 为平行四边形 ABCD 的中心, 则 P 是对角线 AC 的中点 ,? x P ? 即 P( 1, -1) . ? 点 P 又是对角线 BD 的中点, ?

xD ? 3 y ?2 ? 1, D ? ?1,? x D ? ?1, y D ? 0, ? D(-1,0). 2 2

21. 解:中点在 x+y-3=0 上,同时它在到两平行直线距离相等的直线 x-y=0 上, 从而求得中点坐标为(

3 3 3 3 , ) ,由直线 ? 过点(2,4)和点( , ) ,得直线 ? 的方程为 5x-y-6=0. 2 2 2 2
§2.2.1 圆的方程

经典例题: 解:设所求的圆的方程为: x
2

? y 2 ? Dx ? Ey ? F ? 0

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A(0,0), B(11 , ),C(4,2)在圆上,所以它们的坐标是方程的解.把它们的坐标代入上面的方程,

可以得到关于 D, E, F 的三元一次方程组,

?F ? 0 ? 即 ?D ? E ? F ? 2 ? 0 ?4 D ? 2 E ? F ? 20 ? 0 ?
解此方程组,可得: D ∴所求圆的方程为: x
2

? ?8, E ? 6, F ? 0

新疆

王新敞
学案

? y 2 ? 8x ? 6 y ? 0

新疆

王新敞
学案

r?
或将 x
2

1 D F D 2 ? E 2 ? 4 F ? 5 ; ? ? 4,? ? ?3 2 2 2

新疆

王新敞
学案

得圆心坐标为(4,-3).

? y 2 ? 8x ? 6 y ? 0 左边配方化为圆的标准方程, ( x ? 4) 2 ? ( y ? 3) 2 ? 25 ,从而求出圆的 半径 r ? 5 ,圆心坐标为(4,-3)
新疆

王新敞
学案

当堂练习: 1.A; 2.B; 3.B; 4.A; 5.C; 6.A; 7.D; 8.B; 9.C; 10.A; 11.D; 12.D; 13.A; 14. (x-6) 2+y2=36; 15. 2 3 , x+y-3=0; 16. ? ?

? 8 3 ? ? 8 3? ? ; 17. (2- 2 ,2- 2 ), (2+ 2 ,2+ 2 ); ,?3 ? ? ? 2, ? 3 ? ? 3 ? ? ? ? ?
b ?1 3 ? (? ) ? ?1 ,(1) a?2 4

18. 解:设所求圆圆心为 Q(a ,b ) ,则直线 PQ 与直线 3x+4y-2=0 垂直,即 且圆半径 r=|PQ|= (a ? 2) 2 ? (b ? 1) 2 ? b 2 ? 4 2 ,(2)

11 ( 舍) ,当 a =5 时,b=3,r=5, 故所求圆的方程为(x-5) 2+(y-3) 2=25. 5 x y 19. 解:圆 C 的方程为(x-2) 2+(y-3) 2=1, 设圆的切线方程为 ? =1 或 y=kx, a a
由(1) 、 (2)两式,解得 a =5 或 a = 由 x+y-a =0,d=

| 2?3? a | 2

? 1, 得a ? 5 ? 2 ,? x ? y ? 5 ? 2 .

由 kx-y=0,d=

| 2k ? 3 | k ?1
2

? 1, 得k ?

6?2 3 2 3 ,? y ? (2 ? )x . 3 3
2 3 )x-y=0. 3

综上,圆的切线方程为 x+y-5 ? 2 =0 或(2 ?

20. 解: (1)方程表示一个圆的充要条件是 D 2+E2-4F =4(t+3) 2+4(1-4t2) 2-4(16t4+9)>0, 即:7t2-6t-1<0, ? ?

1 ? t ? 1. 7 3 2 64 )+ , 7 7

(2)r2= D2+E2-4F=4(t+3)2+4(1-4t2)2-4(16t4+9)=-28t2+24t+4=-28(t-

? 8 7? ? 64 ? ? r 2 ? ? 0, ?,? r ? ? 0, ?. ? 7 ? ? 7? ? ?

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2 2 21. 解:(1)曲线 C 的方程可化为:(x2+y2-20)+m(-4x+2y+20)=0,由 ? x ? y ? 20 ? 0 ? ? x ? 4 , ? ?

?? 4 x ? 2 y ? 20 ? 0

? y ? ?2

∴不论 m 取何值时,x=4, y=-2 总适合曲线 C 的方程,即曲线 C 恒过定点(4, -2). (2)D=-4m, E=2m, F=20m-20, D +E -4F=16m +4m -80m+80=20(m-2)
2 2 2 2 2

∵m≠2, ∴(m-2)2>0, ∴D2+E2-4F>0,

C 是一个圆, 设圆心坐标为(x, y), 则由 ?

? x ? 2m ? y ? ?m

消去 m 得 x+2y=0, 即圆心在直线 x+2y=0 上.

(3)若曲线 C 与 y 轴相切,则 m≠2,曲线 C 为圆,其半径 r= 20(m ? 2) 2 ,

又圆心为(2m, -m),则 20(m ? 2) 2 =|2m|, ? m ?

5? 5 . 2

§2.2.2-3 直线与圆、圆与圆的位置关系 经典例题: 解:设圆 C 圆心为 C(x, y), 半径为 r,由条件圆 C1 圆心为 C1(0, 0);圆 C2 圆心为 C2(1, 0); 两圆半径分别为 r1=1, r2=4,∵圆心与圆 C1 外切 又∵圆 C 与圆 C2 内切, ∴|CC2|=r2-r ∴|CC1|=r+r1,

(由题意 r2>r),∴|CC1|+|CC2|=r1+r2,



x 2 ? y 2 ? ( x ?1) 2 ? y 2 ? 1 ? 4 ? 5 , 化简得 24x2+25y2-24x-144=0, 即为动圆圆心轨迹方程.
10 ; 15. 13 或 3; 16. 2

当堂练习: 1.D; 2.B; 3.A; 4.D; 5.D; 6.A; 7.B; 8.D; 9.A; 10.D; 11.D; 12.D; 13.D; 14. 外切; 17. (x-3) 2+(y-3) 3=18;
?2 x ? y ? 7 ? 0

x? y?4 ? 0 ?x ? 3 , 18. 证明: (1)将直线 ? 的方程整理为(x+y-4)+m(2x+y-7)=0,由 ? , 得? ? ?y ? 1

, ? (3-1)2+(1-2)2=5<25,? 点 A 在圆 C 的内部,故直线 ? 恒与圆相交. ? 直线 ? 过定点 A(3,1) (2) 圆心 O (1, 2) , 当截得的弦长最小时,? ? AO, 由 kAO= -

1 , 得直线 ? 的方程为 y-1=2(x-3) , 即 2x-y-5=0. 2

19. 解:过直线与圆的交点的圆方程可设为 x2+y2+2x-2y-3+ ? (x+3y-7)=0, 整理得 x2+y2+(2+ ? )x+(3 ? -2)y-3-7 ? =0,令 y=0,得 x2+y2+(2+ ? )x -3-7 ? =0

? 圆在 x 轴上的两截距之和为 x1+x2= -2- ? ,同理,圆在 y 轴上的两截距之和为 2-3 ? ,故有-2- ? +2-3 ? =-8 ,

? =2,所求圆的方程为 x2+y2+4x+4y-17=0.
20. 解:设所求圆圆心为 P(a ,b ) ,半径为 r,则点 P 到 x 轴、y 轴的距离分别为|b| 、|a | , 由题设知圆 P 截 x 轴所对劣弧对的圆心角为 90 ,知圆 P 截 x 轴所得弦长为 轴所截提的弦长为 2,所以有 r =a +1,从而 2b -a =1.
2 2 2 2 0

2 r,故 r2=2b 2, 又圆 P 被 y

又因为 P(a ,b )到直线 x-2y=0 的距离为

5 , 5

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| a ? 2b | 5 5 ,即|a-2b|=1, 5

所以 d=

=

解得 a -2b= ? 1,

由此得 ?

?2b 2 ? a 2 ? 1 ?2b 2 ? a 2 ? 1 ?a ? ?1 ?a ? 1 , 或? 解方程组得? 或? ?b ? ?1 ?b ? 1 ?a ? 2b ? 1 ?a ? 2b ? ?1

于是 r2=2b 2=2, 所求圆的方程是(x+1) 2+(y+1) 2=2 或(x-1) 2+(y-1) 2=2. 21. 解:公共弦所在直线斜率为

7 2 ,已知圆的圆心坐标为(0, ) , 2 3 7 3 =- x, 即 3x+2y-7=0,设所求圆的方程为 x2+y2+Dx+Ey+F=0, 2 2

故两圆连心线所在直线方程为 y? ?(?2) 2 ? 3 2 ? 2 D ? 3E ? F ? 0
2 2 ?1 ? 4 ? D ? 4 E ? F ? 0 ? D E ?( 3 ? ) ?( 2 ? )?7 ? 0 2 2 ?

由?

?D ? 2 , ? ? ?E ? ?10 ?F ? 21 ?

? 所求圆的方程为 x2+y2+2x-10y+21=0.

§2.3.1-2 空间直角坐标系、空间两点间的距离 经典例题: 解:(1)假设在在 y 轴上存在点 M,满足 | MA |?| MB | . 因M在 y 轴上,可设 M(0,y,0) ,由 | MA |?| MB | ,可得

32 ? y 2 ? 12 ? 12 ? y 2 ? 32 ,
显然,此式对任意

y ? R 恒成立.这就是说 y 轴上所有点都满足关系 | MA |?| MB | .

(2)假设在 y 轴上存在点 M,使△MAB 为等边三角形. 由(1)可知,y 轴上任一点都有 | MA |?| MB | ,所以只要 | MA |?| 三角形. 因为 | MA |? (3 ? 0) 2 ? (0 ? y) 2 ? (1 ? 0) 2 ? 10 ? y 2

AB | 就可以使得△MAB 是等边

| AB |? (1 ? 3) 2 ? (0 ? 0) 2 ? (?3 ? 1) 2 ? 20

于是

10 ? y 2 ? 20 ,解得 y ? ? 10

故 y 轴上存在点 M 使△MAB 等边,M 坐标为(0, 当堂练习:

10 ,0) ,或(0, ? 10 ,0) .
8 ; 7

1.B; 2.A; 3.A; 4.B; 5.C; 6.B; 7.B; 8.C; 9.B; 10.D; 11.C; 12.C; 13.A; 14. (0, 16. 3 , 2; 17. (0, 3 ? 29,0) ;

2 , 3 ); 15.

2 2 2 2 2 2 18. 解: (1)|AB|= (1 ?1) ? (1 ?1) ? (0 ?1) ? 1; (2)|CD|= (?3 ? 0) ? (1 ? 2) ? (5 ? 3) = 22.

19. 证明: ? | AB |? 89, | AC |? 75, | BC |? 14,? | AC | 2 ? | BC | 2 ?| AB | 2 ,

??ABC 为直角三角形.

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20. 解: (1) 设满足条件的点的坐标为(x ,y , z) , 则 ( x ?1) 2 ? ( y ? 0) 2 ? ( z ?1) 2 ? ( x ? 3) 2 ? ( y ? 2) 2 ? ( z ?1) 2 , 化简得 4x-4y-3=0 即为所求. (2) 设满足条件的点的坐标为(x ,y , z) , 则 ( x ? 3)2 ? ( y ? 2)2 ? ( z ? 2)2 ? ( x ? 1)2 ? ( y ? 0)2 ? ( z ? 2)2 , 化简得 2x-y-2z+3=0 即为所求. 21. 解: 由图形知,DA⊥DC,DC⊥DP,DP⊥DA,故以 D 为原点,建立如图空间坐标系 D-xyz. 因为 E,F,G,H 分别为侧棱中点,由立体几何知识可知,平面 EFGH 与底面 ABCD 平行, 从而这 4 个点的竖坐标都为 P 的竖坐标的一半,也就是 b, 由 H 为 DP 中点,得 H(0,0,b)

E 在底面面上的投影为 AD 中点,所以 E 的横坐标和纵坐标分别为 a 和 0,所以 E(a,0,b) ,
同理 G(0,a,b) ;

F 在坐标平面 xOz 和 yOz 上的投影分别为点 E 和 G,故 F 与 E 横坐标相同都是 a, 与 G 的纵坐标也同为 a,又 F 竖坐标为 b,故 F(a,a,b) .
必修 2 综合测试 1.D; 2.C; 3.C; 4.C; 5.D; 6.D; 7.B; 8.B; 9.D; 10.C; 11.A; 12.A; 13. 2x+3y+10=0; 14. 8; 15. y=(x-1)2; 16. 3 ; 17. (1)证明:∵AB=AC,D 是 BC 的中点,∴AD⊥BC. ∵底面 ABC⊥平面 BB1C1C,∴ AD⊥侧面 BB1C1C , ∴AD ⊥CC1. (2)证明:延长 B1A1 与 BM 交于 N,连结 C1N , ∵AM=MA1,∴NA1=A1B1. ∵A1B1=A1C1,∴A1C1=A1N=A1 B1 , ∴C1N⊥C1B1 , ∵底面 NB1C1⊥侧面 BB1C1C,∴C1N⊥侧面 BB1C1C . ∴截面 C1NB ⊥侧面 BB 1C1C , ∴截面 MBC1⊥侧面 BB 1C1C.; 18. 解:设 x1

? x2 ,

且 x1,x2 ? R ,

则 x2 ? x1 ? 0 ,

由条件当 x ? 0 时, f ( x) ? 0

? f ( x 2 ? x1 ) ? 0

又 f ( x 2 ) ? f [( x 2 ? x1 ) ? x1 ] ? f ( x2 ? x1 ) ? f ( x1 ) ? f ( x1 ) 令 y ? ?x ,则 f (0) ? f ( x) ? f (? x)

? f ( x) 为增函数,
又令 x ? y ? 0 ,

得 f (0) ? 0 ,

? f (? x) ? ? f ( x) , 故 f ( x) 为奇函数,
,

? f (1) ? ? f (1) ? 2 , f (?2) ? 2 f (?1) ? ?4
AB || ?

2] ? f ( x)在[?2, 1] 上的值域为 [ ?4,

.

? ? ? ? ? ? ? AB || EG ? ? ? 19. 证明: (1) ? EG || FH ? ? 是平行四边形. 平面ABC ? ? ? EG? ? ? EFGH ? ? ? ? 同理AB || FH ? ? 同理EF || GH ? ? AB ? 平面ABC

(2)? AB||EG 又

?

EG CE ? , AB CA ?

同理

EF AE ? CD AC

CE AE ? ?1 CA AC

EG EF ? ?1 AB CD
平行四边形 EFGH 的周长为 2a .

?AB=CD=a

? EG+EF=a, ?

20. 解: (1)反射线经过点 A(0,2)关于 x 轴的对称点 A1(0,-2) ,这条光线从 A 点到切点所经过的路 程即为 A1(0,-2)到这个圆的切线长

18 5 . (2) 入射光线的方程为 2x+y-2=0 或 x+2y-4=0. 5

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21. 解: (1)分离参数 p 得(4y-4x)p+x2+y2-8y+8=0,
x? y ?0 由? ?
2 2

? x ? 2 , 即圆恒过定点(2,2). ?? ?x ? y ? 8 y ? 8 ? 0 ? y ? 2
?y ? 4 ? 2 p

x ? 2p (2) 圆方程可化为(x-2p) 2+[y-(4-2p)] 2=8(p-1) 2,得圆心的参数方程为 ? ?

,

消去参数 p 得: x+y-4=0 (x ? 2). (3)设圆的公切线方程为 y=kx+b ,即 kx-y+b=0,则 | 2 pk ? b ? 4 ? 2 p | ? 2 2 | p ? 1 | , 1? k 2 两边比较系数得 k=1, b=0,所以圆的公切线方程为 y=x . 22. 解: (1)令 m ? n ? 0 得 f (0) ? f (0) ? f (0) , ? f (0) ? 0 或 f (0) ? 1 . 若 f (0) ? 0 ,当 m ? 0 时,有 f (m ? 0) ? f (m) ? f (0) ,这与当 m ? n 时, f (m) ? f (n) 矛盾,

? f ( 0) ? 1 .
(2)设 x1 ? x2 ,则 x2 ? x1 ? 0 ,由已知得 f ( x 2 ? x1 ) ? 1 ,因为 x1 ? 0 , f ( x1 ) ? 1 , 若 x1 ? 0 时, ? x1 ? 0,f (? x1 ) ? 1 ,由 f (0) ? f ( x1 ) ? f (? x1 )
? f ( x1 ) ? 1 ? 0, f ( x 2 ) ? f ( x 2 ? x1 ) ? f ( x1 ) ? f ( x1 ),? f ( x)在R上为增函数. f (? x1 )
2

(3)由 f ( x 2 ) ? f ( y 2 ) ? f (1) 得 x 由

? y 2 ? 1 (1)
(2)

f (ax ? by ? c) ? 1 得 ax ? by ? c ? 0

从(1) 、 (2)中消去

y 得 (a 2 ? b 2 ) x 2 ? 2acx ? c 2 ? b 2 ? 0 ,因为 A ? B ? ? ,

? ? ? (2ac) 2 ? 4(a 2 ? b 2 )(c 2 ? b 2 ) ? 0 , 即 a 2 ? b 2 ? c 2 .

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