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三角函数复习课1



课题

弧度制 任意角 的概念

弧长与扇形 面积公式

同角三角函数的基本关系 单位圆与三角函数线 图象性质

定义

诱导公式 y=asinα+b cosα 的 最 值 Cα+β、Sα+β、 、 、
T α+β

形如y=Asin(ωx+φ)+B图象 图象 形如 C2α、S2α、 T 2α

Cα-β、Sα-β、 、 、
T α-β

一、记住下列三角公式: 记住下列三角公式:
诱导公式: ) (1)sin(k*360°+α) = sinα,(2)sin( π ?α) = sin α cos(π ?α) = ?cosα cos(k*360°+α) = cosα tan(π ?α ) = ? tan α (3) sin( ?α ) = ?sin α )

cos(?a) = cosα tan( ?α ) = ? tan α
(5) sin(360°?α = ?sinα, °?α) °?α α cos(360°?α = cosα °?α) °?α α

(4) )

一、记住下列三角公式: 记住下列三角公式:
①两角和与差的正弦、余弦、正切 : sin(α β = sinαcosβ cosαsinβ ± ) ± cos(α β = cosαcosβ sinαsinβ ± ) m tanα tanβ ± tan( ±β = α ) 1m tanα β tan

天哪 !

②二倍角公式: 2tanα sin2α= 2sinαcosα ;tan2 = α 2 1? tan α 2 2 2 2 cos2α= cos α sin α= 1? 2sin α= 2cos α 1 ? ?

③降幂公式: 1 + cos 2 1 ? cos 2 α α 2 2 cos α= ;sin α= 2 2 ④半角公式:
α 1+ cosα α 1? cosα cos = ± ;sin = ± 2 2 2 2 α 1? cosα sinα 1? cosα tan = ± = = 2 1+ cosα 1+ cosα sinα ⑤万能公式:

α 2α 2tan 1? tan 2 ;cosα 2 = = sinα 2α 2α 1+ tan 1+ tan 2 2

吔!

⑥和差化积与积化和差公式不需记但要会用. 和差化积与积化和差公式不需记但要会用

二、一般函数图象变换
位 移 变 换 的图象 y=sinx的图象 y=sinx的图象 的图象 上下 平移
向上(b>0)或向下 或向下(b<0)移︱b︱单位 向上 或向下 移 ︱

y=sinx+b 的图象 y=sin(x+φ) 的图象

左右 平移 上下 伸缩

向左(φ>0)或向右 或向右(φ<0)移︱φ︱单位 向左 或向右 移 ︱

点的纵坐标变为原来的A倍 点的纵坐标变为原来的 倍 横坐标不变

伸 缩 变 换

y=A sinx 的图象

左右 伸缩

点的横坐标变为原来的1/ω倍 倍 点的横坐标变为原来的 纵坐标不变

y=sinωx 的图象

1、以变角为主线,注意配凑和转化; 、以变角为主线,注意配凑和转化; 2、见切割,想化弦;个别情况弦化切; 、见切割,想化弦;个别情况弦化切;

微 观 直 觉

3、见分式,想通分,使分母最简; 、见分式,想通分,使分母最简; 4、见平方想降幂,见“1±cosα”想升幂; 、见平方想降幂, 想升幂; ± 想升幂 想平方再转化 5、见sin2α,想 2sinαcosα; 、 , ; 6、见sinα±cosα 、 ±
sinα+sinβ=p cosα+cosβ=q

7、见a sinα+b cosα,想化为 、 ,

a + b sin( + ) 式
2 2

α α 1 设 cos = 例 α角是第二象限且满足| | ? cos , 2 2 α 则 角属于( C ) 2
A、第一象限;B 、第二象限; C 、第三象限;D 、第四象限。

点评: 点评 本题先由α所在象限确定 所在象限,再 的余弦符号确定结论 所在象限确定α/2所在象限 的余弦符号确定结论. 本题先由 所在象限确定 所在象限 再α/2的余弦符号确定结论

例2 求sin 20° + cos 50° + sin 20° cos 50°值 .
2 2

基本思路: 基本思路

1? cos 2 α 2 1+ cos 2 α 利用降幂公式sin α= , α= cos 2 2
2

3 最后结果: 最后结果 原式 = 4

例 3

已知函数y = 3 sin x + cos x,x ∈ R

①当函数y取得最大值时,求自变量x的集合; ②该函数图象可由y = sin x,x ∈ R的图象经过怎样 的平移和伸缩变换而得到?
解题步骤: 解题步骤
π 1.化函数为 = 2sin( x + ) x ∈ R ? ? ? ?3分 y , 6 π 2.y取最大值时得 的集合为x|x = 2kπ+ , k ∈ Z} ? ? ? 6分 x { 3
π π ①将y = sin x图象向左平移 ,得到y = sin( x + )图象 ? ? ? 9分 6 6 的横坐标不变, ②将所得图象上所有点 的横坐标不变,把纵坐 标

3.指出变换过程 指出变换过程: 指出变换过程

2 . 伸长到原来的 倍, 得到y = 2sin( x +π/ 6)的图象 ? ? ? 12分

例4 π 3 1 已知sinα ,α ( ,π, π-β = , = ∈ ) tan( ) 5 2 2 求tan( α-β值 2 ) .

解题步骤: ①由sinα值求出 α值,得出 α值 cos tg ; ②由tan( ?β值,求出tanβ值,再求tan2 π ) β值; ③再利用差角公式求出tan( ? 2 ) . α β值
答案:tan(α-2β)=7/24. - 答案

一、选择题: 基础练习 选择题: A=21° B=24° 1、若A=21°,B=24°,则(1+tanA)(1+tanB) 的值是( 的值是( B ) (A)1 (B)2 (C)1+ 2 (D)2(tanA+tanB) 270°<α<360° 2、若270°<α<360°,则 1 + 1 1 + 1 cos 2α 2 2 2 2 等于( 等于( A ) (A)(A)-cos(α/2) (B) cos(α/2) (C) sin(α/2) (D) -sin(α/2) ABC中 a=3,b=4, 3、在△ABC中,a=3,b=4,外接圆直径 ABC的面积为 的面积为( 为5,则△ABC的面积为( C ) (C)6或 (A)6 (B)42/25 (C)6或42/ 25 (D)5

cosα sinα ? = 4+ 3 2、设 cosα sinα ,则 +

二、填空题: 填空题 1 3 4 1、 10° ? cos10° =________ 、 sin

4+ 3 cot(π/4+α)=___________
4 3?3 α π 3、已知tan = 2,则cos( ?α = __________ ) 10

2

3

三、解答题: 解答题 cos(α+β)= ? 14 ,求β。


1 已知α 为锐角, 1、已知α、β为锐角,且cosα= 7 11



1 2 4 3 sin , 由条件可得 α = 1 ? ( ) = 7 7

11 2 5 3 . 又0 < α + β < π, 故sin( α + β) = 1 ? (? ) = 14 14

从而得cos β = cos[(α + β ) ?α] = cos(α + β ) cosα + sin( α + β ) sin α 11 1 5 3 4 3 1 = (? ) × + × = 14 7 14 7 2

β为锐角,故β=π/3 为锐角, 为锐角 π

2、已知sinα+ sin + sinφ= 0, cosα+ cosβ+ cosφ= 0 β 且0 <α<β<φ< 2 ,求β?α值. π sinα+ sin = ? sinφ β 解 :由条件有 cosα+ cosβ= ? cosφ ) : 两边平方相加得 2 + 2(sinαsinβ+ cosαcosβ = 1 1 ∴cos( ?α = ? β ) 又0 <α<β< 2 , π 2 4 π 2 π ∴ ?α= β 或β α= ? 3 3 2 4 π π 同理φ 同理φ α= ? 或φ?α= 3 3 但0 <α<β<φ< 2 , π 2 π . ∴ ?α= β 3

本课小结:由学生先根据 本课小结 自己所掌握的口述,然后 再由教师总结: 1、三角函数的图象变换 2、三角变换的使用技巧 作业: 略 作业

再 见 !

重点:让学生掌握三角函数的 图象;在理解各组三角 图象 公式的基础上掌握并熟 练运用三角公式 公式。 公式 难点:两个变换,“图象变换” “图象变换” 和“三角变换” “三角变换”



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