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2013届高考文科数学第一轮复习测试题11



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命题要点:?1?合情推理?′11 年 2 考,′10 年 2 考?;?2?演绎推理?一般不单独命题,但其思 考方式渗透于很多题中?. A级 (时间:40 分钟 一、选择题(每小题 5 分,共 25 分) 1.如图是今年元宵花灯展中一款五角星灯连续旋转闪烁所成的三个图形,照此规律闪烁, 下一个呈现出来的图形是( ). 满 分:60 分)
[来源:Z#xx#k.Com]

解析 A. 答案

该五角星对角上的两盏花灯依次按逆时针方向亮一盏,故下一个呈现出来的图形是

A ).

2. (2011· 江西)观察下列各式: 2 =49,73=343,74=2 401, 则 72 011 的末两位数字为( 7 ?, A.01 B.43 C.07 解析 D.49

72=49,73=343,74=2 401,75=16 807,76=117 649,?由此看出,末两位数字具有周期

性,且周期 为 4,又 2 011=4×502+3,由此知 72 011 的末两位数字应为 43. 答案 B

? π π? ? π π? 3.“三角函数是周期函数,y=tan x,x∈?-2,2?是三角函数,所以 y=tan x,x∈?-2,2? ? ? ? ? 是周期函数.”在以上演绎推理中,下列说法正确的是( A.推理完全正确 C.小前提不正确 解析 B.大前提不正确 D.推理形式不正确 ).

? π π? y=tan x,x∈?-2,2?只是三角函数的一部分,并不能代表一般的三角函数,所以小 ? ?

前提错误,导致整个推理结论错误. 答案 C

4.观察(x2)′=2x ,(x4)′=4x3,(cos x)′=-sin x,由归纳推理可得:若定义在 R 上的函
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数 f(x)满足 f (-x)=f(x),记 g(x)为 f(x)的导函数,则 g(-x)=( A.f(x) 解析 B.-f(x) C.g(x) D.-g(x)

).

由所给函数及其导数知,偶函数的导函数为奇函数,因此当 f(x)是偶函数时,其导函

数应为奇函数,故 g(-x)=-g(x). 答案 D

5.(2011· 皖南八校联考(三))为提高信息在传输中的抗干扰能力,通常在原信息中按一定规则 加入相关数据组成传输信息.设定原信息为 a0a1a2,ai∈{0,1}(i=0,1,2),信息为 h0a0a1a2h1, 其中 h0=a0⊕a1,h1=h0⊕a2,⊕运算规则为:0⊕0=0,0⊕1=1,1⊕0=1,1⊕1=0.例如原信 息为 111,则传输信息为 01111,信息在传输过程中受到干扰可能导致接收信息出错,则下 列接收信息一定有误的是 ( A.11010 B.01100 解析 C.10111 D.00011 ).

对于选项 C,传输信息是 1 0111,对应的原信息是 011,由题目中运算规则知 h0 =0

⊕1=1,而 h1=h0⊕a2=1⊕ 1=0,故传输信息应是 10110. 答案 C

二、填空题(每小题 4 分,共 12 分) 6.(2011· 温州模拟)已知等差数列{an}中,有 数列{bn}中,会有类似的结论________. 解析 ∴ 10 由等比数列的性质可知,b1b30=b2b29=?=b11b20, b11b12?b20= 10 30 b1b2?b30. 30 b1b2?b30 a11+a12+?+a20 a1+a2+?+a30 = ,则在等比 10 30

答案

b11b12?b20=

7.在平面上,若两个正三角形的边长比为 1∶2,则它们的面积比为 1∶4,类似地,在空间 中,若两个正四面体的棱长比为 1∶2,则它们的体积比为________. 解析 ∵两个正三角形是相似的三角形,∴它们的面积之比是相似比的平方.同理,两个正

四面体是两个相似几何体,体积之比为相似比的立方,所以它们的体积比为 1∶8. 答案 1∶8

AG 8. 已知结论: “在正三角形 ABC 中, D 是边 BC 的中点, 是三角形 ABC 的 重心, GD 若 G 则 =2”.若把该结论推广到空间,则有结论:“在棱长都相等的四面体 ABCD 中,若△BCD
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AO 的中心为 M,四面体内部一点 O 到四面体各面的距离都相等”,则OM=________. 解析 由题知,O 为正四面体的外接球、内切球球心,设正四面体的高为 h,由等体积法可

1 3 AO 求内切球半径为4h,外接球半径为4h,所以OM=3. 答案 3

三、解答题(共 23 分) 9.(11 分)平面中的三角形和空间中的四面体有很多相类似的性质,例如在三角形中:(1)三 角形两边之和大于第三边; 1 1 (2)三角形的面积 S= ×底×高;(3)三角形的中位线平行于第三边且等 于第三边的 ;?? 2 2 请类比上述性质,写出空间中四面体的相关结论. 解 由三角形的性质,可类比得空间四面体的相关性质为:

(1)四面体的任意三个面的面积之和大于第四个面的面积; 1 (2)四面体的体积 V=3×底面积×高; 1 (3)四面体的中位面平行于第四个面且面积等于第四个面的面积的4. 10.(12 分)如图所示,D,E,F 分别是 BC,CA,AB 上的点,∠BFD=∠A,且 DE∥BA. 求证:ED=AF(要求注明每一步推理的大前提、小前提和结论,并最终把推理过程用简略的 形式表示出来).



(1)同位角相等,两条直线平行,(大前提)

∠BFD 与∠A 是同位角,且∠BFD=∠A,(小前提) 所以 DF∥EA.(结论)

(2)两组对边分别平行的四边形是平行四边形,(大前提) DE∥FA 且 DF∥EA,(小前提) 所以四边形 AFDE 为平行四边形.(结论) (3)平行四边形的对边相等,(大前提) ED 和 AF 为平行四边形的对边,(小前提)
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所以 ED=AF.(结论) 上面的证明可简略地写成: ∠BFD=∠A?DF∥EA? ?? DE∥FA ?

[来源:学科网]

四边形 AFDE 是平行四边形?ED=AF. B级 (时间:30 分钟 一、选择题(每小题 5 分,共 10 分) 1.观察下图: 1 2 3 4 3 4 5 4 5 6 6 7 7 8 9 10 满分:40 分)

?? 则第________行的各数之和等于 2 0112( A.2 010 B.2 009 解析 C.1 006 D.1 005 ).

由图知,第一行各数和为 1;第二行各数和为 9=32;第三行各数和为 25=52;第四

行各数和为 49=72;?;故第 n 行各数 和为(2n-1)2,令 2n-1=2 011,解得 n= 1 006. 答案 C

2.古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数. 比如:

他们研究过图 1 中的 1,3,6,10,?,由于这些数能够表示成三角形,将其称为三角形数;类 似地,称图 2 中的 1,4,9,16,?,这样的数为正方形数.下列数中既是三角形数又是正方形 数的是( ).

A.289 B.1 024 C.1 225 D.1 378 解析 观察三角形数:1,3,6,10,?,记该数列为{an},则 a1=1,

a2=a1+2,
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a3=a2+3, ?

[来源:学.科.网 Z.X.X.K]

an=an-1+n. n?n+1? ∴a1+a2+?+an=(a1+a2+?+an-1)+(1+2+3+?+n)?an=1+2+3+?+n= 2 , 观察正方形数:1,4,9,16,?,记该数列为{bn},则 bn=n2.把四个选项的数字,分别代入上 述两个通项公式,可知使得 n 都为正整数的只有 1 225. 答案 C

二、填空题(每小题 4 分,共 8 分) 1 4 27 m 3.(2012· 南昌调研)已知 m>0,不等式 x+ x ≥2,x+x2≥3,x+ x3 ≥4,可推广为 x+xn≥n +1,则 m 的值为________. 解析 4 x x 4 27 x x x 27 x+x2=2+2+x2,x+ x3 =3+3+3+ x3 ,易得其展开后各项之积为定值 1,所以可猜

m x x x m 想出 x+xn=n+n+?+n+xn,也满足各项乘积为定值 1,于是 m=nn. 答案 nn

a2+b2 4.(★)在 Rt△ABC 中,若∠C=90° ,AC=b,BC=a,则△ABC 外接圆半径 r= 2 .运 用类比方法,若三棱锥的三条侧棱两两互相垂直且长度分别为 a,b,c,则其外接球的半径 R=________. 解析 a2+b2+c2 (构造法)通过类比可得 R= .证明:作一个在同一个顶点处棱长分别为 a, 2

b,c 的长方体,则这个长方体 的体对角线的长度是 a2+b2+c2,故这个长方体的外接球的 半径是 答案 a2+b2+c2 ,这也是所求的三棱锥的外接球的半径. 2 a2+b2+c2 2
[来源:Zxxk.Com]

【点评】 本题构造长方体.解题时题设条件若是三条线两两互相垂直,就要考虑到构造正方 体或长方体. 三、解答题(共 22 分) 5.(10 分)定义“等和数列”:在一个数列中,如果每一项与它的后一项的和都为同一个常 数,那么这个数列叫做等和数列,这个常数叫做该数列的公和.已知数列{an}是等和数列,
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且 a1=2,公和为 5,(1)求 a18 的值;(2)求该数列的前 n 项和 Sn. 解 (1)由等和数列的定义,数列{an}是等和数列,且 a1=2,公和为 5,易知 a2n-1=2,a2n

=3(n=1,2,?),故 a18=3. (2)当 n 为偶数时, Sn=a1+a2+?+an=(a1+a3+?+an-1)+(a2+a4+?+an) 5 =2+2+?+n个2+3+3+?+n个3=2n; 2 3 2 2 当 n 为奇数时, 5 5 1 Sn=Sn-1+an=2(n-1)+2=2n-2.

?5n ?2 综上所述:Sn=? 5 1 ?2n-2 ?

?n为偶数?, ?n为奇数?.

6.(12 分)某少数民族的刺绣有着悠久的历史,如图(1)、(2)、(3)、(4)为她们刺绣最简单的四 个图案,这些图案都是由小正方形构成,小正方形数越多刺绣越漂亮.现按同样的规律刺绣 (小正方形的摆放规律相同),设第 n 个图形包含 f(n)个小正方形.

(1)求出 f(5)的值; ( 2)利用合情推理的“归纳推理思想”,归纳出 f(n+1)与 f(n)之间的关系式,并根据你得到 的关系式求出 f(n)的表达式; (3)求 1 1 1 1 + + +?+ 的值. f?1? f?2?-1 f?3?-1 f?n?-1



(1)f(5)=41.

(2)因为 f(2)-f(1)=4=4×1, f(3)-f(2)=8=4×2, f(4)-f(3)=12=4×3, f(5)-f(4)=16=4×4, ??
[来源:学科网 ZXXK]

由上式规律,所以得出 f(n+1)-f(n)=4n.
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因为 f(n+1)-f(n)=4n?f(n+1)=f(n)+4n? f(n)=f(n-1)+4(n-1) =f(n-2)+4(n-1)+4(n-2) =f(n-3)+4(n-1)+4(n-2)+4(n-3) =? =f(1)+4(n-1)+4(n-2)+4(n-3)+?+4 =2n2-2n+1. (3)当 n≥2 时, ∴ 1? 1 1 1? 1 = =2?n-1-n?. f?n?-1 2n?n-1? ? ?

1 1 1 1 1 + + +?+ =1+2× f?1? f?2?-1 f?3?-1 f?n?-1

1 1 1 1 1 1 1? ? ?1-2+2-3+3-4+?+n-1-n? ? ? 1? 3 1 1? ? =1+2?1-n?=2-2n. ?

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