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第1轮总复习文科数学课件立体几何中的向量方法



一轮总复习

文数
上林县中学

§9.9

立体几何中的向量方法 (一)

会用向量法求两异面直线所成的角、 直线与平面所成的角、二面角等空间角的 计算。体会向量法在研究立体几何中的工 具性作用.

立体几何中的向量方法
1、平行问题

/>若直线AB,CD平行 ? AB ? ? CD ? ?为常数?

直线AB与平面? 平行 ? AB ? n ? ( 0 n为平面的法向量)

平面?与平面? 平行 ? n ? ? m n,m分别为平面?,?的法向量

?

?

2、垂直问题
直线a, b垂直 ? a ? b ?

a ?b ? 0

直线a垂直平面? ? a ? ? n n为平面?的法向量


?

?
?

a ? b ? 0, a ? c ? 0 b, c为平面?内的任两条相交直线的方向向量

?

? ?? ?

n?m ? 0
或转化为线线垂直、线面垂直处理。

夹角问题
异面直线AB、CD所成的角?的向量公式:
cos ? ? AB ? CD AB ? CD

? ?? ? ? ? 0, ? ? 2?

直线a与平面? 所成的角?的向量公式:
sin ? ? a?n a ?b

? ?? ? ? ? 0, ? ? 2?

求二面角的大小的向量公式:

范围??0,? ?

cos n, m ?

n?m n?m

考点热身
1、已知两平面的法向量分别为 m ? ? 0,1, 0 ? , n ? ? 0,1,1?, 则两平面 所成的锐二面角为( A ) A、 45 B、75 C、 30 D、60
2、(08.福建)如图,在长方体ABCD ? A1B1C1D1中,AB=BC=2,

AA1 =1, 则AC1与平面A1B1C1D1所成角的正弦值为? D?

2 2 A. 3

2 B. 3

z

D1

C1 ? 2, 2,1?
C1

1 A 2 x D . B C. 3 4 设所求角为?, AC ? ? 2, 2,1? 易知AA ? 平面A B C D 又 AA ? ? 0, 0,1?
1 1 1 1 1 1 1

A1 ? 0,0,1?

A1

y
D

B1
C

? sin ? ?

AC1 ? AA1 AC1 ? AA1

?

2 ? 0 ? 2 ? 0 ? 1? 1 22 ? 22 ? 12 ? 12

?

1 3

3、 (09.全国II卷)已知正棱柱ABCD ? A1B1C1D1中,AA1 =2AB E为AA1的中点,则异面直线BE与CD所成角的余弦值为( C)
10 A、10

1 B、 5

3 10 C、 10
D1

3 D、 5
C1 B1

A1
E A

D

C

B

走进高考 考点精炼
SD ? 底面ABD, AD ?

例1

(09.全国I)如图,四棱锥S ? ABCD中,底面ABCD为矩形, 2, DC ? SD ? 2.点M 在侧棱SC上, ?ABM ? 600. ?1? 证明 : M 是侧棱SC的中点;

? 2 ? 求二面角S ? AM ? B的大 小.

z

S
M D C

y x
A B

解:以D为坐标原点,射线DA、DC、DS分别为x、y、z,建立如图所示 的直角坐标系D-xyz设A

?

2, 0, 0 , 则B

?

?

2, 2, 0 , C ? 0, 2, 0 ? , S ? 0, 0, 2 ? ,

?

2 ? ? 2? 1 设 SM ? ? MC ? ? 0 , 则由线段的定比分点公式得 M 0, , ?? ? ? ? ? ? 1? ? 1? ? ? 2 ?2 ? ? MB ? ? 2, , ? , 又 AB ? ? 0, 2, 0 ? , MB, AB ? 60 , 1? ? 1? ? ? ? z S 故 MB ? AB ? MB ? AB COS 60 , 4 即 ? 1? ?

M
2

? 2?

2

? 2 ? ? ?2 ? ?? ? ?? ? .解得? ? 1, ? 1? ? ? ? 1? ? ?

2

D

C

即SM ? MC.所以M为SC的中点.

y
A B

x

? 2 ? 设n ? ? x, y, z ? 为平面SAM的一个法向量,S ? 0,0,2 ? , A ? 2,0,0 ? ,M ? 0,1,1? .则SA= ? 2,0,-2 ? ,SM= ? 0,1,-1?
? ? 2x ? 2z ? 0 ? n ? SA ? 0 ? 则? ?? , 令x ? y ? z ? 0 ? ? ? ? n ? SM ? 0 所以n ? 2, y ? 1, z ? 1

?

2,1,1

?

z

S M

设m ? ? x, y , z ? 为平面AMB一个法向量,则 AM= - 2,1,1 , AB = ? 0, 2, 0 ? ,则 ? ? m ? AM ? 0 ? ? ? ? m ? AB ? 0 令x ? ?? 2 x ? y ? z ? 0 ? ? ?2 y ? 0 ?

?

?

D

C B

y

2, y ? 0, z ? 2, 所以m ? 2?

?

2, 0, 2

?
2

x

A
? 6 3 6 3

所以 cos n, m ?

2 ? 1? 0 ? 1? 2

?

2

?

2

?1?1?

?

2

?

? 22

由图象可知,所求二面角为钝二面角,故? ? arccos

例 2(08.天津)如图,在底面是矩形的四棱锥 P ? ABCD 中, AD ? PA ? 2 ,

PD ? 2 2 , ?PAB ? 60 。 (1)证明: AD ? 平面 PAB ;
(2)求异面直线 PC 与 AD 所成角 ? 的大小; (3)求二面角 P ? BD ? A 的大小。
z

P

(1)证明:

AD ? PA ? 2 , PD ? 2 2 ,
A

? PA2 ? AD2 ? PD2 ? ?PAD ? 90
又 即: AD ? PA
x

O B
C

D y

AD ? AB , PA AB ? B ? AD ? 平面 PAB 。

(2)证明:由 AD ? 平面 PAB ,知:平面 ABCD ? 平面 PAB 过点 P 作 PO ? AB ,垂足为 O ,则 PO ? 平面 ABCD 如图,以点 O 为原点建立空间直角坐标系,

则 P(0,0, 3) , A(?1, 0, 0) , B(2, 0, 0) ,

z
P

C (2, 2,0) , D(?1, 2, 0) ,

? PC ? (2, 2, 3) , AD ? (0, 2,0)

A

D y

| PC ? AD | 4 2 11 ? cos? ? ? ? 11 | PC | ? | AD | 11 ? 2
?异面直线 PC 与 AD 所成角 ? 的大小是 arccos

O
B

C

x

2 11 。 11 (3)解: PB ? (2,0, ? 3) , BD ? (?3, 2,0) ,设 n ? ( x, y, z) 是平面 PBD 的一个法向量,

? ? ? n ? PB ? 0 ?2 x ? 3z ? 0 则? ,即 ? ,令 x ? 2 3 ,得: n ? (2 3,3 3, 4) ? ? ? ?3 x ? 2 y ? 0 ?n ? BD ? 0
易知 m ? (0,0,1) 是平面 ABD 的一个法向量,

? cos ? n, m ??

4 55 n?m 4 4 55 , 故所求二面角的大小为 arccos 。 ? ? 55 55 | n |?| m| 55 ?1

比较两种建系方法
z
P

z
P

E A B y D

E A D

x

o
B

C

C
y

x
求证部分中含有平面 PAD 如:二面角 C ? AP ? D

求证部分中含有平面 PAC 如:二面角 B ? PC ? A

点评立体几何中空间角的计算往往技巧
性较强,思路易受阻,可借助向量的运算, 特别是坐标运算的功能,极大地减少了逻 辑论证的思维量,取而代之的是向量带来 的运算量 .用向量的方法解决此类问题的要 点有:①建系后,写有关点或向量的坐标 时要仔细;②要明确空间角的向量描述方 式;③要熟悉本例中求平面的法向量的方 法.

方法提炼
1. 利用向量解立体几何题的一般方法: 把线段或角度转化为向量表示,用已知向量 表示未知向量,然后通过向量的运算或证明 去解决问题 . 向量法是将立体几何问题转化 为代数问题,若能恰当选取基底或建立空间 直角坐标系,会使运算更简捷.

2.利用坐标运算解决立体几何问题,降 低了推理难度,可以避开一些较复杂的线 面关系 .但较复杂的代数运算也容易导致出 错,因此,在解决问题时,可以灵活地选 用解题方法,不要生搬硬套.

(08· 全国一卷)四棱锥 A ? BCDE 中,底面 BCDE 为矩形,侧面 ABC ? 底面 BCDE ,
z

BC ? 2 , CD ? 2 , AB ? AC 。
(1)证明: AD ? CE ; (2)设 CE 与平面 ABE 所成的角为 45 , 求二面角 C ? AD ? E 的大小。 (1)证明:取 BC 的中点 O ,连结 AO

A

由 AB ? AC ,知: AO ? BC 再由侧面 ABC ? 底面 BCDE , 知: AO ? 底面 BCDE

O x C

B
D

E
y

如图,以点 O 为原点建立空间直角坐标系,设 AO ? a , 则 O(0,0,0) , A(0,0, a) , B(?1, 0, 0) , C (1, 0, 0) , D(1, 2,0) , E(?1, 2,0)

? AD ? (1, 2, ?a) , CE ? (?2, 2,0) AD ? CE ? 1? (?2) ? 2 ? 2 ? (?a) ? 0 ? 0

? A D? C E ,即: AD ? CE 。

(2) AB ? (?1,0, ?a) , AE ? (?1, 2, ?a) 设 n ? ( x, y, z) 是平面 ABE 的一个法向量,则
A

z

? ? ? n ? AB ? 0 ? ? x ? az ? 0 ,即 ? , ? ? ? ?? x ? 2 y ? az ? 0 ?n ? AE ? 0
令 z ? ?1 ,得: n ? (a,0, ?1)

x

C

O

B D

E y

CE 与平面 ABE 所成的角为 45

?sin 45 ?

| CE ? n | 2a 2 , 解得: a ? 3 ? ? 2 2 | CE | ? | n | a ?1 ? 6

? AC ? (1,0, ? 3) , AD ? (1, 2, ? 3) , AE ? (?1, 2, ? 3)
设 n1 ? ( x, y, z) 是平面 ACD 的一个法向量,则

? ? ? n1 ? AC ? 0 ? x ? 3z ? 0 ,即 ? ,令 z ? 1 ,得: n1 ? ( 3,0,1) ? ? ? ?n1 ? AD ? 0 ? x ? 2 y ? 3z ? 0

z

同理可得平面 ADE 的一个法向量为 n2 ? (0, 3, 2)

A

? cos ? n1 , n2 ??

10 ? ? arccos 。 C ? AD ? E 的大小为 ? 二面角 O 10 C
x

n1 ? n2 2 10 ? ? | n1 | ? | n2 | 2 ? 5 10

B D

E y

课后作业: 精品练案

P269 1、4、5、6、10

本节完,谢谢聆听



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