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高二理科周练



高二理科周练(2017.1.7)
一、选择题 1、已知命题 (A) (C)

p: ? x ? R,使 tan x ? 1,其中正确的是
(B)

( )

?p: ? x ? R,使 tan x ? 1 ?p: ? x ? R,使 tan x ? 1
1 ?1 的 a

>?p: ? x ? R,使 tan x ? 1

? x ? R,使 tan x ? 1 (D) ?p:
( ) (D)既不充分也不必要条件 的值是 ( )

2、设 a ? R ,则 a ? 1 是 (A)充分但不必要条件 3、若 A.1

(B)必要但不充分条件(C)充要条件 ,那么

(1 ? 5x)9 ? a0 ? a1 x ? a2 x2 ? ...... ? a9 x9
B. 4
9

a0 ? a1 ? a2 ? ...... ? a9
9 D. 6

9 C. 5

4、随机变量 ? 服从二项分布 ? ~ B?n, p ? ,且 E? ? 300, D? ? 200, 则 p 等于(



A.

2 3

B.

1 3

C. 1

D. 0

5、 有一台X型号的自动机床在一个小时内不需要工人照看的概率为0.8, 有四台这种型号的机床独立的工作, 则在一小时内至多两台机床需要工人照看的概率为( A:0.1536 B:0.1806 C:0.5632 )

D:0.9728 ( )

6、 已知△ABC 的周长为 20,且顶点 B (0,-4),C (0,4),则顶点 A 的轨迹方程是 (A)

x2 y2 x2 y2 x2 y2 x2 y2 ? ? 1 (x≠0) (B) ? ? 1 (x≠0)(C) ? ? 1 (x≠0)(D) ? ? 1 (x≠0) 36 20 20 36 6 20 20 6 x2 y2 7、 已知点 F1、F2 分别是椭圆 2 ? 2 ? 1 的左、右焦点,过 F1 且垂直于 x 轴的直线与椭圆交于 A、B 两点,若△ a b

ABF2 为正三角形,则该椭圆的离心率 e 为
( A)





1 2

(B)

2 2
2 2

(C)

1 3

(D)

3 3
)

8、 “m>n>0”是“方程 mx +ny =1 表示焦点在 y 轴上的椭圆”的( A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 D.既 不充分也不必要条件 9、如图,在杨辉三角形中,斜线 l 的上方从 1 按箭头所示方向可以构 成一个“锯齿形”的数列:1,3,3,4,6,5,10,?,记此数列的前 n 项之和为 Sn ,则 S21 的值为( A.66B.153C.295D.361
1



10、从 5 位男教师和 4 位女教师中选出 3 位教师,派到 3 个班担任班主任(每班 1 位班主任) ,要求这 3 位班主任 中男、女教师都要有,则不同的选派方案共有 A.210 种 B.420 种 ( ) D.840 种

C.630 种

11、如图所示, “嫦娥一号”探月卫星沿地月转移轨道飞向月球,在月球附近一点 P 变轨 进入以月球球心 F 为一个焦点的椭圆轨道 I 绕月飞行,之后卫星在 P 点第二次变轨进入仍 以 F 为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月飞行,最终卫星在 P 点第三次变轨进入以 F 为圆形轨道 Ⅲ绕月飞行,若用 2c1 和 2c2 分别表示椭圆轨道 I 和Ⅱ的焦距,用 2a1 和 2a2 分别表示椭圆 轨道 I 和Ⅱ的长轴的长,给出下列式子: ① a1 ? c1 ? a2 ? c2 ; ② a1 ? c1 ? a2 ? c2 ; ③ c1a2 ? a1c2 ; ④ 其中正确式子的序号是() A.①③ () A.(0,1) B.(0, B.②③

c1 c2 ? . a1 a2
C.①④ D.②④

12. 已知 F1、F2 是椭圆的两个焦点.满足 MF1 · MF2 =0 的点 M 总在椭圆内部,则椭圆离心率的取值范围是

1 ] 2

C.(0,

2 ) 2

D.[

2 ,1) 2

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 13、在 △ ABC 中, AB ? BC , cos B ? ?

7 .若以 A,B 为焦点的椭圆经过点 C ,则该椭圆的离心率 e ? . 18


14、已知随机变量 X~ N (0,? 2 ) 且 P(?2 ≤ X ≤ 0) ? 0.4 则 P( X ? 2) ? 15、若 P( X ? 0) ? 1 ? p , P( X ? 1) ? p ,则 E (2 X ? 3) ?

x2 y 2 5 16、 已知椭圆 2 ? 2 ? 1(a>b>0) 的右焦点为 F,右准线为 l ,离心率 e= . 过顶点 A(0,b)作 AM ? l ,垂足为 M, a b 5
则直线 FM 的斜率等于. 17、编号为 1,2,3 的三位学生随意入坐编号为 1,2,3 的三个座位,每位学生坐一个座位,设与座位编号相同的 学生的个数是 ? . (1) 求随机变量 ? 的概率分布; (2)求随机变量 ? 的数学期望和方差。

n 3 18、已知 ( x ? x ) 的二项展开式中所有奇数项的系数之和为 512, 3 4 n 2 (1)求展开式的所有有理项(指数为整数) . (2)求 (1 ? x) ? (1 ? x) ? ?? (1 ? x) 展开式中 x 项的系数.

2

19、设 p :方程 x 2 ? mx ? 1 ? 0 有两个不等的负根, q :方程 4 x2 ? 4(m ? 2) x ? 1 ? 0 无实根, 若 p 或 q 为真,p 且 q 为假,求 m 的取值范围.

20. 已知椭圆 C 的两焦点分别为 F1 -2 2 , 0 、F2 2 2, 0 ,长轴长为 6, ⑴求椭圆 C 的标准方程; ⑵已知过点(0,2)且斜率为 1 的直线交椭圆 C 于 A 、B 两点,求线段 AB 的长度。

?

?

?

?

x2 y2 21、 如图,点 P(0,?1) 是椭圆 C1 : 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的一个顶点, C1 的长轴是圆 a b

y l1 D O B x P A
(第 21 题图)

C2 : x 2 ? y 2 ? 4 的直径. l1 , l2 是过点 P 且互相垂直的两条直线,其中 l1 交圆

C2 于两点, l 2 交椭圆 C1 于另一点 D
(1)求椭圆 C1 的方程; (2)求 ?ABD 面积取最大值时直线 l1 的方程.

l2

22、设椭圆 E :

x2 y2 ? ? 1的焦点在 x 轴上 a2 1 ? a2

(Ⅰ)若椭圆 E 的焦距为 1,求椭圆 E 的方程; (Ⅱ)设 F1 , F2 分别是椭圆的左、右焦点 , P 为椭圆 E 上的第一象限内的点 , 直线 F2 P 交 y 轴与点 Q , 并且

F1P ? FQ 1 ,证明:当 a 变化时,点 p 在某定直线上.
3

1 C

2 A

3 D

4 B

5 D

6 B

7 D

8 C

9 D

10 B

11 B

12 C

13、

3 14、0.1 8

15、 2 p ? 3 16、

1 2

17、解: (1) P(? ? 0) ?

1 C3 1 2 1 ; P ( ? ? 1 ) ? ? , P(? ? 2) ? 0 ; ? 3 3 A3 3 A3 2

P(? ? 3) ?

1 1 ? ;所以概率分布列为: 3 A3 6
0 1 2 0 3

?
P (2) E? ? 1 ?

1 3

1 2

1 6

1 1 ? 3 ? ? 1. 2 6 1 1 1 D(? ) ? (1 ? 0) 2 ? ? (1 ? 1) 2 ? ? (1 ? 2) 2 ? 0 ? (3 ? 1) 2 ? ? 1. 3 2 6

0 2 18、解: (1) Cn ? Cn ? ? ? 2n ?1 ? 512 ? 29

∴ n ? 1 ? 9 , n ? 10
r Tr ?1 ? C10 (

x)

10 ? r

(? x ) ? (?1)
3

r

r

10 ? r r ? r C10 x 2 3

? (?1)

r

r C10 x

5?

r 6

( r =0, 1, ?,10 )

r ∵ 5 ? ? Z,∴ r ? 0 ,6 6
0 5 6 4 有理项为 T1 ? C10 x ? x5 , T7 ? C10 x ? 210x4 ?????????? 6 分 r r ?1 r r ?1 r r (2)∵ Cn ? Cn ? Cn ? Cn ?1 ,∴ Cn ?1 ? Cn 2 2 2 3 3 3 3 3 3 x 2 项的系数为 C3 ? C4 ? ? ? C10 ? (C4 ? C3 ) ? (C5 ? C4 ) ? ? ? (C11 ? C10 ) 3 3 ? C11 ? C3 ? 164 ????????12 分

? ? ? m2 ? 4 ? 0 19、解:若方程 x ? mx ? 1 ? 0 有两个不等的负根,则 ? , ? x1 ? x2 ? ? m ? 0
2

…………2 分

所以 m ? 2 ,即 p : m ? 2 .
2

………………………………………………………3 分
2

若方程 4 x ? 4(m ? 2) x ? 1 ? 0 无实根,则 ? ? 16(m ? 2) ?16 ? 0 , 即1 ? m ? 3 ,

…………5 分

所以 p :1 ? m ? 3 . …………………………………………………6 分
4

因为 p ? q 为真,则 p, q 至少一个为真,又 p ? q 为假,则 p, q 至少一个为假. 所以 p, q 一真一假,即“ p 真 q 假”或“ p 假 q 真”. 所以 ? ……………………………8 分

?m ? 2 ? m?2 或? ? m ? 1或m ? 3 ?1 ? m ? 3

…………………………………………………10 分

所以 m ? 3 或 1 ? m ? 2 . 故实数 m 的取值范围为 (1, 2] ? [3, ??) . …………………………………………12 分

20、解:⑴由 F1 -2 2 , 0 、F2 2 2, 0 ,长轴长为 6 得: c ? 2

?

?

?

?

2, a ? 3 所以 b ? 1
…………………………………………………5 分

2 2 ∴椭圆方程为 x ? y ? 1 9 1

⑵设 A( x1, y1 ), B( x2 , y2 ) ,由⑴可知椭圆方程为 ∵直线 AB 的方程为

x2 y 2 ? ? 1 ①, 9 1
……………………………7 分

y ? x?2②

把②代入①得化简并整理得 10 x 2 ? 36 x ? 27 ? 0 ∴ x1 ? x2 ? ? 18 , x1 x2 ? 27
5 10
2 又 AB ? (1 ? 12 )(18 ? 4 ? 27 ) ? 6 3 52 10 5

……………………………10 分

21、 【答案】解:(Ⅰ)由已知得到 b ? 1 ,且 2a ? 4 ? a ? 2 ,所以椭圆的方程是

x2 ? y2 ? 1; 4

(Ⅱ) 因 为 直 线 l1 ? l2 , 且 都 过 点 P(0, ?1) , 所 以 设 直 线 l1 : y ? kx ? 1 ? kx ? y ? 1 ? 0 , 直 线

1 l2 : y? ? x ? 1 ? x ?k y? k 0 ,?所 以 圆 心 ( 0 , 0到 ) 直 线 l1 : y? k x ?1 ? k x ? k

的距离为 y ? 1 ? 0

d?

1 1? k2

,所以直线 l1 被圆 x2 ? y 2 ? 4 所截的弦 AB ? 2 4 ? d

2

?

2 3 ? 4k 2 1? k2

;

? x ? ky ? k ? 0 ? 由 ? x2 ? k 2 x 2 ? 4 x 2 ? 8kx ? 0 ,所以 2 ? ? y ?1 ?4
xD ? xP ? ? 8k 1 64k 2 8 k2 ?1 ? | DP | ? (1 ? ) ? ,所以 k2 ? 4 k 2 (k 2 ? 4) 2 k2 ? 4

S?ABD ?

1 1 2 3 ? 4k 2 8 k 2 ? 1 8 4k 2 ? 3 4 ? 8 4 k 2 ? 3 | AB || DP |? ? ? 2 ? ? 2 2 k ?4 k2 ? 4 4k 2 ? 3 ? 13 1? k2
5

?

32 4k 2 ? 3 4k 2 ? 3
2

?

13 4k 2 ? 3

?

32 4k 2 ? 3 ? 13 4k ? 3
2

?

32 2 13

?

16 13 , 13

当 4k ? 3 ?

13 4k 2 ? 3

? k2 ?

5 10 10 时等号成立,此时直线 l1 : y ? ? x ?1 ?k ?? 2 2 2

5 8x 2 8x 2 ?1. 22、 【答案】解:(Ⅰ)? a ? 1 ? a ,2c ? 1, a ? 1 ? a ? c ? a ? ,椭圆方程为: ? 8 5 3
2 2 2 2 2 2

(Ⅱ) 设F1 (?c,0), F2 (c,0), P( x, y),Q(0, m),则F2 P ? (x ? c, y),QF2 ? (c,?m) . 由 1 ? a 2 ? 0 ? a ? (0,1) ? x ? (0,1), y ? (0,1) .

?m(c ? x) ? yc F1 P ? ( x ? c, y), F1Q ? (c, m). 由F2 P // QF2 , F1 P ? F1Q得: ? ?c( x ? c) ? my ? 0

? x2 y2 ? ?1 ? 2 2 a 1 ? a ? ? ? ( x ? c)(x ? c) ? y 2 ? x 2 ? y 2 ? c 2 .联立? x 2 ? y 2 ? c 2 解得 ?a 2 ? 1 ? a 2 ? c 2 ? ? ?
2x 2 2y2 ? 2 ? ? 1 ? x 2 ? ( y ? 1) 2 . ? x ? (0,1), y ? (0,1) ? x ? 1 ? y 2 2 2 x ? y ?1 1? x ? y
所以动点 P 过定直线 x ? y ? 1 ? 0 .

6



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