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【反比例函数】 (2)



复习提问
下列函数中哪些是正比例函数?哪些是反比 例函数? 2x 1 2 ① y = 3x-1 ② y = 2x ③ y= x ④ y= 3
⑤ y = 3x ⑥ y=

1 x

2 ⑦ y = 3x

理一理
函数 表达式 正比例函数 y=kx(k≠0)( 特殊的一次函数) y ?

反比例函数
k 或y ? kx?1或xy ? k(k ? 0) x

y
图象 及象限

y
o x o k<0 x

y
0

y

x

0

x

k>0

k>0

k<0

当k>0时,y随x的增大而增大;
性质 当k<0时,y随x的增大而减小.

在每一个象限内: 当k>0时,y随x的增大而减小; 当k<0时,y随x的增大而增大.

填一填
2 1.函数 y ? 是 反比例 函数,其图象为双曲线 , x

其中k= 2 ,自变量x的取值范围为 x≠ 0 .
6 2.函数 y ? 的图象位于第一、三象限, x

在每一象限内,y的值随x的增大而 减小 , 当x>0时,y > 0,这部分图象位于第 一 象限.

2 ◆画反比例函数 y ? 的图象 x
x y … … -4 -2 -1 -0.5 -4 0.5 -0.5 -1 -2 4

1 2

2 1

4 0.5

… …

y

1、列表: 2、描点: 3、连线:

◆通过作图,你发现了反比 例函数的图象是什么?
[注意哟]:图象不会与x轴、y轴相交

-4 -3 -2 -1-1 0
-2

· · · ·· ·· · ·
2 y= x
1 2 3 4
-3
-4 -5

6 5 4 3 2 1 O

x

图象会和坐 标轴相交吗?

-6

反比例函数的图象既是轴对称图形又是中心对称图形。 有两条对称轴:直线y=x和 y=-x。对称中心是:原点
k y = — x y

y=-x
0
12

y=x

x

做一做(一)
1.已知△ABC的面积为12,则△ABC的高h 24 h? 与它的底边 a 的函数关系式为 a .

2.在某一电路中,保持电压U不变,电 流I(安培)与电阻R(欧姆)之间的关系 是:U=IR,当电阻R=5欧姆时,电流I=2 安培.则电流I(安培)是电阻R(欧姆) 的 反比例 函数,且I与R之间的函数

10 I? 关系式是 R .

1 ? 3m 3.如果反比例函数 y ? 的图象位于 x 1

第二、四象限,那么m的范围为 m> 3 .
由1-3m<0 得-3m<- 1

1 ∴ m> 3

k 4.已知反比例函数 y ? (k≠0) x

当x<0时,y随x的增大而减小, k>0

则一次函数y=kx-k的图象不经过第 二 象限. k>0 ,-k<0
y

o

x

5.(2011年哈尔滨) k 如图能表示y ? kx ? k和y ? (k ? 0) x A . 在同一坐标系中的大致图象的是 ____
y

y
O O

y

y x

x B

x

O

x

o

A

C

D

6.已知点A(-2,y1),B(-1,y2)

4 k y? 都在反比例函数 y ? 的图象上 , (k < 0) xx

则y1与y2的大小关系(从大到小)

< y2 yy1 > y2 1

.

7.已知点A(-2,y ),B(-1,y A(x1,y11 ),B(x 2)x1<0<x2 2,y2)且

4 k 都在反比例函数 y y ?? x(k<0) 的图象上, x

则y1与y2的大小关系(从大到小)

y1 >0>y2

.
A

y
y1

o

x2
x
B

x1

y2

面积性质(一)
k 设P(m, n)是双曲线 y ? (k ? 0)上任意一点 , 有 : x (1)过P作x轴的垂线 , 垂足为A, 则
S?OAP 1 1 1 ? ? OA ? AP ? | m | ? | n |? | k | 2 2 2

y P(m,n) y P(m,n) o A x

o

A

x

面积性质(二)
(2)过P分别作x轴,y轴的垂线,垂足分别为A、B,则

S矩形OAPB ? OA? AP ? m ? n ? k
y

y

B

P(m,n)
A

B

P(m,n) A

o

x

o

x

做一做(二)
2 1.如图,点P是反比例函数 y ? 图象上 x 的一点,PD⊥x轴于D.则△POD的面积
为 1 .
y

P (m,n)
o

D

x

k 2.如图, P是反比例函数 y ? 图像上的一点 ,由P分别 x 向x轴, y轴引垂线,阴影部分面积为 3, 则这个反比例 函数的解析式是____.

解:由性质(2)可得

S矩形APCO ?| k |,? | k |? 3.
又?图像在二 ,四象限,
P

y
C

? k ? ?3

3 ? 解析式为 y ? ? . x

A

o x

综合运用
8 已知如图 , 反比例函数y1 ? ? 与一次函数y2 ? ? x ? 2的图像 x 交于A, B两点.求(1) A, B两点的坐标 ; (2)?AOB的面积.(3)当x 为何值时,y1 ? y2或y1 ? y2?

8 ? ?y ? ? , 解 : (1)? x ? ? y ? ? x ? 2.
? x ? 4, ? x ? ?2, 解得? 或? ? y ? ?2; ? y ? 4.

y A
N M

O

B

x

? A(?2,4), B(4,?2).

(2)△AOB的面积 解:y2 ? ? x ? 2,当y ? 0时, x ? 2, M (2,0). y
? OM ? 2.
作AC ? x轴于C, BD ? x轴于D.
? AC ? 4, BD ? 2,
C O B A N M D

x

1 1 ? S ?OMB ? ? OM ? BD ? ? 2 ? 2 ? 2, 2 2 1 1 S ?OMA ? ? OM ? AC ? ? 2 ? 4 ? 4. 2 2

? S?AOB ? S?OMB ? S?OAM ? 2 ? 4 ? 6.

(3)当x为何值时, y1 ? y2或y1 ? y2?

解:

? A(?2,4), B(4,?2). (-2,4)A ?由图象可知:
y1

y
N M O

当-2<x<0或x>4时,y1>y2 当x<-2或0<x<4时,y1<y2

B(4,-2)
y2

x

小试牛刀 .(2010 年成都) 如图,已知一次函数y ? kx ? b的图象与反比例函数 8 y ? ? 的图象交于A, B两点, 且点A的横坐标和点B x 的纵坐标都是? 2.
求 : (1)一次函数的解析式 ; (2)?AOB的面积.
O B x y A

作 业
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