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轨迹方程


练习 1 例 4:如图,设点 A, B坐标分别为 (?5,0), (5,0).直线AM , BM 4 相交于点M,且它们的斜率之积是 ? ,求点M的轨迹方程。 9 解:设点M的坐标为 ( x, y),因为点A的坐标是(?5,0),

所以,直线 AM 的斜率 k AM

y ? ( x ? ?5); x?5

y 直线 BM 的斜率 k BM ? ( x ? 5); x ?5 y y 4 A 由已知有 ? ?? , ( x ? ?5); x ?5 x ?5 9 x2 y2 化简得点M的轨迹方程为 ? ? 1, ( x ? ?5) 25 100 9

yM O

Bx

练习2 点M(x, y)与定点F(4,0)的距离 25 4 和它到定直线 l:x ? 的距离的比是常数 , 4 5 求点M的轨迹。
解:依题意得

2 ? y2 (x ? 4)
25 ?x 4

4 ? 5

将上式两边平方,并化 简,得 9 x 2 ? 25y 2 ? 225, x2 y2 即 ? ?1 25 9 所以,点 M的轨迹是焦点在 x轴, a ? 5, b ? 3的椭圆。

2 2 x ? y ? 4 上任取一 P34例1 、如下图,在圆 点P,过点P作x轴的垂线段PP′, P′为垂足。当 点P在圆上运动时,线段PP′的中点M的轨迹是 什么? 解:设M(x,y)、P(x0,y0)

y0 则 x ? x0 , y ? 2 2 2 ? x0 ? y0 ? 4
2

将x0=x,y0=2y代入上式即可得:

x 2 2 2 ? ? y ?1 x +4y =4, 4
∴点M的轨迹是一个椭圆。

点评:本题要求点M的轨迹,但题中并未直接 给出M点所满足的条件,而是给出了与它相关 的点P的条件,由P点的运动来确定M点的运动, 求这类轨迹方程的基本思路是设P(x0,y0)、 M(x,y),建立x、y与x0、y0的关系,将(x0,y0) 代入P点所满足的等式即可。 这种方法一般称为“中间变量法”(或相关 点法、代换法),这是求曲线方程的一种常用方 法,要求掌握.

变式训练

已知圆x ? y ? 9, 从这个圆上任意一点 P向x轴
2 2

作垂线段PP , P 为垂足。点M在PP 上,并且 PM ? 2MP , 求点M的轨迹。
/
2

/

/

/

x 2 ? ? y ?1 9

课后作业:P36 练习4 课后练习:P43 B组1,2


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