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排列组合中的“序”、“分”例析【高考一题通论文欣赏之六】


高考一题通论文欣赏之六(选自数学通报) 排列组合中的“序” 、 “分”例析 排列组合中, 经常要和有序与无序、 排序与定序、 分配与分组等非常易混的问题打交道, 稍不慎就会出现错误.本文试对这几个问题加以辨析.序分例析 1 有序与无序 1 . 1 有序问题 有序即与顺序有关,如相异元素的排列问题.若交换元素的位置,结果发生了变化, 就 是排列问题. 例 1 一条直线上有 8 个点.这 8 个点可以构成多少条有向线段? 解 由 A8 ? 56 条 2 评注 设 A , B 是直线上两个点.将有向线段 AB 的端点交换一个位置后,是有向线段 BA , 表示不同的两条有向线段,所以是排列问题. 1 . 2 无序问题 无序即与顺序无关,如相异元素的组合问题.若交换元素的位置,结果未发生变化,就 是组合问题. 例 2 一条直线上有 8 个点.这 8 个点可以构成多少条线段? 解 由 C8 ? 28 条 2 评注设 A , B 是直线上两个点.将线段 AB 的端点交换一个位置后,是线段 BA ,仍 然表示同一条线段,所以是组合问题. 2 排序与定序 排序与定序都是有序问题.排序即要将元素按照顺序排成一列,而这种排法往往不只一 种, 用排列数公式即可求出所有排序的方法; 而定序问题是指某些元素之间不仅有顺序而且 已固定好元素的顺序,这些已定序元素排法只有一种. 2 . 1 排序 例 3. 8 个男生、 5 个女生站在一排照相.要求 5 个女生必须相邻,有多少种站法? 解:先排 5 个女生,有 A5 种方法,将其捆绑为一个元素,再与 8 个男生全排,有 A9 ; 种方法,故共有 A5 5 9 A9 =5! ·9!种方法. 5 9 评注本题进行了两次排序:第一次,排女生,这便解决了必须相邻的 5 个女生之间的顺 序问题;第二次,将 8 个男生与捆绑好并视为一个元素的女生共计 9 个元素进行全排, 这便解决了全体学生的顺序问题. 2 . 2 定序 2 . 2 . 1 明显定序 例 4 8 个人参加一百米比赛,其中甲、乙、丙、丁、戊这 5 个人的顺烹是从前到后(但 不一定相邻) .假设 8 个人的名次各不相同,则有多少种不同的排名结果? 解法 1 8 个人不同排名结果共有 A8 种,但因其中 5 人顺序已定,故符合条件的只占 8 8 A8 1 ,所以共有 5 ? 336 种。 5 A5 A5 解法 2 考虑剩下 3 人的排名, 是从第一名至第八名中选出 3 个名次给这 3 个人, 共有 A8 3 3 种.剩下未被选中的名次只能从前到后依次给甲、乙、丙、丁、戊这 5 个人.故有 A8 =336 种不同的排名结果. 评注 本题明显给出了其中 5 人的顺序,无须再判断哪些元素是定序的.解法 1 是从 整体上考虑的,将问题转化为两个全排列数的比值问题;解法 2 是分步来完成的,先排非 1 定序元素,再排定序元素,最后转化为排列数计算问题. 2 . 2 . 2 隐含定序 例 5 某停车场划出一排 8 个停车位,今有 5 辆车需要停放,要求空车位连在一起, 不 同的停车方法共有多少种? 解法 l 把 3 个连在一起的空车位看成一个元素,这样 8 个停车位就看成了 6 个空位, 选一个位置作为 3 个连在一起的空车位,有 C 6 种选法;再将其余 5 个位置停放 5 辆车, 有 A 5 种,故有 C 6 A 5 = 720 种停车方法. 解法 2 把 3 个连在一起的空车位看成一个元素,把 5 辆车看成 5 个元素,问题成 6 5 1 5 1 为 6 个元素的全


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