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9.1平面、空间两直线



9.1

平面、空间两条直线

【教学目标】

1.掌握平面基本性质的三条公理及公理3的三 条推论,能运用它们证明空间的共点、共线、 共面问题. 2.了解空间两条直线的位置关系,掌握两条直 线平行与垂直的判定和性质. 3.掌握两条直线所成的角和距离的概念(对于 异面直线的距离,只要求会利用给出的公垂线 计算距离).

【知识梳理】 名称
公理 1

1.平面的基本性质 内容

作 用 判定直线在 平面内的 依据 两个平面相 交的依据

如果一条直线的两点在一个平面内,那么这 条直线上的所有点都在这个平面内

公理 2 公理 3
推论 1 推论 2 推论 3

如果两个平面有一个公共点,那么它们还有其 他公共点,且所有这些公共点的集合是一条过 这个公共点的直线 经过不在同一条直线上的三点,有且只有一 个平面
经过一条直线和直线外的一点有且只有一个 平面 经过两条相交直线有且只有一个平面 经过两条平行直线有且只有一个平面

确定一个平 面的依据

【知识梳理】

2.. 空间两条直线的位置关系

位置关 系 相 交 两 直 线 共 平行 面





表示方法

公共点个数 一个

α

Ab a b

a

a ?b ? A
a∥b 没有

异面
α

A b

a、b是异面 直线

没有

【知识梳理】

3. 异面直线(不同在任何一个平面内的两条直线) 画法: b

a

b

b
异面直线判定:

a

a

①用定义(多用反证法);

②判定定理:平面内一点和平面外一点的连线与平 面内不经过该点的直线是异面直线。

【知识梳理】

3. 异面直线(不同在任何一个平面内的两条直线)
异面直线所成的角: 过空间的任一点与这两条异面直线平行的两直线所成 锐角(或直角)。θ ∈(0,π /2];若两条异面直线所 成角是直角,则称两异面直线垂直。

异面直线的公垂线及距离: (1)和两条异面直线都垂直相交的直线叫异面直线的 公垂线(公垂线存在且唯一)
(2)公垂线段:公垂线夹在异面直线之间的部分 (3)异面直线间的距离 (即公垂线段的长)

【知识梳理】

异面直线的公垂线及距离: 注:①若一个平面过一条直线并与另一条直线平行, 则这直线与平面的距离就等于异面直线间的距离。 ②若两个平行平面分别过两条异面直线则两平行平面 的距离等于两异面直线间的距离。 4.等角定理: 一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相 同,那么这两个角相等。 推论:两条相交直线分别与另外两条直线平行,那么 这两组直线所成的锐角(或直角)相等 。
5.平行公理:公理4:平行于同一条直线的两条直线互 相平行。

【点击双基】 1、若a、b是异面直线,则只需具备的条件是( C ) A.a?平面α ,b?平面β ,a与b不平行

B. a?平面α ,b ?平面β ,α ?β =? ,a与b不公共点
C.a∥直线c,b?c=A ,b与a不相交 D.a⊥平面α ,b是α 的一条直线 2、如图,直线 a、b 相交与点 O 且 a、b 成 60 0 ,过点 O 与 a、b 都成 60 0 角的直 线有( C ) A.1 条 B.2条 C.3条 D.4条
O 6 0 °

a

b

【点击双基】 3. ( 2004 年北京朝阳区模拟题)如下图,正四面体 S— ABC中,D为SC的中点,则BD与SA所成角的余弦值是 S 3 2 3 B. 2 C A. C. D. 6 6 3 3 D
E

A

C B

【点击双基】 4、如图,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a,那么 (1) 哪些棱所长的直线与直线BA1成异面直线? 。

(2) 直线BA1与CC1所成角的大小为
(3) 直线BA1与B1C所成角的大小为 (4) 异面直线BC与AA1的距离为
A1 (5) 异面直线BA1与CC1的距离为


。 。
D1 B1

C1


D

C B

A

【点击双基】

5.(2002年全国)正六棱柱ABCDEF—A1B1C1D1E1F1 的底面边长为1,侧棱长为 2,则这个棱柱的侧面对 角线E1D与BC1所成的角是_____________.

【典例剖析】 例1.如图,平面???相交于直线a,平面?,?相交于直线 b,平面???相交于直线c,已知a与b不平行。

求证:a,b,c三条直线必过同点
?

b

?

c

P

a

?
[说明]欲证三线共点,可证其中两条直线有交点, 且该交点在第三条直线上

【典例剖析】 变式一:(教材例1)如下图,四面体ABCD中,E、 G分别为BC、AB的中点,F在CD上,H在AD上,且 有DF∶FC=2∶3,DH∶HA=2∶3. 求证:EF、GH、BD交于一点.
A

G

H D O

B E C F

评述:证明线共点,常采用证两直线的交点在第三条直 线上的方法,而第三条直线又往往是两平面的交线.

【典例剖析】 变式二:平面???相交于直线a,平面?,?相交于直线b, 平面???相交于直线c,若a与b平行。则a,b,c三条直 线还过同一点吗? 不,平行

【典例剖析】 例2.三个不同平面可能把空间分成几部分?

解: ? 1 ? 四部分(互 相平行) ? 2 ? 六部分 ( 两 种 情 况 ) ? 3 ? 七部分 ? 4 ? 八部 分 变式一:长方体的各个面将空间分成几个部分? 27

变式二、四面体的各个面将空间分成几个部分? 15

【典例剖析】 例 3.( 教材例 2)A 是 ? BCD 平面外一点, E、F 分别是 BC、 AD的中点, (1)求证:EF与BD是异面直线; (2)若AC?BD,AC=BD,求EF与BD所成的角。
A F B E C G D

【典例剖析】 例 4.( 教材例 3) 长方体 ABCD-A1B1C1D1 中,已知 AB=a, BC=b,AA1=c,且a>b,求: (1) 下列异面直线之间的距离: AB 与 CC1;AB 与 A1C1; AB与B1C。

(2)异面直线D1B与AC所成角的余弦值。
D1 A1 C1

F D

B1 E C O B

A

D 1 A 1 D A B

C 1

B 1

C

G

【【知识方法总结】 】 1. 证明共面问题的主要方法有:①先由公理3或其 推论证明某些元素确定一个平面,再证其余元 素都在此平面内; ② 指出给定的元素中的某些 元素在平面内,某些元素(与前述元素有公共元 素,但两部分必须包括所有元素 )在平面内,再 通过公共元素来证明与重合; 2.求异面直线所成的角,常用平移转化法 , 即平移 一条(或两条)作出夹角,再解三角形; 当用上述 方法烦琐或无法平移时 , 可考虑两条异面直线 是否垂直; 3.求两条异面直线间距离主要利用公垂线.



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