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2014届高三数学一轮复习 第八章 第八节 曲线与方程课件 理 新人教A版



第八节

曲线与方程

1.曲线与方程 一般地,在平面直角坐标系中,如果某曲线C上的点与 一个二元方程f(x,y)=0的实数解建立了如下关系: 这个方程的解 (1)曲线上点的坐标都是_______________. 曲线上的点 (2)以这个方程的解为坐标的点都是____________.那么 方程的曲线 这个方程叫做曲线的方程,这条曲线叫

做____________.

2.求动点轨迹方程的一般步骤

(1)建立适当的坐标系,用有序实数对(x,y)表示曲线上
任意一点M的坐标. (2)写出适合条件p的点M的集合P={M|p(M)}. f(x,y)=0 (3)用坐标表示条件p(M),列出方程_______________, 并化简. (4)说明以化简后的方程的解为坐标的点都在曲线上.

3.曲线的交点 设曲线C1的方程为F1(x,y)=0,曲线C2的方程为 方程组 F2(x,y)=0,则C1、C2的交点坐标即为__________
?F (x,y)=0 ? 1 ? ?F2(x,y)=0 ? _________________的实数解.

若此方程组________,则两曲线无交点. 无解

1.在“方程的曲线与曲线的方程”的定义中,若只满

足“曲线C上点的坐标都是方程F(x,y)=0的解”,那么这
个方程是该曲线的方程吗? 【提示】 不一定是.因为只满足“曲线C上点的坐标

都是方程F(x,y)=0的解”说明这条曲线可能只是方程所表 示曲线的一部分,而非整个方程的曲线.

2.动点的轨迹与轨迹方程含义相同吗?
【提示】 不同.前者为图形包括轨迹的形状、方程、

图形等几何特征,后者仅是指代数方程.

1.(人教A版教材习题改编)方程(2x+3y-1)( x-3 - 1)=0表示的曲线是( A.两条直线 C.两条线段 ) B.两条射线 D.一条直线和一条射线

【解析】

由(2x+3y-1)( x-3-1)=0,得

2x+3y-1=0或 x-3=1, ∴2x+3y-1=0或x=4(x≥3)表示一条直线和一条射 线.
【答案】 D

2.若M、N为两个定点,且|MN|=6,动点P满足 → → PM·PN=0,则P点的轨迹是( A.圆 B.椭圆 C.双曲线 D.抛物线 )

→ → 【解析】 ∵PM·PN=0,∴PM⊥PN, ∴点P的轨迹是以线段MN为直径的圆.
【答案】 A

1 1 3.(2013· 余姚模拟)已知点F( ,0),直线l:x=- , 4 4 点B是l上的动点.若过点B垂直于y轴的直线与线段BF的垂 直平分线交于点M,则点M的轨迹是( ) A.双曲线 B.椭圆 C.圆 D.抛物线
【解析】 知, 由已知:|MF|=|MB|,根据抛物线的定义

点M的轨迹是以点F为焦点,直线l为准线的抛物线.
【答案】 D

4.(2011· 北京高考)曲线C是平面内与两个定点F1(- 1,0)和F2(1,0)的距离的积等于常数a2(a>1)的点的轨 迹.给出下列三个结论: ①曲线C过坐标原点; ②曲线C关于坐标原点对称; 1 2 ③若点P在曲线C上,则△F1PF2的面积不大于 a . 2 其中,所有正确结论的序号是________.

【解析】 设动点M(x,y)是曲线C上任意一点. 依题意,曲线C的方程为 (x+1)2+y2 · (x-1)2+y2 =a2.∵a>1,故原点坐 标不满足曲线C的方程,故①错误. 以-x,-y分别代替曲线C的方程中的x、y,其方程 不变,故曲线C关于原点对称,即②正确. 1 因为S△F1PF2= |PF1|·|PF2|sin∠F1PF2 2 1 1 2 ≤ |PF1||PF2|≤ a . 2 2 1 2 ∴△F1PF2的面积不大于 a ,③正确. 2
【答案】 ②③

如图8-8-1所示,A(m, B(n,-

3 m)和

3 n)两点分别在射线OS,OT上

→ ·OB=-1,O为坐标原点, 移动,且OA → 2 → → → 动点P满足OP=OA+OB. (1)求mn的值; (2)求动点P的轨迹方程,并说明它表 示什么曲线?

→ → 【尝试解答】 (1)由OA·OB=(m, 3m)· (n,- 3n) =-2mn. 1 1 得-2mn=- ,∴mn= . 2 4 → → → (2)设P(x,y)(x>0),由OP=OA+OB, 得(x,y)=(m, 3 m)+(n,- 3 n)=(m+n, 3 m- 3n).

?x=m+n, ? ∴? ?y= 3m- ?

3n,

y2 整理得x2- =4mn, 3 1 又mn= , 4 y2 ∴P点的轨迹方程为x2- =1(x>0). 3 它表示以原点为中心,焦点在x轴上,实轴长为2,焦距为4 y2 的双曲线x2- =1的右支. 3

?x=m+n ? 1.解答本题(2)时,根据 ? ?y= 3m- ?

3n

利用第(1)问的

结论消去m,n得到轨迹方程是解题的关键. 2.如果动点满足的几何条件就是一些与定点、定直 线有关的几何量的等量关系,而该等量关系又易于表达成 含x,y的等式,从而可直接得到轨迹方程,这种求轨迹方 程的方法称为直接法. 3.求点的轨迹时,要明确题设的隐含条件,以免增 解,如本例中动点P的轨迹只是双曲线的右支.

(2013· 梅州质检)在平面直角坐标系xOy中,已知点 → → A(0,-1),B点在直线y=-3上,M点满足 MB ∥ OA , → → → → MA·AB=MB·BA,M点的轨迹为曲线C. (1)求C的方程; (2)P为C上的动点,l为C在P点处的切线,求O点到l距 离的最小值.

【解】 (1)设M(x,y), 由已知得B(x,-3)且A(0,-1), → → → ∴MA=(-x,-1-y),MB=(0,-3-y),AB=(x, -2), → → → → 由MA·AB=MB·BA, → → AB → 得(MA+MB)· =0, ∴(-x,-4-2y)· (x,-2)=0, 1 2 所以曲线C的方程为y= x -2. 4

1 2 (2)设P(x0,y0)为曲线C:y= x -2上一点, 4 1 1 由y′= x,得kl= x0. 2 2 1 ∴直线l的方程为y-y0= x0(x-x0),即x0x-2y+2y0- 2 x2=0, 0 |2y0-x2| 0 则点O到l的距离d= 2, 4+x0 1 2 又y0= x0-2, 4

1 2 4+ x0 2 1 4 2 所以d= 2 = ( x0+4+ 2 )≥2. x0+4 2 x0+4 当且仅当x0=0时取等号, 故点O到l的距离的最小值为2.

如图8-8-2,圆O:x2 +y2 =

16 , A( - 2 , 0) , B(2, 0) 为 两 个 定
点.直线l是圆O的一条动切线,若经 过 A、 B两 点 的 抛 物 线 以 直 线 l为 准 线,求抛物线焦点的轨迹方程. 【思路点拨】 设抛物线的焦点为F,由抛物线定义和圆

的切线性质,可得|AF|+|BF|=8,从而点F的轨迹是椭圆,

又当点F与点A、B在一条直线上时,不合题意,故应除去
两点.

【尝试解答】 过点A、B、O分别作直线l的垂线,垂 足分别为A′、B′、O′. ∵|AO|=|BO|, ∴|AA′|+|BB′|=2|OO′|=8, 设抛物线的焦点为F,则|AF|+|BF|=|AA′|+|BB′|= 8, 又|AB|=4, ∴点F的轨迹在以点A、B为焦点的椭圆上, x2 y2 设所求椭圆方程为 2+ 2=1, a b 则a2=42=16,b2=42-22=12, x2 y2 ∴抛物线焦点的轨迹方程为 + =1(x≠± 4). 16 12

1.解答本题时,易忽视点(-4,0)和(4,0)不合要求,

致使答案错误.
2.求轨迹方程时,若动点与定点、定线间的等量关系 满足圆、椭圆、双曲线、抛物线的定义,则可以直接根据定 义先定轨迹类型,再写出其方程,这种求轨迹方程的方法叫 做定义法,其关键是准确应用解析几何中有关曲线的定义.

如图8-8-3,ADB为半圆,AB为半圆直径,O为半圆

圆心,且DO⊥AB,Q为线段OD的中点,已知|AB|=4,曲线
C过Q点,动点P在曲线C上运动且保持|PA|+|PB|的值不变. 建立适当的平面直角坐标系,求曲线C的方程.

【解】 如图所示,以AB,OD 所在直线分别为x轴、y轴,O为原 点,建立平面直角坐标系. ∵动点P在曲线C上运动且保持 |PA|+|PB|的值不变.且点Q在曲线C 上, ∴|PA|+|PB|=|QA|+|QB|= 2 22+12=2 5, 且|PA|+|PB|>|AB|=4,

∴曲线C是以原点为中心,A,B为焦点的椭圆. 设其长半轴为a,短半轴为b,半焦距为c, 则2a=2 5,∴a= 5,c=2, 从而b=1. x2 2 ∴曲线C的方程为 +y =1. 5

(2012· 辽宁高考)如图8-8-4,动圆C1:x2+y2=t2, x2 1<t<3,与椭圆C2: +y2=1相交于A,B,C,D四点,点 9 A1,A2分别为C2的左,右顶点. (1)当t为何值时,矩形ABCD的面积取得最大值?并求 出其最大面积. (2)求直线AA1与直线A2B交点M的轨迹方程.

【思路点拨】

(1)设出点A的坐标,利用对称性表示S矩

形ABCD,并确定矩形ABCD面积取得最大值的条件,进而求出

t值.(2)点M受点A的变化制约,根据点A满足的方程求出点 M的轨迹方程.

【尝试解答】 (1)设A(x0,y0),则S矩形ABCD=4|x0y0|, 2 x0 2 x2 0 由 +y0=1得y2=1- , 0 9 9 x2 1 2 92 9 0 2 2 2 从而x0y0=x0(1- )=- (x0- ) + . 9 9 2 4 9 2 1 2 当x0= ,y0= 时,Smax=6. 2 2 从而t2=x2+y2=5,t= 5, 0 0 ∴当t= 5时,矩形ABCD的面积取到最大值6.

x2 2 (2)由椭圆C2: +y =1,知A1(-3,0),A2(3,0), 9 又曲线的对称性及A(x0,y0),得B(x0,-y0), 设点M的坐标为(x,y), y0 直线AA1的方程为y= (x+3).① x0+3 -y0 直线A2B的方程为y= (x-3).② x0-3
2 -y0 2 由①②得y2= 2 (x -9).③ x0-9

x2 0 又点A(x0,y0)在椭圆C上,故y2=1- .④ 0 9 x2 2 将④代入③得 -y =1(x<-3,y<0). 9 x2 2 因此点M的轨迹方程为 -y =1(x<-3,y<0). 9

1.(1)本题的轨迹方程中,要求x<-3,y<0,求解时
要结合几何性质和几何直观细心发掘.(2)求解中充分运用椭 圆与圆的对称性,以及方程④的整体代入,避免繁琐运算, 优化解题过程. 2.相关点法求轨迹方程:形成轨迹的动点P(x,y)随另 一动点Q(x′,y′)的运动而有规律地运动,而且动点Q的轨迹 方程为给定的或容易求得的,则可先将x′、y′表示成x、y的 式子,再代入Q的轨迹方程,求出动点P的轨迹方程.

x2 已知双曲线 -y2=1的左、右顶点分别为A1、A2,点 2 P、Q是双曲线上不同的两个关于x轴的对称点.求直线A1P 与A2Q交点M的轨迹E的方程.
【解】 设M(x,y),P(x1,y1),则Q(x1,-y1), ∵A1(- 2,0),A2( 2,0), y1 ? y ? = ?x+ 2 x1+ 2 ∴? ? y = -y1 ?x- 2 x1- 2 ② ? ① ,

②÷①整理得xx1=2, 2 ∴x≠0,x1= , x 2 2y 将x1=x代入①得y1= x ,
x2 2 ∵点P(x1,y1)在双曲线 -y =1上, 2 2 x1 2 2 2y2 x2 2 ∴ -y1=1,∴ 2- 2 =1,∴ +y =1, 2 x x 2 x2 2 故轨迹E的方程为 +y =1(x≠0,且x≠± 2). 2

通过坐标法,由已知条件求轨迹方程,通过对方程的 研究,明确曲线的位置、形状以及性质是解析几何的两大任 务.

曲线与曲线方程、轨迹与轨迹方程是两个不同的概念, 寻求轨迹或轨迹方程时应注意轨迹上特殊点对轨迹的“完备

性与纯粹性”的影响.

求轨迹方程的常用方法

(1)直接法:直接利用条件建立x,y之间的关系F(x,y)
=0. (2)待定系数法:已知所求曲线的类型,求曲线方程. (3)定义法:先根据条件得出动点的轨迹是某种已知曲 线,再由曲线的定义直接写出动点的轨迹方程. (4)代入(相关点)法:动点P(x,y)依赖于另一动点Q(x0, y0)的变化而运动,常利用代入法求动点P(x,y)的轨迹方

程.

曲线与方程是解析几何的一条主线,虽然高考对曲线与 方程要求不太高,但近两年,常以建立曲线与方程作为切入

点命制试题,且常考常新,既重视基本概念,基本技能,又
重视思想方法,如数形结合,分类讨论等等,在解答此类题 目时,应深入理解求曲线轨迹方程的基本方法,并检验曲线 方程的纯粹性,养成完整答题的好习惯.

规范解答之十六 曲线与方程中探索性问题的求解策略 (12分)(2012· 湖北高考改编)设A是单位圆x2+y2=1上的 任意一点,l是过点A与x轴垂直的直线,D是直线l与x轴的交 点,点M在直线l上,且满足|DM|=m|DA|(m>1),当点A在圆 上运动时,记点M的轨迹为曲线C. (1)求曲线C的方程,判断曲线C为何种圆锥曲线,并求其 焦点坐标. (2)设m= 2 ,过原点作斜率为k的直线交曲线C于P,Q 两点,其中P在第一象限,它在y轴上的射影为点N,直线QN 交曲线C于另一点H.是否对任意的k>0,恒有PQ⊥PH?

【规范解答】 (1)设M(x,y),A(x0,y0), ∵|DM|=m|DA|,且D、M、A都在直线l上, 1 ∴x0=x,|y0|= |y|① m 又点A在圆x2+y2=1上,则x2+y2=1,② 0 0 2分 y2 将①代入②,得曲线C的方程x2+ 2=1(m>1), m 当m>1时,曲线C是焦点在y轴上的椭圆 两焦点坐标分别为(0,- m2-1),(0, m2-1).5分

(2)对任意k>0,设P(x1,kx1)(x1> 0),H(x2,y2), 如图所示,则Q(-x1,-kx1), N(0,kx1), ∴直线QN的方程为y=2kx+kx1, ③ y2 当m= 2时,曲线C的方程为x2+ 2 =1④ 将③代入④,整理得(4k2+2)x2+ 2 4k2x1x+k2x1-2=08分 依题意,-x1,x2是上述方程的两 根,

2k2x1 x1 则x2-x1=- 2 ,∴x2= 2, 2k +1 1+2k ∵点H在直线QN上, 2kx1 ∴y2-kx1=2kx2= 10分 1+2k2 2k2x1 2kx1 → =(x2-x1,y2-kx1)=(- 2 于是PH , 2 ). 2k +1 2k +1 → PQ=(-2x1,-2kx1) 4k2x2 4k2x2 1 1 → ·PQ= → ∴PH - =0, 1+2k2 1+2k2 因此对任意k>0,恒有PH⊥PQ.12分

【解题程序】 第一步:由条件,用点M(x,y)的坐标 表示A(x0,y0)的坐标; 第二步:代入求曲线C的方程,由性质求焦点坐标; 第三步:结合曲线C的对称性,设出各点坐标,并求 直线QN的方程; 第四步:联立直线与椭圆方程,寻找x1,x2的关系, 求点H的坐标(用x1表示); → → 第五步:求数量积PH·PQ,从而证明PH⊥PQ.

易错提示:(1)找不到点M,A坐标间的关系,导致不能 利用相关点法求曲线C的方程,弄错焦点位置和坐标.

(2)忽视椭圆的对称性,致使不能准确利用点P的坐标表
示出点H的坐标;不能利用向量运算证明垂直关系,导致繁 杂运算致误. 防范措施:(1)区别轨迹方程与曲线的轨迹,抓住点A, M,D共线且直线l⊥x轴的条件.

(2)求点的坐标,不仅仅重视方程的求解,要注意曲线
的性质,恰当设置,简化繁杂运算,重视向量数量积的作 用,善于将垂直转化为数量积为0.

1.(2013· 惠州模拟)设圆(x+1)2+y2=25的圆心为C, A(1,0)是圆内一定点,Q为圆周上任一点,线段AQ的垂直 平分线与CQ的连线交于点M,则M的轨迹方程为( ) 4x2 4y2 4x2 4y2 A. - =1 B. + =1 21 25 21 25 4x2 4y2 4x2 4y2 C. - =1 D. + =1 25 21 25 21

【解析】 M为AQ垂直平分线上一点, 则|AM|=|MQ|,∴|MC|+|MA|=|MC|+|MQ| =|CQ|=5,故M的轨迹为椭圆, 5 21 2 2 2 ∴a= ,c=1,则b =a -c = , 2 4 4x2 4y2 ∴椭圆的标准方程为 + =1. 25 21

【答案】

D

2.(2012· 江西高考改编)已知三点O(0,0),A(-2, → → 1),B(2,1),曲线C上任意一点M(x,y)满足| MA + MB |= → → → OM·(OA+OB)+2. (1)求曲线C的方程; (2)点Q(x0,y0)(-1≤x0≤1)是曲线C上的动点,曲线C 在点Q处的切线为l,点P的坐标是 (0,-1),l与PA,PB分 别交于点D,E,求△PDE面积的最大值与最小值.

【解】

→ (1)MA =(-2-x,1-y),

→ MB=(2-x,1-y), → → ∴|MA+MB| = (-2x)2+(2-2y)2, → → → 又 OM ·( OA + OB )=(x,y)· (0,2) =2y, 由已知得 (-2x)2+(2-2y)2 =2y+2, 化简得曲线C的方程:x2=4y.

(2)直线PA,PB的方程分别是y=-x-1,y=x-1,曲 2 x0 x0 线C在点Q处的切线l的方程是y= x- ,且与y轴的交点 2 4 x2 0 为R(0,- ), 4 ?y=-x-1, ? x0-2 2 解? x0 x0 ,得xD= 2 , ?y= 2 x- 4 ? ?y=x-1, ? x0+2 2 解? x0 x0 得xE= , 2 ?y= 2 x- 4 , ? x2 0 ∴xE-xD=2,|PR|=1- , 4

1 故S△PDE=S△PDR+S△PER= |PR|·|xE-xD| 2 2 1 x0 x2 0 = ×2(1- )=1- , 2 4 4 3 又x0∈[-1,1],∴S△PDE的最大值为1,最小值 . 4



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