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利息理论第四章 债务偿还



1.解:由 2000 ? an 0.12 ? 10000 得 an 0.12 ? 5 查表得:8<n<9 ∴[n]=8,则:
2000 ? a8 0.12 ? X ?1.12?9 ? 1000 X ? 179.47366

故: B5 ? 2000 ? a3 0.12 ? X ?1.12?4 ? 4917.72 2.解:设分十年均衡偿还的年金额为 Y,则
Y ? a10 0.08 ? X

Y?

X a10 0.08

由题意得:
X ?1.0810 ? X ? 10Y ? X ? 468.05 10 X ?1.0810 ? X ? 468.05 a10 0.08 X ? 700

3.解:由题意知每个季度的实际利率为 2.5%,设最初贷款额为 X,则
X ?1.0254 ? 1500 ? s4 0.025 ? 12000 X ? 16514.375

4.解:由题意得
( X ?10000i) ? s10 0.08 ? 10000

X?

10000 ? 10000i ……① s10 0.08

( X ?10000i) ? s10 0.08 ? (1.5 X ? 20000i) ? s10 0.08
0.5 X ? 10000i ……②

把①代入②得:
5000 ? 5000i ? 10000i 14.48656 1 i? ? 0.0690 14.48656

5. 未来法: 2000 ? s8 i ? 1000 ? a3i 过去法 (2000 ? a15i ?1000 ? a10 i ?1000? a5i ) ? (1? i)7 ? 4000? s5i ? (1? i)2 ? 3000? s2 i

6.解:
Bt ? an ?t Bt ?1 ? an ?t ?1 Bt ? 2 ? an ?t ? 2 Bt ?1 ? an ?t ?3

⑴对于 (Bt ? Bt ?1 )(Bt ?2 ? Bt ?3 ) ? (Bt ?1 ? Bt ?2 )2
1 ? v n?t 1 ? v n?t ?1 1 ? v n?t ?2 1 ? v n ?t ?3 v n ?t (v ?1 ? 1) v n ?t ? 2 (v ?1 ? 1) v 2n? 2t ? 2 (v ?1 ? 1)2 ( Bt ? Bt ?1 )( Bt ? 2 ? Bt ?3 ) ? ( ? )( ? )? ? ? i i i i i i i2

1 ? v n?t ?1 1 ? v n ?t ?2 2 v n ?t ?1 (v ?1 ? 1) 2 v 2 n ?2t ?2 (v ?1 ? 1)2 ( Bt ?1 ? Bt ? 2 )2 ? ( ? ) ?( ) ? i i i i2

所以
( Bt ? Bt ?1 )(Bt ?2 ? Bt ?3 ) ? (Bt ?1 ? Bt ?2 )2

⑵对于 Bt ? Bt ?3 ? Bt ?1 ? Bt ?2 因为

Bt ? Bt ?3 ? ( Bt ?1 ? Bt ? 2 ) ? Bt ? Bt ?3 ? Bt ?1 ? Bt ? 2 1 ? v n ?t 1 ? v n ?t ?3 1 ? v n?t ?1 1 ? v n?t ? 2 ? ? ? i i i i n ?t ?1 ?3 ?2 v (?1 ? v ? v ? v ) ? i n ?t ?1 v [(?1 ? v ) ? v ?2 (?1 ? v ?1 )] ? i n ?t ?1 v (v ? 1)(1 ? v ?2 ) ? i n ?t v ? 0, (1 ? v ?2 ) ? 0, (v ?1 ? 1) ? 0 ?

所以
Bt ? Bt ?3 ? Bt ?1 ? Bt ?2

7.解:设月实际利率为 j,则
(1 ? j ) ?1 ? (1 ? i ) B40 ?
? 1 12

? 1.5

?

1 48

100000 1 ? v80 ? a80 j ? 100000 ? ? 77103.81 a120 j 1 ? v120

8.解:由题意知前 12 次的季实际利率为 0.03,调整后的季实际利率 为 0.035,则
23115?1.0312 ?1.03512 ?1000? s12 0.03 ?1.03512 ?1000? s12 0.035 ? 13752.39

9.解:由题意,设第 k 年末的偿还额 X 中有 利息部分 I R ? a20?k ?1 0.09 ? X ? (1? v20?k ?1 ) 本金部分 BR ? X ? I R ? X ? v20?k ?1


BR ? X ? I R ? X ? v 20? k ?1 (1 ? v 20? k ?1 ) ? X ? X ? v 20? k ?1 1.09? (20? k ? ) ? 0.5 ln 0.5 20 ? k ? ? ln1.09?1 k ? 13

10.解:设 (1 ? i)?6 ? X ,第 9 年的付款额为 Y
1000 ? (1 ? i)?6 ? 1366.87 ? (1 ? i) ?12 ? 1000 X ? 1.36687 X 2 ? 1 ? 0

,则由题意得

取 X≈0.5644736 即 (1 ? i)?6 ? 0.5644736 ∴
1000 ? (1 ? i)?6 ? Y ? (1 ? i )?9 ? 1000 1000 ? 0.5644736 ? Y ? 0.5644736 ? 1000 Y ? 1026.95
3 2

11.解:设每次的偿还额为 X,由题意知季实际利率为 2.5%,则
X ? v18 ? 100 X ? 100 ?1.02518 ? 155.96587 B15 ? 155.96587 ? a5 0.025 ? 724.59

12.解:设 n 为变化的第 7 次后的剩余还款时间。 解: s7 ? v20?8?1 ? a20 (1? i)7 ? an ( k 为剩余还款数)

解得:n=12 原利息 I1 ? 20 ? a20 改变后的利息 I2 ? 7 ? x ? k ? a20
? 节省利息 I1 ? I 2 ? 13 ? x ? k ? 13 ? v13 ?12 ? 1? v13

13.解:设每年的还款额为 k,则
I8 ? k ? i ? a35?8?1 ? k ? (1? v35?8?1 ) ? 135……①
I 22 ? k ? (1 ? v35?22?1 ) ? 108
k? 108 ……② 1 ? v14

把②代入①:
108 ? (1 ? v 28 ) ? 135 1 ? v14 135 v14 ? ? 1 ? 0.25 108 108 k? ? 144 1 ? 0.25


I29 ? k ? (1? v7 ) ? 144 ? (1? 0.25) ? 72

14.

15.解:设月实际利率为 j,则

(1 ? j )12 ? 1.05 (1 ? j ) ?1 ? 1.0512 Pv ? 1.002 Pv 2 ? ??? ? 1.002359 Pv360 ? Pv[1 ? 1.002v ? ??? ? (1.002v)359 ] 1 ? (1.002v)360 1 ? (1.002v) ? 125000 P ? 493.85 ? Pv ?
1

16.由题意知半年的实际利率为 ,则
i P8 ? v10?8?1 ? v3 ? (1 ? ) ?3 2

17.解:设 Pi 为第 i 次还款中的本金,则
P3 ? 3000 ? v n ?3?1 ? 1000 1 vn ? ? v2 3 1 P6 ? 3000 ? v n ?6?1 ? 3000 ? v n ? v ?5 ? 3000 ? ? v 2 ? v ?5 ? 1344.89 3

18.解:设季实际利率为 j,则
(1 ? j ) 4 ? 1.08 j ? 0.0194265 I ? 500 ? 40 ? 500 ? a40 j ? 6183.69

19.解:设月实际利率为 r 且每月的付款额原本为 X,再设 10 年后仍 需 n 年去还清这笔贷款。

(1 ? r )12 ? 1.05 r ? 0.004074 X ? a360 r ? 100000 X ? 530.055 530.055 ? a240 r ? (530.055 ? 325.4) ? an r n ? 120

故所求 I ? 530.055 ? 240 ? 325.4 ?120 ? 100000 ? 66261.2

20.解: 乙贷款总额为 B0 ? 200v ? (200 ?10)v2 ???? ? (200 ?10 ? 9)v10 ? 1860.867465 利用 EXCEL 表格得 期数 还款额 还款额中的利息部 分 0 1 2 3 4 5 0 200 210 220 230 240 即:B5≈66.89 0 93.04337323 87.69554189 81.58031899 74.65933493 66.89230168 还款额中的本金部 分 0 1860.867465 106.9566268 1753.910838 122.3044581 1631.60638 贷款余额 Bn

138.419681 1493.186699 155.3406651 1337.846034 173.1076983 1164.738335

21.解:

Ia10 ? Pv ? 2 Pv 2 ? ??? ? 10 Pv10 P( Ia10 ) ? i ? P 1 Ia10 ? ? a? i

22.解:
B5 ? 5v ? 4v 2 ? ??? ? v5 (1 ? i) B5 ? 5 ? 4v ? ??? ? v 4 ?iB5 ? ?5 ? v ? ??? ? v5 B5 ? 5? v? i 5? v? 1 ? v5 5 1? v ? 5 ? 1? v ? 5 ? a 5 i i 1 ? v5 1? v

I 6 ? i ? B5 ? i ?

23.解: ⑴ B3 ? 2000 ?1.13 ? 400 ?1.12 ? 400 ?1.04 ?1.1 ? 400 ?1.042 ? 1287.76 ⑵
B2 ? 2000 ?1.12 ? 400 ?1.1 ? 400 ?1.04 ? 1564 P3 ? 400 ?1.042 ? 1564 ? 0.1 ? 276.24

24.

25.解:设第 6 年至第 10 年的利息支出额为 I,则
1 ? v20 ? 1 ? v15 v15 ? v 20 I ? 5 ? (a 20 ? a15 ) ? 5 ? ( ) ? 5?( ) ? 2.8658 ? ln(1 ? i)

26.证明:

a n ?t 1 ? v n ?t 1 ? ? ? an an ?t ?t 1 ? v ? v ? v n ?t 1 ? ? ? an ?t n ?t v (1 ? v ) v ? 1 1 ?[ ? ]? ? ? an 1 ? [v ? t ? a n ? s n ] ? an ? (1 ? i )t ? sn an

解释? 27. 解:
Bt ? 1 ? 0.1t

(1) B5 ? 1 ? 0.1? 5 ? 0.5 前 5 年还款本金为: 1 ? B5 ? 0.5 (2) ?0 ? Bt dt ? ?0 0.1(1 ? 0.1t )dt ? 0.375
5 5

28.解:

期间 0 1 2 3 4

每次支出额

利息部分

存入基金部分 基金利息收入

基金总额

740.1196 740.1196 740.1196 740.1196

500 500 500 500

240.1196 240.1196 240.1196 240.1196

0 9.604784 19.59375936 29.98229373

240.1196 489.843984 749.5573434 1019.659237

5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25

740.1196 740.1196 740.1196 740.1196 740.1196 740.1196 740.1196 740.1196 740.1196 740.1196 740.1196 740.1196 740.1196 740.1196 740.1196 740.1196 740.1196 740.1196 740.1196 740.1196 740.1196

500 500 500 500 500 500 500 500 500 500 500 500 500 500 500 500 500 500 500 500 500

240.1196 240.1196 240.1196 240.1196 240.1196 240.1196 240.1196 240.1196 240.1196 240.1196 240.1196 240.1196 240.1196 240.1196 240.1196 240.1196 240.1196 240.1196 240.1196 240.1196 240.1196

40.78636948 52.02260826 63.70829659 75.86141246 88.50065296 101.6454631 115.3160656 129.5334922 144.3196159 159.6971845 175.6898559 192.3222342 209.6199075 227.6094878 246.3186513 265.7761814 286.0120127 307.0572772 328.9443522 351.7069103 375.3799708

1300.565207 1592.707415 1896.535311 2212.516324 2541.136577 2882.90164 3238.337306 3607.990398 3992.429614 4392.246398 4808.055854 5240.497688 5690.237196 6157.966284 6644.404535 7150.300316 7676.431929 8223.608806 8792.672758 9384.499269 9999.99884

第 13 次付款中的净利息与第九年偿债基金的增长额之和为:

(500-144.3196159)+(240.1196+88.50065296)≈684.30

29.解:设借款人第 5 年末的总支出额为 Y,则
10000 Y ? 10000 ? ( ?s ?1.03) ? 500 ? 4.18363 s10 0.03 10 0.03

30.解:
(1) I1 ? 10000 ? 0.1 ? 1000 (2) P 1 ? 1500 ? 1000 ? 500 (3) I 2 ? 1000 ? 5000 ? 0.08 ? 600 (4) P2 ? 1500 ? 600 ? 900 (5)5000 ? 1.08 ? 500 ? 5900
an j 1 ? (i ? j )an j

31.解:查书可知 an i & j 被定义为: an i& j ?
an i & j ? ? ? ? an j 1 ? (i ? j )an j an j ? (1 ? j ) n (1 ? j ) n ? (i ? j )an j ? (1 ? j ) n sn j (1 ? j ) ? i ? sn j ? (1 ? j ) n ? 1
n

,则

sn j 1 ? isn j

32.解:
X ? (1.0710 ? 1.079 ? ??? ? 1.07) ? 10000 1 ? 1.0710 ? 10000 1 ? 1.07 X ? 676.43 X ?1.07 ?

33.解: 设对于分期偿还方式每年的偿还额为 A, 对于偿债基金方式每 年的偿还额为 B,则

A ? B ? 1000 A ? a10 0.05 ? (B ? X 2

X X ? 0.05) ? s10 0.04 ? 2 2 X A ? a10 0.05 ? ( B ? ? 0.05) ? s10 0.04 ? X 2 A ? a10 0.05 ? (1000 ? A ? A ? a10 0.05 ? 0.05) ? s10 0.04 ? 2 ? A ? a10 0.05 a10 0.05 s10 0.04

(1000 ? A ? A ? a10 0.05 ? 0.05) ? s10 0.04 ? A ? a10 0.05 1000 ? ( ? 0.05 ? a10 0.05 ? 1) ? A

A ? 492.769


X ? 2 ? A? a10 0.05 ? 7610.48

34.解:设所求差额为 Y,则
Y ? (1000 ?12000 ? 0.06) ? s10 0.04 ?1.0410 ? (1000 ?12000 ? 0.05) ? s10 0.04 ?12000 ? 2221.40

35.解:设所求利率为 i,则
(36000 ? 400000i) ? s31 0.03 ? 400000 i ? 0.07

36.解:由题意得

( X ? 5000) ?1.0319 ? ( X ? 5000 ? 50) ?1.0318 ? ??? ? ( X ? 5000 ? 50 ? 19) ? 100000 ( X ? 5000) ? (1.0319 ? 1.0318 ? ??? ? 1) ? 50 ? (1.0318 ? 1.0317 ? 2 ? ??? ? 19) ? 100000 ( X ? 5000) ?1? X ? 8295.43 1 ? 1.0320 ? 50 ? 1 ? 1.03 1.03 ? 1 ? 1.0319 ? 19 1 ? 1.03 ? 100000 0.03



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