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高等数学-第七版-课件-10-7 三重积分习题课


第七讲 三重积分习题课

三重积分习题课
一、内容提要
二、题型练习

三重积分习题课
一、内容提要
二、题型练习

?概念 ?背景 ?性质 ?计算
画出区域 草图(或部分)

f (? ,? , ? )?v ? ??? f ( x, y, z)dv ? lim ?
? ?0 i ?1 i i i

n

i

不均匀物体的质量
线性 可加性 物理意义 不等式 估值 中值

选择 坐标系
一 般 情 况

选择 积分次序

确定 积分限 投影、发射 投影、切割

计算 累次积分

分析 被积函数

先一后二
直角坐标系 先二后一
三变、一勿忘

特 殊 情 况

柱坐标系 球坐标系

先z后ρ再θ 先 r后 φ 再 θ

投影、发射 观察、想象

三重积分习题课
一、内容提要
二、题型练习

三重积分习题课
一、内容提要
二、题型练习

二、题型练习
(一)简化计算 (二)直角坐标系下的计算 (三)柱坐标与球坐标系下的计算

(四)证明题

二、题型练习
(一)简化计算 (二)直角坐标系下的计算 (三)柱坐标与球坐标系下的计算

(四)证明题

?Ω关于坐标面对称 关于xoy面对称

??? f ( x, y, z )dv ?
?

0

f ( x , y, z ) ? ? f ( x, y, ? z )

2??? f ( x , y, z )dv f ( x, y, ? z ) ? f ( x , y, z )
?1

关于yoz,xoz面对称类似 ?例1
z ln(2 ? x 2 ? y 2 ? z 2 ) dv 2 2 2 ??? 2? x ? y ? z ?
2 ( x ? y ? z ? 1) dv ??? ?

? : x2 ? y2 ? z2 ? 1 ? : x 2 ? y 2 ? z 2 ? R2

?例2 ?补1
?例3

??? ( xy ? xz ? yz )dv
?

? : x 2 ? y 2 ? 2az , x 2 ? y 2 ? z 2 ? 3a 2

? y sin z ? ? 1 ? x 2 ? 1 ? dv ??? ? ? ?

? : ?1 ? x ? 1,0 ? y ? 2,0 ? z ? ?

二、题型练习
(一)简化计算 (二)直角坐标系下的计算 (三)柱坐标与球坐标系下的计算

(四)证明题

二、题型练习
(一)简化计算 (二)直角坐标系下的计算 (三)柱坐标与球坐标系下的计算

(四)证明题

先一后二法 z

y sin x ?例4 计算三重积分 ??? dv , ? x ? 其中? 为 y ? 0, z ? 0, y ? x , x ? z ? 2 π π 围成的介于 x ? 及 x ? 之间的部分. 4 2
x

o

y

先一后二法 z

y sin x ?例4 计算三重积分 ??? dv , ? x ? 其中? 为 y ? 0, z ? 0, y ? x , x ? z ? 2 π π 围成的介于 x ? 及 x ? 之间的部分. 4 2
?例5 计算三重积分 ??? y 1 ? x dv , ?
2

o x z

y

?: y ? ? 1 ? x ? z , x ? z ? 1, y ? 1.
2 2 2 2

O

y

x

先二后一法

?例6 计算三重积分??? ? ( x ? y ? z )dv , 其中?为 x 2 ? y 2 ? z , 1 ? z ? 4围成的区

z

O

域.

y

x

先二后一法

?例6 计算三重积分??? ? ( x ? y ? z )dv ,
其中? 为 x 2 ? y 2 ? z , 1 ? z ? 4 围成的

z

区域. ?补2
?例7 ?补3

O

y

x

???

?

e z dv ,
2

? : x2 ? y2 ? z2 ? 1
2 2

??? ? x
? ?

? y ? z ? dv ,
2

x2 y2 z2 ?: 2 ? 2 ? 2 ?1 a b c x2 y2 z2 ?: 2 ? 2 ? 2 ?1 a b c

??? ? x ? y ? z ?

dv ,

二、题型练习
(一)简化计算 (二)直角坐标系下的计算 (三)柱坐标与球坐标系下的计算

(四)证明题

二、题型练习
(一)简化计算 (二)直角坐标系下的计算 (三)柱坐标与球坐标系下的计算

(四)证明题

?例8

???

z
?

zd v ,

?: x 2 ? y 2 ? z 2 ? 4, z ?

1 2 x ? y2 ? ? 3
x

O

y

?例8

??? ???

z
?

zd v ,

?: x 2 ? y 2 ? z 2 ? 4, z ? ?例9
?

1 2 x ? y2 ? ? 3
x

2 2 x ? y ? z ? dv , ?

O

y

? y2 ? 2 x 绕z轴旋转形成的曲面 ?: 由曲线 ? ? x?0 与平面z=4围成的立体.
?例10

z

???

?

zd v ,
O

? : x 2 ? y 2 ? z 2 ? 1 x 2 ? y 2 ? z 2 ? 16
和 z ? x 2 ? y 2 围成. x

y

?例8

??? ???

z
?

zd v ,

?: x 2 ? y 2 ? z 2 ? 4, z ? ?例9
?

1 2 x ? y2 ? ? 3
x

2 2 x ? y ? z ? dv , ?

O

y

? y2 ? 2 x 绕z轴旋转形成的曲面 ?: 由曲线 ? ? x?0 与平面z=4围成的立体.
?例10

z

???

?

zd v ,
O

? : x 2 ? y 2 ? z 2 ? 1 x 2 ? y 2 ? z 2 ? 16
和 z ? x 2 ? y 2 围成.

y

x

?例11 将 ??? f ( y , z )dv ,
?

z

化为球坐标系下的三次积分

? : x2 ? y2 ? z ? 1 ? x2 ? y2

y x
O

0 ? x ? y ? 3 x.
?例12 将 ??? f ( x 2 ? y 2 ? z 2 )dv ,
?

z

化为球坐标系下的三次积分

? : z ? x 2 ? y 2 , x ? y, x ? 1

O

y

y ? 0, z ? 0 围成.

x

二、题型练习
(一)简化计算 (二)直角坐标系下的计算 (三)柱坐标与球坐标系下的计算

(四)证明题

二、题型练习
(一)简化计算 (二)直角坐标系下的计算 (三)柱坐标与球坐标系下的计算

(四)证明题

?例13 若 F ( t ) ? ??? f ( x 2 ? y 2 ? z 2 )dv , ? : x 2 ? y 2 ? z 2 ? t 2 , ? 求 F ?( t ). ?补4 若 F (t ) ? ??? 求 F ?( t ). ?例14 设 f ( x ) ? C[?1,1], 证明:??? f ( x )dv ? π? f ( x )(1 ? x 2 )dx . ?1
? 1

?

?

z 2 ? f ? x 2 ? y 2 ? dv , ? : 0 ? z ? h, x 2 ? y 2 ? t 2 ,

?



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