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4导数的概念、导数的运算检测题



导数的运算检测题
1.若一质点按规律 s ? 8 ? t 运动,则在一段时间 [2, 2.1] 中相应的平均速度是(
2

) .

A. 4

B. 4.1

C. 0.41
h ?0

D. ?1.1 ) .

2.若函数 y ? f ( x) 在 x ? x0 处可导,则 lim A.与 x0 , h 都有关 C.仅与 h 有关,而与 x0 无关 3.已知函数 f ( x) ? x ,则 f ?( 2) =( A. 0
2

f ( x0 ? h) ? f ( x0 ) ( h

B.仅与 x0 有关,而与 h 无关 D.与 x0 , h 均无关 ) . C. 2 ) . B. y ? 2 x cos x ? x sin x
' 2

B. 1

D. ?1

4.函数 y ? x cos x 的导数为( A. y ? 2 x cos x ? x sin x
' 2

C. y ? x cos x ? 2 x sin x
' 2

D. y ? x cos x ? x sin x
' 2

5.若曲线 y ? h( x) 在点 P(a, h(a)) 处切线方程为 2 x ? y ? 1 ? 0 ,则( A. h ( a ) ? 0
'

) .

B. h ( a ) ? 0
' '

C. h (a) ? 0
'

D. h ( a ) 的符号不定

'

6.函数 y ? x 3 的导数 y ? ( A.

2

) . C.

1 3 x
3

B.

2 3 x
3

4 3 x
3

D.

3

1 x
2

7.一质点做直线运动,若它所经过的路程与时间关系为 s(t ) ? 4t ? 3 ,则 t ? 5 时的 瞬时速率为( ) . A. 37 B. 38 8.下列求导数运算正确的是( A. ( x ? ) ? 1 ?
'
x ' x

C. 39 ) . B. (log 2 x) ?
'
2 '

D. 40

1 x

1 x2

1 x ln 2

C. (3 ) ? 3 log 3 e

D. ( x cos x) ? ?2 x sin x

1

9.若函数 f ( x) ? A. ?5

1 3 x ? f ' (?1) x 2 ? x ? 5 ,则 f ' (1) ? ( 3
B. 5 C. ?6 D. 6

) .

m 10.设函数 f ( x) ? x ? tx 的导数 f ?( x) ? 2 x ? 1,则数列 ?

? 1 ? ? (n ? N *) 的前 n 项 ? f ( n) ?

和为(

) . B.
2

n ?1 A. n

n ?1 n

C.

n n ?1

D.

n?2 n ?1

11.过曲线 y ? x 上两点 P(1,1) 和 Q(1+?x, 1+?y) 作曲线的割线,当 ?x ? 0.1 时割线 的斜率为_________. 12.函数 y ?

sin x 的导数为_________________. x
3 2

13.曲线 y ? x ? 6 x ? x ? 6 的斜率最小的切线方程为_________. 14.设质点做直线运动,已知路程 s 与事件 t 的函数为 s ? 3t 2 ? 2t ? 1. (1)求从 t ? 2 到 t ? 2 ? ?t 的平均速度,并分别求 ?t ? 1, ?t ? 0.1 与 ?t ? 0.01时的平均速度; (2)求 t ? 2 时的瞬时速度.

15.已知曲线 y ? x ? x ? 2 在点 P0 处的切线 l1 平行于直线 4 x ? y ? 1 ? 0 ,
3

且点 P0 在第三象限. (1)求 P0 的坐标; (2)若直线 l ? l1 , 且 l 也过切点 P0 ,求直线 l 的方程.

2

答案与解析

A组
1.B 2.B 3.B 4.A 5. A

v?

(8 ? 2.12 ) ? (8 ? 22 ) ? 4.1 . 2.1 ? 2

f ?( x0 ) 仅与 x0 有关.

f ?( x) ? x? ? 1 , f ?( 2) ? 1 .
y? ? ( x 2 cos x)? ? ( x 2 )? cos x ? x 2 (cos x)? ? 2 x cos x ? x2 sin x .
由导数几何意义可知, 又由切线方程 2 x ? y ? 1 ? 0 h (a ) 是曲线在点 P 处切线的斜率,
'

可知其斜率为 ?2 ,所以 h (a) ? ?2 ? 0 .
'

6.B

2 ?1 2 1 2 y ? (x ) ? x 3 ? ? 3 ? 3 . 3 3 x 3 x
'

2 3 '

7. 2.1

k?

?y (1 ? ?x) 2 ? 12 ? ? 2 ? ?x ? 2.1 . ?x ?x y' ? (sin x)' x ? sin x ? ( x)' x cos x ? sin x ? . x2 x2

8.

x cos x ? sin x x2

9.解: y? ? lim

?x ?0

( x ? ?x)3 ? x 3 f ( x ? ?x) ? f ( x) ? lim ?x ?0 ?x ?x (?x)3 ? 3x 2 (?x) ? 3x(?x) 2 ? lim ?x ?0 ?x
? lim[(?x) 2 ? 3 x 2 ? 3 x(?x)]
?x ? 0

? 3x 2 .
10.解: (1)与(2)是常数的导数,结果应该等于零; (3)应该是 (cos x) ? ? sin x ;
'

3

(4)应该是 (2 ) ? 2 ln 2 ;
x ' x

(5)应该是 f (? ) ? (sin x) |x ?? ? cos x |x ?? ? ?1 .
' '

B组
1.D 设物体在时刻 5 时的瞬时速度为 ? (5) ? lim 2.B 3.B 4.D 熟记导数公式及运算法则.

[4(5 ? ?t )2 ? 3] ? [4 ? 52 ? 3] ? 40 . ?t ?0 ?t

y? ? cos(3x ? )(3x ? )' ? 3cos(3x ? ) . 4 4 4
f ' ( x) ? x 2 ? 2 f ' (?1) x ? 1 , f ' (?1) ? 1 ? 2 f ' (?1) ? (?1) ? 1,即 f ' (?1) ? ?2 ,
得 f ( x) ? x ? 4 x ? 1 ,即 f (1) ? 6 .
' 2

?

?

?

'

5.B 6.C

f ' ( x) ?

1 3 . ? (2 ? 3x)' ? 2 ? 3x 3x ? 2

f ' ( x) ? ( x m ? tx)' ? mx m?1 ? t ? 2 x ? 1,得 m ? 2, t ? 1,即 f ( x) ? x 2 ? x ,

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 n , Sn ? 1 ? ? ? ? … ? ? . ? ? ? ? 1? ? f (n) n(n ? 1) n n ? 1 2 2 3 n n ?1 n ?1 n ?1
7. t ? 2 由导数的概念可求出 S ? ? ?8t ? 16 ,由 ?8t ? 16 ? 0 得 t ? 2 .
2 y' ? 3 x2 ?1 2x ? 1 ? 3 x ( ? 2 )? 1 3 ? ? 1 3 x ? 2 时, ,即当

8. 13 x ? y ? 14 ? 0

斜率最小值为 ?13 ,此时切点为 (2, ?12) ,即 y ? 12 ? ?13( x ? 2) , 13 x ? y ? 14 ? 0 . 9.解: (1)∵ ?s ? 3(2 ? ?t ) 2 ? 2(2 ? ?t ) ? 1 ? (3 ? 2 2 ? 2 ? 2 ? 1) ? 14?t ? 3(?t ) 2 , ∴从 t ? 2 到 t ? 2 ? ?t 的平均速度 v ?

?s ? 14 ? 3?t ; ?t

当 ?t ? 1 时, v ? 17 ;当 ?t ? 0.1 时, v ? 14.3 ; 当 ?t ? 0.01时, v ? 14.03 . (2) t ? 2 时的瞬时速度 v ? lim

14?t ? 3(?t ) 2 ?s ? lim ? lim (14 ? 3?t ) ? 14 . ?t ?0 ?t ?t ?0 ?t ?0 ?t
4

10.解: (1)由 y ? x ? x ? 2 ,得 y ? 3x ? 1,
3 ' 2

由已知得 3x 2 ? 1 ? 4 ,解之得 x ? ?1 , 当 x ? 1 时, y ? 0 ;当 x ? ?1 时, y ? ?4 , 又∵点 P0 在第三象限, ∴切点 P0 的坐标为 (?1, ?4) ; (2)∵直线 l ? l1 , l1 的斜率为 4 , ∴直线 l 的斜率为 ?

1 , 4

∵ l 过切点 P0 点 P0 的坐标为 (?1, ?4) , ∴直线 l 的方程为 y ? 4 ? ?

1 ( x ? 1) ,即 x ? 4 y ? 17 ? 0 . 4

C组
1.解: (1) y? ? (e )? ? e (2 x)? ? 2e ;
2x 2x

2x

(2) y? ? (log 2 (2 x ? 1))?

?

1 (2 x ? 1)? (2 x ? 1) ln 2 2 . (2 x ? 1) ln 2
a2 ), x0

?

2.证明:设曲线上任意的切点为 P ( x0 ,

∵y ??
'

a2 a2 a2 a2 ' y ? ? ? ( x ? x0 ) , y | ? ? ,∴ ,所求切线的方程为 x ? x0 x0 x0 2 x0 2 x2

2a 2 ), 则该切线与 x 轴, y 轴分别交于 (2 x0 , 0), (0, x0
5

显然三角形的面积为 所以命题得证.

1 2a 2 | 2 x0 | ? | |? 2a 2 为常数, 2 x0

6



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