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2012届高考数学第一轮专题复习测试卷第六讲 函数的单调性与最大(小)值


第六讲
括号内.)

函数的单调性与最大(小)值

一、选择题:(本大题共 6 小题,每小题 6 分,共 36 分,将正确答案的代号填在题后的

1.下列函数中,在区间(0,+∞)上不是增函数的是( A.y=2x+1 2 C.y= x B.y=3x2+1 D.y=|x|

)

解析:由函数单调性定义知选 C. 答案:C 2.定义在 R 上的偶函数 f(x)的部分图象如图所示,则在(-2,0)上,下列函数中与 f(x) 的单调性不同的是( )

A.y=x2+1 B.y=|x|+1
? ?2x+1,x≥0, C.y=? 3 ?x +1,x<0 ? ?ex,x≥0, ? D.y=? -x ?e ,x<0 ?

解析:利用偶函数的对称性知 f(x)在(-2,0)上为减函数.又 y=x2+1 在(-2,0)上为减函
? ?2x+1,x≥0, 数; y = |x| + 1 在 ( - 2,0) 上为减函数; y = ? 3 在 ( - 2,0) 上为增函数, y = ?x +1,x<0 ?
x ? ?e ,x≥0, ? -x 在(-2,0)上为减函数.故选 C. ?e ,x<0 ?

答案:C 3.(2010· 北京)给定函数①y=x2;②y=log1(x+1);③y=|x-1|;④y=2x 1,其中在区


1

2

间(0,1)上单调递减的函数的序号是( A.①② B.②③ C.③④ D.①④

)

解析:①是幂函数,其在(0,+∞)上为增函数,故此项不符合题意;②中的函数是由

函数 y=log1x 向左平移 1 个单位而得到的,因原函数在(0,+∞)上为减函数,故此项符合
2

题意;③中的函数图象是函数 y=x-1 的图象保留 x 轴上方的部分,下方的图象翻折到 x 轴 上方而得到的,由其图象可知函数符合题意;④中的函数为指数函数,其底数大于 1,故其 在 R 上单调递增,不符合题意,综上可知选择 B. 答案:B
?x2+4x,x≥0, ? 4.已知函数 f(x)=? 若 f(2-a2)>f(a),则实数 a 的取值范围是( 2 ? 4 x - x , x <0. ?

)

A.(-∞,-1)∪(2,+∞) B.(-1,2) C.(-2,1) D.(-∞,-2)∪(1,+∞)
2 2 ? ?x +4x=(x+2) -4,x≥0, 解析:f(x)=? 由 f(x)的图象可知 f(x)在(-∞,+∞)上是 2 2 ?4x-x =-(x-2) +4,x<0, ?

单调递增函数,由 f(2-a2)>f(a)得 2-a2>a,即 a2+a-2<0,解得-2<a<1.故选 C. 答案:C 5.(2010· 抚顺六校第二次模拟)f(x)= a (x>1) ? ? ?? a? 是 R 上的单调递增函数,则实数 a 的取值范围为( ??4-2?x+2 (x≤1) ? A.(1,+∞) C.(4,8) B.[4,8) D.(1,8) a>1,
x

)

? ?4-a>0, 解析:因为 f(x)是 R 上的单调递增函数,所以可得? 2 a ? ?a≥4-2+2.
B. 答案:B

解得 4≤a<8,故选

6.定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(-x)=-f(x+4),当 x>2 时,f(x)单调递增,如果 x1+ x2<4,且(x1-2)(x2-2)<0,则 f(x1)+f(x2)的值( A.恒小于 0 B.恒大于 0 C.可能为 0 D.可正可负 解析:因为(x1-2)(x2-2)<0,若 x1<x2,则有 x1<2<x2,即 2<x2<4-x1,又当 x>2 时,f(x) 单调递增且 f(-x)=-f(x+4),所以有 f(x2)<f(4-x1)=-f(x1),f(x1)+f(x2)<0;若 x2<x1,同理 有 f(x1)+f(x2)<0,故选 A. )

答案:A 二、 填空题: (本大题共 4 小题, 每小题 6 分, 共 24 分, 把正确答案填在题后的横线上. ) 7 . 若函数 f(x) = |logax|(0<a<1) 在区间 (a,3a- 1) 上单调递减,则实数 a 的取值范围是 ________. 解析:由于 f(x)=|logax|在(0,1]上递减,在(1,+∞)上递增,所以 0<a<3a-1≤1,解得 1 2 <a≤ ,此即为 a 的取值范围. 2 3 1 2 答案: <a≤ 2 3 8.函数 f(x)=ax+loga(x+1)在[0,1]上的最大值与最小值的和为 a,则 a=________. 解析:先判断函数的单调性,然后利用单调性可得最值.由于 a 是底数,要注意分情况 讨论. 若 a>1,则 f(x)为增函数,所以 f(x)max=a+loga2,f(x)min=1,依题意得 a+loga2+1=a, 1 即 loga2=-1,解得 a= (舍去). 2 若 0<a<1,则 f(x)为减函数,所以 f(x)min=a+loga2,f(x)max=1,依题意得 a+loga2+1 1 1 =a,于是 a= ,故填 . 2 2 1 答案: 2 9.已知定义在区间[0,1]上的函数 y=f(x)的图象如图所示,对于满足 0<x1<x2<1 的任意 x1、x2,给出下列结论:

①f(x2)-f(x1)>x2-x1; ②x2f(x1)>x1f(x2); ③ f(x1)+f(x2) ?x1+x2? <f 2 ? 2 ?.

其中正确结论的序号是________.(把所有正确结论的序号都填上) f(x2)-f(x1) 解析:由 f(x2)-f(x1)>x2-x1,可得 >1,即两点(x1,f(x1))与(x2,f(x2))连线的斜 x2-x1 率大于 1,显然①不正确;由 x2f(x1)>x1f(x2)得 f(x1) f(x2) > ,即表示两点(x1,f(x1))、(x2,f(x2)) x1 x2

与原点连线的斜率的大小,可以看出结论②正确;结合函数图象,容易判断③的结论是正确 的. 答案:②③ 10.已知函数 f(x)= 3-ax (a≠1). a-1

(1)若 a>0,则 f(x)的定义域是________; (2)若 f(x)在区间(0,1]上是减函数,则实数 a 的取值范围是________. 3? 3 解析: (1)当 a>0 且 a≠1 时, 由 3-ax≥0 得 x≤ , 即此时函数 f(x)的定义域是? ?-∞,a?; a (2)当 a-1>0,即 a>1 时,要使 f(x)在(0,1]上是减函数,则需 3-a×1≥0,此时 1<a≤3. 当 a-1<0,即 a<1 时,要使 f(x)在(0,1]上是减函数,则需-a>0,此时 a<0.综上所述, 所求实数 a 的取值范围是(-∞,0)∪(1,3]. 3? 答案:(1)? ?-∞,a? (2)(-∞,0)∪(1,3]

三、解答题:(本大题共 3 小题,11、12 题 13 分,13 题 14 分,写出证明过程或推演步 骤.) ax+1 11.函数 f(x)= 在区间(-2,+∞)上是递增的,求实数 a 的取值范围. x+2 ax+1 a(x+2)+1-2a 1-2a 解:f(x)= = = +a. x+2 x+2 x+2 任取 x1,x2∈(-2,+∞),且 x1<x2, 则 f(x1)-f(x2)= = 1-2a 1-2a - x1+2 x2+2

(1-2a)(x2-x1) . (x1+2)(x2+2)

ax+1 ∵函数 f(x)= 在区间(-2,+∞)上为增函数, x+2 ∴f(x1)-f(x2)<0. ∵x2-x1>0,x1+2>0,x2+2>0, 1 ∴1-2a<0,a> . 2 1 ? 即实数 a 的取值范围是? ?2,+∞?. 评析: 对于函数单调性的理解, 应从文字语言、 图形语言和符号语言三个方面进行辨析, 做好定性刻画、图形刻画和定量刻画.逆用函数单调性的定义,根据 x1-x2 与 f(x1)-f(x2)是 同号还是异号构造不等式,通过分离参数来求其取值范围. 12.已知函数 f(x)对于任意 x,y∈R,总有 f(x)+f(y)=f(x+y),且当 x>0 时,f(x)<0,f(1)

2 =- . 3 (1)求证:f(x)在 R 上是减函数; (2)求 f(x)在[-3,3]上的最大值和最小值. 解:(1)解法一:∵函数 f(x)对于任意 x,y∈R 总有 f(x)+f(y)=f(x+y), ∴令 x=y=0,得 f(0)=0. 再令 y=-x,得 f(-x)=-f(x). 在 R 上任取 x1>x2,则 x1-x2>0, f(x1)-f(x2)=f(x1)+f(-x2) =f(x1-x2). 又∵x>0 时,f(x)<0,而 x1-x2>0, ∴f(x1-x2)<0, 即 f(x1)<f(x2). 因此 f(x)在 R 上是减函数. 解法二:设 x1>x2, 则 f(x1)-f(x2) =f(x1-x2+x2)-f(x2) =f(x1-x2)+f(x2)-f(x2) =f(x1-x2). 又∵x>0 时,f(x)<0,而 x1-x2>0, ∴f(x1-x2)<0, 即 f(x1)<f(x2), ∴f(x)在 R 上为减函数. (2)∵f(x)在 R 上是减函数, ∴f(x)在[-3,3]上也是减函数, ∴f(x)在[-3,3]上的最大值和最小值分别为 f(-3)与 f(3). 而 f(3)=3f(1)=-2,f(-3)=-f(3)=2. ∴f(x)在[-3,3]上的最大值为 2,最小值为-2. 13. 已知定义域为[0,1]的函数 f(x)同时满足: ①对于任意的 x∈[0,1], 总有 f(x)≥0; ②f(1) =1;③若 x1≥0,x2≥0,x1+x2≤1,则有 f(x1+x2)≥f(x1)+f(x2). (1)求 f(0)的值; (2)求 f(x)的最大值; (3)若对于任意 x∈[0,1),总有 4f2(x)-4(2-a)f(x)+5-4a≥0,求实数 a 的取值范围. 解:(1)对于条件③,令 x1=x2=0 得 f(0)≤0,

又由条件①知 f(0)≥0,故 f(0)=0. (2)设 0≤x1<x2≤1,则 x2-x1∈(0,1), ∴f(x2)-f(x1)=f[(x2-x1)+x1]-f(x1)≥f(x2-x1)+f(x1)-f(x1)=f(x2-x1)≥0. 即 f(x2)≥f(x1),故 f(x)在[0,1]上递增,从而 f(x)的最大值是 f(1)=1. (3) 因 f(x) 在 [0,1] 上 是增函 数 ,则 f(x)∈[0,1] ,又 4f2(x) - 4(2 - a)f(x) + 5 - 4a≥0 ? 4f2(x)-8f(x)+5 a≤ 对 x∈[0,1)恒成立, 4-4f(x) 4f2(x)-8f(x)+5 设 y= 4-4f(x) =1-f(x)+ 则 a≤1. 1 ≥1, 4[1-f(x)]

第一讲

集合与集合的运算 考号________ 日期

班级________ 姓名________ ________
内.)

得分________

一?选择题:(本大题共 6 小题,每小题 6 分,共 36 分,将正确答案的代号填在题后的括号

1.(2010·天津)设集合 A={x||x-a|<1,x∈R},B={x|1<x<5,x∈R}.若 的取值范围是( ) B.{a|a≤2,或 a≥4}[来源:学.科.网] D.{a|2≤a≤4}

则实数 a

A.{a|0≤a≤6} C.{a|a≤0,或 a≥6}

解析 :由于不等式|x-a|<1 的解是 a-1<x<a+1,当 A∩B= ? 时,只要 a+1≤1 或 a-1≥5 即 可,即 a≤0 或 a≥6,选 C. 答案:C

? 1? A ? ? x | log 1 x≥ ? , 则?R A ? 2.(2010·安徽)若集合 2? ? 2

?

? A.(??, 0] ? ? ? ? ? C.(??, 0] ? ? ?

? 2 , ?? ? ? 2 ? ? 2 , ?? ? ? 2 ?

? B. ? ? ? ? D. ? ?

? 2 , ?? ? ? 2 ? ? 2 , ?? ? ? 2 ?

?x ? 0 ? 1 1 解析 : 不等式log 1 x≥ ? ? 2 ? 1 1 ? ? 2 log x ≥ log 2 ? 1 ? ? 2 ? 2 ?2? ?x ? 0 ? 2 ? 2 ? , ?? ? ? 2 ? 0 ? x≤ 2 , 所以?R A ? (??, 0] ? ? ? 2 ?. ? ? ? x≤ ? 2
答案:A 3.已知 M={x|x=a +2a+4,a∈Z},N={y|y=b -4b+6,b∈Z},则 M?N 之间的关系是( A.M?N B.N?M C.M=N D.M 与 N 之间没有包含关系 解析:取 a=0,则 4∈M,但 4 ? N,若不然,有 b -4b+6=4,b ? Z.又取 b=0,6∈N,但 6 ? M.
2 2 2

)

答案:D 4.设全集为 U,若命题 p:2010∈A∩B,则命题 A.2010∈A∪B

? p 是(

)

B.2010 ? A 且 2010 ? B

?U
解析:命题 答案:D

?U

?U

? UB)

?p 是

? U(A∩B),即 2010∈( ? U

? UB).

评析:本题考查集合的运算及非命题的概念,要求对于集合中的运算性质

? U(A∩B)=( ? U
2

? UB)与

? U(A∪B)=(
2

? UA)∩( ? UB)能够加强联想与发散.
2 2

5.已知集合 P={y=x +1},Q={y|y=x +1},S={x|y=x +1},M={(x,y)|y=x +1},N={x|x≥1}, 则( ) A.P=M C.S=M B.Q=S D.Q=N

解析:集合 P 是用列举法表示,只含有一个元素,集合 Q,S,N 中的元素全是数,即这三个集 合都是数集,集合 Q 是函数 y=x +1 中 y 的取值范围{y|y≥1},集合 S 是函数 y=x +1 中 x 的取 值范围 R;集合 N 是不等式的解集{x|x≥1},而集合 M 的元素是平面上的点,此集合是函数 y=x +1 图象上所有的点组成的集合.选 D. 答案:D 评析:解集合问题时,对集合元素的准确性识别十分重要,不要被 x,y 等字母所迷惑,要 学会透过现象看本质. 6.定义集合 M 与 N 的新运算如下:M*N={x|x∈M 或 x∈N,但 x M={0,2,4,6,8,10,12},N={0,3, 6,9,12,15},则(M*N)*M 等于( A.M C.N B.{2,3,4,8,9,10,15} D.{0,6,12} ) 若
2 2 2

解析:因为 M∩N={0,6,12},所以 M*N={2,3,4,8 ,9 ,10,15},所以 (M*N)*M={0,3,6,9,12,15}=N,故选 C. 答案:C 评析:本题给出了新运算“*”的定义,并要求求(M*N)*M 的解,解决这类信息迁移题的 基本方法是以旧代新法,把新定义的运算“*”纳入到已有的集合交?并?补的运算体系之中, 并用已有的解题方法来分析?解决新的问题.另外此题还可以用 Venn 图来分析求解.[来 源:Z#xx#k.Com] 二?填空题:(本大题共 4 小题,每小题 6 分,共 24 分,把正确答案填在题后的横线上.)[来 源:Zxxk.Com] 7.(2010·重庆)设 U={0,1,2,3},A={x∈U|x +mx=0},若
2

? UA={1,2},则实数

m=________.[来源:学,科,网][来源:学§科§网 Z§X§X§K] 解析:依题意得 A={0,3},因此有 0+3=-m,m=-3. 答案:-3 8.已知 A={x|x>3 或 x<-1},B={x|a≤x≤b}.若 A∪B=R,A ∩B={x|3<x≤4},则 a,b 的值分 别为________. 解析:画出数轴可知 a=-1,b=4. 答案:-1,4[来源:学科网 ZXXK] 9.已知 U={实数对(x ,y)},A={(x,y)|lg(y-4)-lg(x-2)=lg3},B={(x,y)|3x-y-2=0},则 瘙 綂

[

KG-1mm]UA∩B=________.

解析:容易错解为:由 lg(y-4)-lg(x-2)=lg3,得 y=3x-2,故 A=B,则

? UA∩B= ? .

上 述解答的错因是将条件进行了非等价变形而扩大了变量的取值范围.实际上,由 lg(y-4)-lg(x-2)=lg3,得 y=3x-2(x>2),[来源:学科网] ∴A={(x,y)|lg(y-4)-lg(x-2)=lg3}={(x,y)|y=3x-2(x>2)},

? UA ={(x,y)|y=3x-2(x≤2)}.
答案

? UA∩B={(x,y)|y=3x-2(x≤2)}

10.已知集合 A?B 与集合 A⊙B 的对应关系如下表: A B {1,2,3,4,5} {2,4,6,8} {-1,0,1} {-2,-1,0,1}[来 源:Zxxk.Com] A⊙B {1,3,6,5,8} {-2} {-2,0,2,8} {-4,8} {-4,-2,0,2}

若 A={-2009,0,2010},B={-2009,0,2011},试根据图表中的规律写出 A⊙B=__________. 解析:通过对表中集合关系的分析可以发现:集合 A⊙B 中的元素是 A∪B 中的元素再去掉 A∩B 中的元素组成,故当 A={-2009,0,2010},B={-2009,0,2011}时,A⊙B={2010,2011}. 答案:{2010,2011} 三?解答题:(本大题共 3 小题,11?12 题 13 分 ,13 题 14 分,写出证明过程或推演步骤.) 11.规定 与 是两个运算符号,其运算法则如下:对任意实数 a,b 有
2

+b +1)且-2<a<b<2,a,b∈Z.用列举法表示集合

2

a ?b? ? A ? ? x | x ? 2(a ? b) ? ?. b ? ?
解:根据 运算法则有[来源:学科网]

x ? 2(a ? b) ?

a?b b
2

? 2ab ? a 2 ? b 2 ? 1 ? ? a ? b ? ? 1. 当a ? ?1时, b ? 0或b ? 1.因为在 a?b 中, b b为分母, 故b ? 0不符合题意, 舍去.

当 a=0 时,b=1. 把 a=-1,b=1 或 a=0,b=1 代入 x=(a+b) +1 得 x=1 或 x=2.故 A={1,2}. 12.已知集合 A={2,x,x ,xy},集合 B={2,1,y,x},是否存在实数 x,y 使 A=B?若存在,试求
2 2

x,y 的值;若不存在,说明理由. 解:假设存在实数 x,y 使 A=B,若 x=1,则集合 A,B 中出现 2 个 1,这与集合中元素的互异 性矛盾,所以必有

? x2 ? y, ? x2 ? 1, 或? ? ? xy ? 1, ? xy ? y.
(1)由 x =y 且 xy=1,解得 x=y=1,与集合中元素的互异性矛盾.[来源:学&科&网 Z&X&X&K] (2)由 x =1 且 xy=y,解得 x=1,y∈R(舍去)或 x=-1,y=0.经检验 x=-1,y=0 适合题意. 13.已知两集合 A={x|x=t +(a+1)t+b},B={x|x=-t -(a-1)t-b},求常数 a、b,使 A∩B={x|-1≤x≤2}.
2 2 2 2

? ? 4b ? (a ? 1) 2 ? 4b ? (a ? 1) 2 ? 解 : A ? ? x | x≥ , B ? x | x ≤ ? ? ?, 4 4(?1) ? ? ? ? A ? B ? ?x | ?1≤x≤2? , ? 4b ? (a ? 1)2 ? ?1 ? ? 4 ?? , 2 ? 4b ? (a ? 1) ? 2 ? ? ?4
解得 a=-1,b=-1.


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