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2016高三周考理科数学试题



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2016-2017 学年度襄阳三中学校 12 月周考卷
邓超群 秦正辉 一、选择题 1.等差数列 ?an ? 中, Sn 是其前 n 项和, a1 ? ?9, A.0 2.已知双曲线 C : B.-9

S9 S 7 ? ? 2 ,则 S10 ? ( 9 7
C.1

0 D.-10



x2 ? y 2 ? 1 的左,右焦点分别为 F1 , F2 ,过点 F2 的直线与双曲线 C 的右 3


支相交于 P, Q 两点,且点 P 的横坐标为 2,则 ?PFQ 1 的周长为( A. 4 3

B.

14 3 3

C. 5 3

D.

16 3 3

? x ?1 ? y ? ?1 ? x , y 3.已知 满足约束条件 ? ,目标函数 z ? mx ? y ,若 z 的最大值为 f ? m? ,则 4 x ? y ? 9 ? ? ? x? y ?3
当 m ??2,4? 时, f ? m? 的最大值和最小值之和是( A.4 4. 已知点 P 为双曲线 B.10 C.13 ) D.14

x2 y2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 右支上一点,F1 , F2 分别为双曲线的左右焦 a2 b2

点,且 | F1 F2 |? 值为 A. 。

b2 ,I 为三角形 PF 1 F2 的内心,若 S?IPF1 ? S?IPF2 ? ? S?IF1F2 成立,则 ? 的 a

1? 2 2 2

B. 2 3 ? 1

C. 2 ? 1

D. 2 ? 1

5.过双曲线

x2 y 2 a2 2 2 a ? 0 b ? 0 c ? 0 x ? y ? ? ? 1 ( , )的左焦点 ( ) ,作圆 F ? c ,0 ? ? 4 a 2 b2

的切线,切点为 ? ,延长 F ? 交双曲线右支于点 ? ,若 ?? ? 2?? ? ?F ,则双曲线的离心 率为( A. 10 ) B.

??? ?

??? ? ??? ?

10 5

C.

10 2
2 0

D. 2

6.已知数列 ?an ? 为等比数列,且 a2013 ? a2015 ?

?

4 ? x2 dx ,则 a2014 (a a 2012 ? 2 2014

? a 2016

) 的值

答案第 1 页,总 20 页

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为(

)A. ?

B. 2?

C. ? 2

D. 4? 2

?| log 2 x |, 0 ? x ? 2 7. 已知函数 f ( x) ? ? , 若存在实数 x1 ,x 2 ,x3 ,x 4 , 满足 x1 ? x2 ? x3 ? x4 , ? ? sin( x ), 2 ? x ? 10 ? ? 4

且 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? f ( x3 ) ? f ( x4 ) ,则 A. (4,16) B. (0,12)

( x3 ? 2) ? ( x4 ? 2) 的取值范围是( x 1?x2
C. (9, 21)



D. (15, 25)

8.抛物线 y 2 ? 2 px( p ? 0) 的焦点为 F ,准线为 l , A , B 是抛物线上的两个动点,且满足
?AFB ?

| MN | 2? ,设线段 AB 的中点 M 在 l 上的投影为 N ,则 的最大值是( ) 3 | AB |
B.

A. 3

3 2

C.

3 3

D.

3 4

9.已知抛物线 y 2 ? 2 px( p ? 0) 与双曲线

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 有相同的焦点 F,点 A a 2 b2

是两曲线的一个交点,且 AF ? x 轴,若 l 为双曲线的一条渐近线,则 l 的倾斜角所在的区间 可能是( ) A. (0,

?
6

)

B. (

? ? , ) 6 4

C. (

? ? , ) 4 3
2

D. (

? ? , ) 3 2
2

10. 已知实数 a , b 满足 2a ? 5ln a ? b ? 0, c ? R , 则
2

? a ? c ? ? ?b ? c ?
D.

的最小值为 (



A.

1 2

B.

2 2

C.

3 2 2

9 2

?x y x ? 2y ? 3 3 ? ? ?a 11. 设 x , y 满足约束条件 ? 3 4 , 若z ? 的最小值为 , 则 a 的值为 ( x ? 1 2 ? ? x ? 0, y ? 0
A.1 B.2 C.3 D.4 ) 12.设当 x ? ? 时,函数 y ? sin x ? 2 cos x 取得最小值,则 cos ? =( A. ?



5 5

B.

5 5

C. ?

2 5 5

D.

2 5 5

二、填空题(20 分) 13.已知 cos ?

?? ? 2 2 ?? ? ,则 cos ? ? ? ? ? __________. ?? ? ? 3 ?3 ? ?6 ?
x

14.已知函数 f ? x ? ? ? f ? ? 0? e ? 2x ,点 P 为曲线 y ? f ? x ? 在点 0, f ? 0? 处的切线 l 上

?

?

答案第 2 页,总 20 页

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的一点,点 Q 在曲线 y ? e x 上,则 PQ 的最小值为____________. 15.如图,已知 ?ABC 的边 BC 的垂直平分线交 AC 于点 P ,交 BC 于点 Q .若

??? ? ???? ??? ? ???? ??? ? ???? AB ? 3, AC ? 5 ,则 AP ? AQ ? AB ? AC 的值

?

??

?



.

16. 如图, 半径为 2 的扇形的圆心角为 120?, M , N 分别为半径 OP, OQ 的中点, A 为弧 PQ 上任意一点,则 AM ? AN 的取值范围是

???? ? ????



三、解答题 17.在 ?ABC 中,角 A、B、C 所对的边为 a、b、c ,且满足
cos 2 A ? cos 2 B ? 2 cos( A ?

?
6

)cos( A ?

? . )
6

(Ⅰ)求角 B 的值; (Ⅱ)若 b ? 3 ? a ,求 2a ? c 的取值范围.

18.已知数列 {an} 的前 n 项和为 Sn (n ? N ) ,且满足 an ? Sn ? 2n ? 1 .
*

(1)求证:数列 {an ? 2} 是等比数列,并求数列 {an} 的通项公式; (2)求和:

1 1 1 1 ? 2 ??? n ? . 2a1a2 2 a2a3 2 an an?1 3

19.已知椭圆 C :

x2 y 2 ? ? 1? a ? b ? 0 ? 的左、右焦点分别为 F1 ? 3, 0 、 F2 a 2 b2
3 . 2

?

?

?

3, 0 ,椭

?

0 圆上的点 P 满足 ?PF 1F 2 的面积为 S ?PF1F2 ? 1F 2 ? 90 ,且 ?PF

(1)求椭圆 C 的方程; (2)设椭圆 C 的左、右顶点分别为 A 、 B ,过点 Q ?1,0 ? 的动直线 l 与椭圆 C 相交于 M 、

N 两点,直线 AN 与直线 x ? 4 的交点为 R ,证明:点 R 总在直线 BM 上.

答案第 3 页,总 20 页

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20. (本小题满分 14 分)已知椭圆 C : 在椭圆 C 上, O 为坐标原点.

x2 y 2 3 ? ? 1(a ? b ? 0) 的右焦点为 F (1,0) ,且点 P(1, ) a 2 b2 2

(1)设过定点 T (0, 2) 的直线 l 与椭圆 C 交于不同的两点 A 、 B ,且 ?AOB 为锐角,求直线
l 的斜率 k 的取值范围;

4 x2 y2 ? ? 1 上异于其顶点的任一点 P ,作圆 O : x 2 ? y 2 ? 的两条切 2 5 a 3 b2 ? 3 线, 切点分别为 M , N ( M , N 不在坐标轴上) , 若直线 MN 在 x 轴、 y 轴上的截距分别为 m 、
(2)过椭圆 C1 :

n ,证明:

1 1 ? 2 为定值. 2 3m n

21.已知函数 f ( x) ? ln x ? a(1 ? ), a ? R . (1)若 a ? ?1 ,试求 f ( x) 最小值; (2)若 ?x ? 1 都有 f ( x) ? 0 恒成立,求 a 的取值范 围. 22.选修 4-4:坐标系与参数方程 在极坐标系中,已知曲线 C : p ? 2cos ? ,将曲线 C 上的点向左平移一个单位,然后纵坐标

1 x

? ? x ? t cos , ? ? 3 不变,横坐标轴伸长到原来的 2 倍,得到曲线 C1 ,又已知直线 l : ? ( t 是参 ? y ? 3 ? t sin ? ? 3 ?
数) ,且直线 l 与曲线 C1 交于 A,B 两点. (I)求曲线 C1 的直角坐标方程,并说明它是什么曲线; (II)设定点 P(0, 3) ,求 23.选修 4-5:不等式选讲 已知定义在 R 上的函数 f ( x) ?| x ? 1| ? | x ? 2 | 的最大值为 s . (1)试求 s 的值; (2)若 a, b, c ? R ? ,且 a ? b ? c ? s ,求证: a ? b ? c ? 3
2 2 2

1 1 . ? | PA | | PB |

答案
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1.A 【 解 析 】 试 题 分 析 : 因 {

Sn } 是 等 差 数 列 , 且 公 差 为 d ?1 , 故 n

S10 a1 ? ? 1(10 ? 1) ? ?9 ? 9 ? 0 ,故应选 A. 10 1
考点:等差数列的性质及综合运用. 2 . D 【 解 析 】 试 题 分 析 : 易 知 F2 ( 2, 0), 所 以 PQ ? x 轴 , a ? 3, e ?

2 2 3 , ? 3 3

PF2 ? QF2 ? 2e ? a ? 2 ?

2 3 3 3 7 3 ,又 PF1 ? PF2 ? 2a ? , ? 3? ?2 3 ? 3 3 3 3

所以 ΔPF1Q 周长为 2(

7 3 3 16 3 . ? )? 3 3 3

考点:双曲线的定义. 【名师点睛】在涉及到圆锥曲线上点到焦点距离时,要考虑圆锥曲线 的定义.本题涉及双曲线的上点到焦点的距离,定义的应用有两个方面,一个是应用第一定 义把曲线上点到一个焦点的距离转化为到另一个焦点的距离, 一个是应用第二定义把点到焦 点的距离与到准线的距离相互转化,特别可得结论:双曲线

x2 y 2 ? ? 1 上的点 P( x0 , y0 ) 到 a 2 b2

左焦点距离为 d左 ? ex0 ? a ,到右焦点距离为 d右 ? ex0 ? a .

? x ?1 ? y ? ?1 ? 3.D【解析】试题分析:画出不等式组 ? 表示的区域如图,结合图像可知当动直线 ?4 x ? y ? 9 ? ? x? y ?3
y ? ? mx ? z 过 定 点 P(2,1) 时 , z 取 最 大 值 f (m) ? 2m ? 1 , 因 m ??2,4? , 故

f (m) max ? 5, f (m) min ? 9 ,所以 f (m) max ? f (m) min ? 5 ? 9 ? 14 ,故应选 D.

答案第 5 页,总 20 页

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y

4x+y-9=0

x=1 y=-mx+z x+y-3=0

P(2,1) x y=-1

考点:不等式组表示区域及线性规划的知识与函数的最值等知识的综合运用. 4 . D 【 解 析 】 试 题 分 析 : 设 VPF 1F 2 的内切圆半径为 r ,由双曲线的定义得

PF1 ? PF 2 ? 2a, | FF ? 2c 1 | 2
SV IF1F2 ? 1 ? 2c ? r ? cr 2

1 1 | PF1 | ?r,SV IPF2 ? | PF2 | ?r , 2 2 1 1 | PF1 | ?r ? | PF2 | ?r ? ? cr , 故 , 由 题 意 得 , 2 2


SV IPF1 ?

??

PF1 ? PF2 2c

?

a a ? c a 2 ? b2
2



Q| F1 F2 |?

b2 b 2 c 2 ? a 2 ? a ? 2a a ? 2c ? ? , ?? ? ? ? 1 ? 0 ? ? 2 ? 1 故选:D。 c a a a c ?c?

考点:1.双曲线的简单性质;2.圆锥曲线的定义、性质与方程。 【思路点睛】 本题考查双曲线的定义和简单性质, 利用待定系数法求出参数的值, 设 VPF 1F 2 的内切圆半径为 r ,由 PF , | F1F2 |? 2c ,用 VPF1F2 的边长和 r 表示出等式中 1 ? PF 2 ? 2a 的三角形的面积,解此等式求出 ? 。

a a2 2 ? OF ? c , OE ? , ? EF ? c ? 5.C【解析】试题分析: 2 4
答案第 6 页,总 20 页

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??? ? ??? ? ??? ? ?? ? 2?? ? ?F







E



F, P









? PF ? 2 c2 ?

a2 a2 10 , PF ' ? a, ? PF ? | PF ? |? 2a, ? 2? c 2 ? ? 2a, ? e= 4 4 2

故选 C. 考点:双曲线的离心率 6.C【解析】试题分析:本题考查等比数列,定积分等基础知识.由定积分的几何意义可得

?

2

0

4 ? x 2 dx 表 示 圆 x2 ? y 2 ? 4 在 第 一 象 限 的 图 形 的 面 积 , 即 四 分 之 一 圆 , 所 以
2 0

a2013 ? a2015 ? ?

??
a2 ( ?

1 4 ? x 2 dx ? ? ? ? 22 4

0





a

?

)

1

2 a 2 ? 2a2013a? 2 ? a2013 4 a2015 2015 ?

a

2

? (a2013 ? a2015 )2 ? ? 2 .故选 C.
考点:等比数列,定积分的几何意义. 7.B 【解析】 试题分析:在平面直角坐标系 x?y 中,作出函数 f ? x ? 的图象如图所示:

因为存在实数 x1 ,x 2 ,x3 ,x 4 , 满足 x1 ? x2 ? x3 ? x4 , 且 f (x 1) ?f (x ) f (x )3 ? f (x ) 4 2 ?



所以由图象知: ? x1 ? 1 , 当 0 ? t ? 1 时, 直线 y ? t 1 ? x2 ? 2 ,2 ? x3 ? 4 ,8 ? x4 ? 10 , 与函数 f ? x ? 的图象有 4 个交点,直线 y ? t 越往上平移,

1 2

? x3 ? 2 ?? x4 ? 2 ? 的值越小,直线
x1 x2

直 线 y?t 越 往 下 平 移 ,

? x3 ? 2 ?? x4 ? 2 ?
x1 x2

的 值 越 大 , 因 为 当 t?0 时 ,

? x3 ? 2?? x4 ? 2? ? ? 4 ? 2??8 ? 2 ? ? 12 ,当 t ? 1 时,
x1 x2 1?1
答案第 7 页,总 20 页

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? x3 ? 2 ?? x4 ? 2 ? ? ? 2 ? 2 ??10 ? 2 ? ? 0 ,所以 ? x3 ? 2 ?? x4 ? 2 ? 的取值范围是
x1 x2 1 ?2 2

x1 x2

? 0,12? ,故选

B. 考点:函数的图象. 8.C. 【解析】 试题分析:如下图,分别设 A , B 横坐标为 a , b ,则 | MN |?

a?b , 2

AB ? a 2 ? b 2 ? 2ab cos

2? | MN | a?b ? a 2 ? b 2 ? ab ,∴ ? | AB | 2 a 2 ? ab ? b 2 3
1 1? a ?b ab
2 2

?

1 a 2 ? b 2 ? 2ab 1 ab 1 ? 1? 2 ? 1? 2 2 2 2 a ? ab ? b 2 a ? ab ? b 2

?

1 1 3 , 1? ? 2 1? 2 3

当且仅当 a ? b 时,等号成立,故

3 | MN | 的最大值是 . | AB | 3

考点:1.抛物线的性质;2.余弦定理;3.基本不等式求最值. 9.D 【解析】 试题分析:∵ | AF |?

b2 p b2 b 2c ? 2 ,故选 D. ? p, c ? ? ? 2c ,又 c ? b ? tan ? ? ? a b a 2 a

考点:抛物线与双曲线的几何性质. 10.C 【解析】
2 试题分析:由题意,得, x 代换 a , y 代换 b ,则 x , y 满足: 2x ? 5 ln x ? y ? 0 ,即

y ? 2x2 ? 5 ln x( x ? 0) ,
答案第 8 页,总 20 页

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以 x 代换 c ,可得点 ( x,? x) ,满足 x ? y ? 0 ,因此求
2

? a ? c ? ? ?b ? c ?
2

2

的最小值即为求

曲线 y ? 2x ? 5 ln x( x ? 0) 上的点到直线 x ? y ? 0 的距离的最小值,设直线 x ? y ? m ? 0
2 与曲线 y ? 2x ? 5 ln x( x ? 0) 相切于点 P ( x0 , y0 ), f ' ( x) ? 4 x ?

5 ,则 f ' ( x0 ) ? ?1 ,解得 x

x0 ? 1 , 所 以 切 点 为 P(1,2) , 所 以 点 P 到 直 线 x ? y ? 0 的 距 离 d ?

3 2 ,则 2

? a ? c ? ? ?b ? c ?
2

2

的最小值为

3 2 ,综上所述,选 C. 2

考点:1.利用导数研究曲线的切线性质;2.点到直线距离公式. 【方法点睛】本题主要考查的是利用导数研究曲线的切线性质,点到直线的距离公式,推理 能力与计算能力,属于难题,通过换元法可转化成函数间的问题,通过变形发现变成求

? a ? c ? ? ?b ? c ?
2

2

的最小值即为求曲线 y ? 2x ? 5 ln x( x ? 0) 上的点到直线 x ? y ? 0
2

的距离的最小值,因此在曲线上找到一个和 x ? y ? 0 平行的直线与 x ? y ? 0 之间的距离最 小, 因此将点到直线距离最小值转化成直线与直线距离最小值, 因此此类题目将已知条件合 理转换是解决问题的关键. 11.A 【解析】 试题分析:因为 z ?

x ? 2 y ? 3 ? x ? 1? ? 2 ? y ? 1? y ?1 y ?1 ? ? 1? 2? ,而 表示可行域内 x ?1 x ?1 x ?1 x ?1
y ?1 x ?1

点 ? x, y ? 与点 ? ?1, ?1? 连线的斜率, 由选项可知 a ? 0 , 作出可行域, 如下图, 由图可知 的最小值为

0 ? ? ?1? 1 1 1 ? y ?1 ? ,即 ? ? ? ? ,所以 a ? 1 ,故选 A. ? 4 ? x ? 1 ?min 3a ? ? ?1? 3a ? 1 4

考点:简单得线性规划.
答案第 9 页,总 20 页

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【方法点睛】本题主要考查了简单得线性规划,属于中档题.本题解答的关键是通过分离常 数把分式型目标函数 z ?

x ? 2y ? 3 y ?1 化成 z ? 1 ? 2 ? ,从而找到目标函数的几何意义— x ?1 x ?1

—可行域内点 ? x, y ? 与点 ? ?1, ?1? 连线的斜率,结合图形找出最值点,在高考中对分式结构 的处理方式一般是分离变形,找出其意义. 12.C 【解析】

s? 试 题 分 析 : f ? x ? ? s i nx ? 2 c ox

? 5 5 ? ? ? 5

sx in ?

2 5 5

? c xo ? ?s? ?

5 s i? n? ? , 其 中 ?x

s i n? ?

2 5 5 , c o? s? ,因为当 x ? ? 时,函数 y ? sin x ? 2 cos x 取得最大值,所以 5 5
, 5又 sin ? ? cos ? ? 1 , 联 立 方 程 组 可 得
2 2

? ? 2 c? os ? sin ?? ? ? ? ? 1 , 即 s i n
cos ? ? ? 2 5 ,故选 C. 5

考点:两角和与差的正弦函数及同角三角函数的基本关系式. 【方法点睛】 本题主要考查了两角和与差的正弦函数及同角三角函数的基本关系式, 属于中 档题 .解答本题的关键是根据辅助角公式把函数 f ? x ? 化成正弦型函数 y ? Asin ??x ? ? ? 的形式,根据题意得到关系式 sin ? ? 2cos ? ? 5 ,再结合同角三角函数的基本关系式

sin 2 ? ? cos 2 ? ? 1 ,解方程组求得 cos ? 的值.
13. ?

1 3

【解析】 试题分析: cos ?

? ? 1 1 ?? ? ? ? ? ? sin( ? ? ) ? ? 1 ? cos2 ( ? ? ) ? ? ,故应填答案 ? . 3 6 6 3 ?3 ?

考点:诱导公式及同角关系的综合运用. 14. 2 【解析】
/ / x / / 0 / 试题分析 : 因 f ( x) ? ? f (0)e ? 2 , 令 x ? 0 可得 f (0) ? ? f (0)e ? 2 , 即 f (0) ? 1 ,

所 以 f ( x) ? ?e ? 2x , 所 以 切 线 的 斜 率 k ? f (0) ? 1 , 又 f (0) ? ?1 , 故 切 线 方 程 为
x /

y ? 1 ? x ? 0 ,即 x ? y ? 1 ? 0 .由题意可知与直线 x ? y ? 1 ? 0 平行且曲线 y ? ex 相切的
t t 切点到直线 x ? y ? 1 ? 0 的距离即为所求.设切点为 P(t , e ) ,则 k ? e ? 1 ,故 t ? 0 ,也即

答案第 10 页,总 20 页

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P(0,1) ,该点到直线 x ? y ? 1 ? 0 的距离为 d ?

2 2

? 2 ,故应填答案 2 .

考点:导数的几何意义及数形结合思想的综合运用. 【易错点晴】本题设置了一道以两函数的解析式为背景,其的目的意在考查方程思想与数形 结合的意识及运用所学知识去分析问题解决问题的能力. 解答本题时要充分运用题设中提供 的图象信息,先运用赋值法求出 f / (0) ? 1 ,进而求出 f ( x) ? ?e x ? 2x ,然后将问题等价转 化为与直线 x ? y ? 1 ? 0 平行且曲线 y ?

x 相切的切点到直线 x ? y ? 1 ? 0 的距离即为所 ex

求. 答时先设切点为 P(t , et ) ,则 k ? e t ? 1 ,故 t ? 0 ,也即 P(0,1) ,该点到直线 x ? y ? 1 ? 0 的距离为 d ? 15.-16 【解析】 试题分析:

2 2

? 2 ,从而获得答案.

? AP ? AQ ? ? ? AB ? AC ? ? ? PQ ? 2 AQ ? ? ? AB ? AC ? ? ? 2 AQ ? ? ? AB ? AC ? ? ? AB ? AC ?? AB ? AC ?
uu u r 2 uuu r2 ? AB ? AC ? 9 ? 25 ? 16.
考点:向量数量积 16. [ , ] 【解析】 试 题 分 析 : 建 立 如 图 所 示 直 角 坐 标 系 , 则 A( 2 c o ?s

??? ?

????

??? ? ????

??? ?

????

??? ? ????

????

??? ? ????

??? ?

???? ??? ? ????

3 5 2 2

, 2? sin ? ?) ? (0 ?

?, 120 )

1 3 M ( ? , ), N (1,0) , 2 2 ???? ? ???? 1 3 AM ? ( ? ? 2cos ? , ? 2sin ? ) , AN ? (1 ? 2cos? , ?2sin ? ) ,所以 2 2 ???? ? ???? 1 3 7 AM ? AN ? ( ? ? 2cos ? )(1 ? 2cos ? ) ? ( ? 2sin ? )( ?2sin ? ) ? ? 2sin(? ? 30?) , 2 2 2 ? ???? 5 1 3 ???? 因为 0? ? ? ? 120? , 所以 30? ? ? ? 30? ? 150?, ? sin(? ? 30?) ? 1 , ? AM ? AN ? . 2 2 2

答案第 11 页,总 20 页

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8 6 4

P 2 M
15 10 5 2 4 6 8

A
5 10 15

O NQ

考点:1.向量的坐标表示;2.向量的坐标运算; 3.三角函数性质. 17. (I) B ?

?
3



2? ; (II) [ 3, 2 3) . 3

【解析】 试 题 分 析 :( I ) 根 据 条 件 和 两 角 和 与 差 的 正 、 余 弦 公 式 可 得

1 ?3 2sin 2 B ? 2sin 2 A ? 2 ? cos 2 A ? sin 2 4 ?4

3 ? ,求得角 B 的值; (II) A? ,整理可得 sin B ? 2 ?

由 正 弦 定 理 把 a , c 用 角 A, C 表 示 , 通 过 三 角 恒 等 变 换 化 成 正 弦 型 函 数

?? ? g ? A? ? 2 3 sin ? A ? ? ,结合角 A 的范围,求得 2a ? c 的取值范围. 6? ?
试题解析: (I)由已知 cos 2 A ? cos 2 B ? 2cos ?

?? ? ?? ? ? A ? cos ? ? A ? ?6 ? ?6 ?

得 2sin 2 B ? 2sin 2 A ? 2 ? cos 2 A ? 故B ?

?3 ?4

3 1 2 ? sin A? , 化简得 sin B ? 2 4 ?

?
3



2? 3

(II)因为 b ? a ,所以 B ?

?
3



由正弦定理

a c b ? ? ? sin A sin C sin B

3 ? 2, 3 2

得 a=2sinA,c=2sinC,

? 2? ? 2a ? c ? 4sin ? ? 2sin C ? 4sin ? ? 2sin ? ? ?? ? 3 ?

?? ? ? 3sin ? ? 3 cos ? ? 2 3 sin ? ? ? ? 6? ?
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因为 b ? a ,所以

?
3

? A?

2? ? ? ? , ? A? ? , 3 6 6 2

所以 2a ? c ?[ 3,2 3) 考点:正弦定理解三角形和三角函数的值域. 18. (1)证明见解析, an ? 2 ? 【解析】 试题分析: ( 1 ) 由 an ? Sn ? 2n ? 1 , 先 令 n ? 1 , 得 出 a1 的 值 , 由 an ? Sn ? 2n ? 1 ,

1 ; (2)证明见解析. 2n

1 an?1 ? Sn?1 ? 2(n ?1) ? 1 两式相减,整理得 an ? 2 ? (an?1 ? 2) ,于是数列 {an ? 2} 是首项 2 1 1 1 为 a1 ? 2 ? ? , 公 比 为 的 等 比 数 列 , 可 得 an ? 2 ? n ;( 2 ) 由 于 2 2 2

1 1 1 ,所以可用“裂项求和”的方法求得前 n 项和为 ? n?1 ? n?2 2 an an?1 2 ? 1 2 ? 1
n

?

1 1 1 ? n?2 ? ,即证原式. 3 2 ? 1 3 3 . 2

试题解析: (1)∵ an ? Sn ? 2n ? 1 ,令 n ? 1 ,得 2a1 ? 3 , a1 ?
*

∵ an ? Sn ? 2n ? 1 ,∴ an?1 ? Sn?1 ? 2(n ? 1) ? 1, (n ? 2, n ? N ) 两式相减,得 2an ? an?1 ? 2 ,整理 an ?

1 an?1 ? 1 2

an ? 2 ?

1 (an?1 ? 2) , (n ? 2) 2 1 1 ,公比为 的等比数列 2 2

∴数列 {an ? 2} 是首项为 a1 ? 2 ? ?
n ∴ an ? 2 ? ?( ) ,∴ an ? 2 ?

1 2

1 . 2n

(2)∵

1 ? n 2 an an?1

1 2n?1 1 1 ? ? n?1 ? n?2 n ?1 n? 2 n?1 n?2 2 ? 1 2 ? 1 (2 ? 1)(2 ? 1) 2 ? 1 2 ? 1 2n ? ? n?1 2n 2



1 1 1 ? 2 ??? n 2a1a2 2 a2a3 2 an an?1
1 1 1 1 1 1 ? 3 )?( 3 ? 4 ) ? ? ? ( n?1 ? n?2 ) 2 ?1 2 ?1 2 ?1 2 ?1 2 ?1 2 ?1 1 1 1 ? ? n?2 ? . 3 2 ?1 3 ?(
2

考点:1、等比数列的通项;2、利用“裂项求和法”求数列前 n 项和;3、不等式的证明.
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19. (1) 【解析】

x2 ? y 2 ? 1; (2)证明见解析. 4

试题分析: (1)由已知,可求 c ?

3 , a ? 2 ,故方程为

x2 ? y 2 ? 1; (2)当直线 l 不与 x 4

轴 垂 直 时 , 设 直 线 l 的 方 程 为 y ? k ? x ?1? , M ? x, y ? 、 N ? x2 , y2 ? , R ? 4, y0 ? , 由

? 1? ? y ? k? x 6 y2 ? 2 2 2 2 2 得 ?1 ? 4k ? x ? 8k x ? 4k ? 4 ? 0 ,由 A, N , R 共线,得 y0 ? ,又 ?x 2 x ? 2 ? y ? 1 2 ? ? 4 ??? ? ???? ? , 则 BR ? ? 2, y0 ? , BM ? ? x 1 ? 2, y 1?

? x1 ?1??

?

?

??

? x2 ? 2

?

?

,代入可得结论. ? 3 x2

?1 x1

试题解析: (1)由题意知: F1F2 ? 2c ? 2 3 ,
0 ∵椭圆上的点 P 满足 ?PF 1F 2 ? 90 ,且 S ?PF1F2 ?

3 , 2

∴ S?PF1F2 ? ∴ PF1 ?

1 1 3 , F1F2 ?PF1 ? ? 2 3 ? PF1 ? 2 2 2
F1 F2 ? PF1 ?
2 2

1 , PF2 ? 2

7 . 2

∴ 2a ? PF 1 ? PF 2 ? 4, a ? 2 又∵ c ? 3 ,∴ b ? a ? c ? 1.
2 2

∴椭圆 C 的方程为

x2 ? y 2 ? 1, 4

(2)由题意知 A? ?2,0?、B ? 2,0? , ①当直线 l 与 x 轴垂直时,M ? 1,

? ? ?

? 3? 3? 3 、 N 1, ? , 则 AN 的方程是:y ? ? ? x ? 2? , ? ? ? ? ? ? 2 ? 2 6 ? ?

BM 的方程是: y ? ?
∴点 R 在直线 BM 上. (2)当直线 l 不与

3 ? x ? 2 ? ,直线 AN 与直线 x ? 4 的交点为 R 4, ? 3 , 2

?

?

x 轴 垂 直 时 , 设 直 线 l 的 方 程 为 y ? k ? x ?1? , M ? x, y ? 、
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N ? x2 , y2 ? , R ? 4, y0 ? ,
? y ? k ? x ? 1? ? 2 2 2 2 由 ? x2 得 ?1 ? 4k ? x ? 8k x ? 4k ? 4 ? 0 , 2 ? ? y ?1 ? 4
∴ x1 ? x2 ?

8k 2 1 ? 4k
2

, x1 x2 ?

4k 2 ? 4 . 1 ? 4k 2

??? ? ???? 6 y2 . AR ? ? 6, y0 ? , AN ? ? x2 ? 2, y2 ? , A, N , R 共线,∴ y0 ? x2 ? 2
又 BR ? ? 2, y0 ? , BM ? ? x1 ? 2, y1 ? ,需证明 B, M , R 共线, 需证明 2 y1 ? y0 ? x1 ? 2? ? 0 ,只需证明 2k ? x1 ? 1? ? 若

??? ?

???? ?

6k ? x2 ? 1? ? x1 ? 2? ? 0 , x2 ? 2


k ?0













k?0









? x1 ?1?? x2 ? 2? ? 3? x2 ?1?? x1 ? 2? ? ?2x1x2 ? 5? x1 ? x2 ? ? 8
? ?2 ? 4k 2 ? 4 ? 1 ? 4k 2 ? 5 ? 8k 2 ? 8 ? 0 成立. 1 ? 4k 2

∴ B, M , R 共线,即点 R 总在直线 BM 上. 考点:直线与圆锥曲线的位置关系. 【方法点睛】本题主要考查直线与圆锥曲线位置关系,所使用方法为韦达定理法:因直线的 方程是一次的, 圆锥曲线的方程是二次的, 故直线与圆锥曲线的问题常转化为方程组关系问 题, 最终转化为一元二次方程问题, 故用韦达定理及判别式是解决圆锥曲线问题的重点方法 之一,尤其是弦中点问题,弦长问题,可用韦达定理直接解决,但应注意直线斜率不存在的 情况及不要忽视判别式的作用. 20. (Ⅰ) 【解析】 试题分析: (Ⅰ)由题意得: c ? 1 所以 a 2 ? b 2 ? 1 ,又因为点 P(1, ) 在椭圆 C 上,所以

2 3 1 1 2 3 x2 y2 ? ? 1 ; (Ⅱ) ? ;(Ⅲ)详见解析 ?k ?? 或 ?k? 4 3 3 2 2 3
3 2

1 9 (Ⅱ)设直线 l 方程为 ? 2 ? 1 , 可 解 得 a 2 ? 4, b 2 ? 3 , 即 可 求 出 椭 圆 标 准 方 程 ; 2 a 4b

y ? kx? 2 ,设 A( x1 , y1 ) 、 B( x2 , y2 )

? y ? kx ? 2 1 ? 2 2 由 ? x2 y 2 得: (4k 2 ? 3) x2 ? 16kx ? 4 ? 0 ,因为 ? ? 12k ? 3 ? 0,所以 k ? ,又 4 ?1 ? ? 3 ?4
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x1 ? x2 ?

??? ? ??? ? ?16k 4 , x1 x2 ? , 因 为 ?A O B为 锐 角 , 所 以 OA ? OB ? 0 , 即 2 2 4k ? 3 4k ? 3
?12k 2 ? 16 4 ? 0 ,所以 k 2 ? .即可求出结果; (Ⅲ)由题意: 2 3 4k ? 3

x1 x2 ? y1 y2 ? 0 ,即可得到
可得 k PM ? ?

1 kOM

??

4 x2 ,直线 PM 的方程为 x2 x ? y2 y ? ④ 3 y2

4 ? x x ? y y ? 2 1 2 1 ? 4 ? 3 同理可得直线 PN 的方程为 x3 x ? y3 y ? ⑤, 把 P 点的坐标代入④、 ⑤得 ? 4 3 ?x x ? y y ? 3 1 3 1 ? 3 ?
所以直线 MN 的方程为 x1 x ? y1 y ? 所以 x1 ?

4 4 4 , 令 y ? 0 ,得 m ? ,令 x ? 0 得 n ? , 3 3x1 3 y1

4 4 4 2 4 ) ? 3( ) 2 ? 4 , 即可证明结果. , y1 ? 又点 P 在椭圆 C1 上,所以 ( 3m 3n 3m 3n
2分

试题解析:解: (Ⅰ)由题意得: c ? 1 所以 a 2 ? b 2 ? 1 又因为点 P(1, ) 在椭圆 C 上,所以 所以椭圆标准方程为

3 2

1 9 ? 2 ? 1 ,可解得 a 2 ? 4, b 2 ? 3 2 a 4b
4分

x2 y2 ? ? 1. 4 3

(Ⅱ)设直线 l 方程为 y ? kx ? 2 ,设 A( x1 , y1 ) 、 B( x2 , y2 )

? y ? kx ? 2 ? 由 ? x2 y 2 得: (4k 2 ? 3) x2 ? 16kx ? 4 ? 0 , ?1 ? ? 3 ?4
2 2 因为 ? ? 12k ? 3 ? 0 ,所以 k ?

1 , 4

6分

?16k 4 , x1 x2 ? 2 2 4k ? 3 4k ? 3 ??? ? ??? ? 因为 ?AOB 为锐角,所以 OA ? OB ? 0 , 即 x1 x2 ? y1 y2 ? 0 ,
又 x1 ? x2 ? 所以 x1 x2 ? (kx1 ? 2)(kx2 ? 2) ? 0 , 所以 (1 ? k 2 ) x1 x2 ? 2k ( x1 ? x2 ) ? 4 ? 0 .
2 所以 (1 ? k ) ?

8分

4 ?16k ? 2k ? 2 ?4?0 4k ? 3 4k ? 3
2



?12k 2 ? 16 4 1 4 ? 0 ,所以 k 2 ? .所以 ? k 2 ? , 2 3 4 3 4k ? 3
答案第 16 页,总 20 页

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解得 ?

2 3 1 1 2 3 ?k ?? 或 ?k? 3 2 2 3

9分

(Ⅲ)由题意: C1 :

x2 3 y 2 ? ? 1 设点 P( x1 , y1 ) , M ( x2 , y2 ) , N ( x3 , y3 ) , 4 4
1 kOM ?? x2 y2

因为 M , N 不在坐标轴上,所以 k PM ? ?

直线 PM 的方程为 y ? y2 ? ? 化简得: x2 x ? y2 y ?

x2 ( x ? x2 ) y2
11 分

4 3



同理可得直线 PN 的方程为 x3 x ? y3 y ?

4 ⑤ 3

4 ? x2 x1 ? y2 y1 ? ? ? 3 把 P 点的坐标代入④、⑤得 ? ?x x ? y y ? 4 3 1 3 1 ? 3 ?
所以直线 MN 的方程为 x1 x ? y1 y ? 令 y ? 0 ,得 m ? 所以 x1 ?

4 , 3

12 分

4 4 ,令 x ? 0 得 n ? , 3x1 3 y1

4 4 , y1 ? 又点 P 在椭圆 C1 上, 3m 3n 4 2 4 1 1 3 ) ? 3( ) 2 ? 4 , 即 2 ? 2 ? 为定值. 所以 ( 3m 3n 3m n 4
考点:1.椭圆的性质;2.直线与椭圆的位置关系. 21. (1) 0 ; (2) a ? [?1, ??) .

14 分

【解析】 试题分析:(1)根据导数和函数的单调性的关系即可求出;(2)对于恒成立的问题,分离 参数,构造函数,求出函数的最值即可. 试题解析: (1)当 a ? ?1 时, f ( x) ? ln x ?

f '( x) ?

1 1 x ?1 ? ? 2 , f ( x) 在 (0,1) 单调递减,在 (1, ??) 单调递增. x x2 x

1 ?1 , x

∴当 x ? 1 时, f ( x)min ? f (1) ? 0 . (2) f ( x) ? ln x ? a (1 ? ) ? 0 在 x ? 1 时恒成立,

1 x

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x ?1 a? ? ? ln x ? a?( x ? 1) ? ? x ln x . x 当 x ? 1 时, a ? 0 恒成立,∴ a ? R . x ln x 当 x ? 1 时, a ? ? . x ?1 x ln x ( x ? 1) , ( x ln x) ' ? ln x ? 1 , 令 g ( x) ? ? x ?1

g '( x) ?

?(ln x ? 1)( x ? 1) ? x ln x ln x ? x ? 1 . ? ( x ? 1)2 ( x ? 1) 2
1 1? x ?1 ? ?0, x x

令 h( x) ? ln x ? x ? 1 , h '( x) ?

∴ h( x) 在 (1, ??) 上单调递增, h( x) ? h(1) ? 0 . ∴ g '( x) ? 0 , g ( x) 在 (1, ??) 上单调递增,

g ( x) ? g (1) .
由洛必达法则: lim ?
x ?1

? x ln x ? lim( ? ln x ? 1) ? ?1 . x ?1? x ?1

∴ g ( x) ? ?1 , ∴ a ? ?1 ,即 a ? [?1, ??) . 考点: (1)利用导数研究函数的单调性; (2)恒成立问题.

x2 1 1 3 ? y 2 ? 1,是椭圆; 22. (I) (II) ? ? . 4 | PA | | PB | 2
【解析】 试题分析: (I)对曲线 C 两边乘以 ? 化为直角坐标为 x 2 ? y 2 ? 2 x ,经过平移和伸缩变换

后得到曲线 C1 的直角坐标方程为

x2 ? y 2 ? 1,这是焦点在 x 轴上的椭圆; (II)将直线 l 的 4

参数方程代入曲线 C1 的方程

13 2 x2 ? y 2 ? 1中, 化简得 t ? 12t ? 8 ? 0 , 写出根与系数关系, 4 4

t1 ? t2 ? ?

48 32 1 1 3 ? ? . , t1t2 ? ,结合 t 点的几何意义可求得 13 13 | PA | | PB | 2

试题解析: (I)曲线 C 的直角坐标方程为: x 2 ? y 2 ? 2 x ,即 ( x ?1)2 ? y 2 ? 1 ,

答案第 18 页,总 20 页

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∴曲线 C1 的直角坐标方程为

x2 ? y 2 ? 1, 4

∴曲线 C1 表示焦点坐标为 (? 3,0) , ( 3,0) ,长轴长为 4 的椭圆.

1 ? x ? t ? 2 ? (II)直线 l : ? ( t 是参数) ?y ? 3 ? 3 t ? ? 2
将直线 l 的方程代入曲线 C1 的方程 得

x2 ? y 2 ? 1中, 4

13 2 t ? 12t ? 8 ? 0 . 4

设 A, B 对应的参数方程为 t1 , t2 , 则 t1 ? t2 ? ?

48 32 , t1t2 ? , 13 13

结合 t 的几何意义可知,

48 1 1 | PA | ? | PB | | t1 | ? | t2 | | t1 ? t2 | 13 3 ? ? ? ? ? ? 32 2 | PA | | PB | | PA |? | PB | | t1t2 | | t1t2 | 13
考点:坐标系与参数方程. 23. (1) s ? 3 ; (2)证明见解析. 【解析】 试题分析: (1) 利用绝对值不等式的几何意义可得 f ?x? ? x ?1 ? x ? 2 ? x ?1 ? x ? 2 ? 3 , 从而可得 s 的值;(2)利用重要不等式 a ? b ? 2ab , a ? c ? 2ac , b ? c ? 2bc ,
2 2 2 2 2 2

可得

3 a2 ? b2 ? c2 ? a2 ? b2 ? c2 ? 2ab ? 2ac ? 2bc ? ?a ? b ? c? ? 9 ,于是可证的结论.
2

?

?

试题解析: (1) f ?x? ? x ?1 ? x ? 2 ? x ?1 ? x ? 2 ? 3 . ∴ s ? 3. (2)∵ a ? b ? c ? 3 ,∴ (a ? b ? c)2 ? a2 ? b2 ? c2 ? 2ab ? 2bc ? 2ac

? 3(a2 ? b2 ? c2 ) .
∴ a ?b ? c ? 3.
2 2 2

当且仅当 a ? b ? c ? 1 时取等号.
答案第 19 页,总 20 页

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考点: (1)不等式的证明; (2)函数的最值及其几何意义. 【一题多解】本题考查绝对值不等式的性质及应用,着重考查重要不等式的应用,考查推理 证明的能力,

x ? ?2 ?3 ? 考查转化思想.对于(1)还可采用:(1) f ( x) ? ??2 x ? 1 ? 2 ? x ? 1 ,当 x ? ?2 时,函 ??3 x ?1 ?
数 f ?x ? 的最大值为 3 ;当 ? 2 ? x ? 1 时,函数 f ?x ? 单调递减,故 f ?x?max ? f ?? 2? ? 3 ; 当 x ? 1 时, f ?x ? ? ?3 ;综上所述可得 s ? 3 .

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