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第3讲 命题及其关系、充分条件与必要条件



江门市棠下中学

高中数学(文科)第一轮总复习

第一部分

集合与常用逻辑用语

第三讲:命题及其关系、 充分条件与必要条件
学习目标
1. 了解命题的概念和构成。 2. 掌握四种命题及其相互关系。 3. 理解充分条件、必要条件与充要条件的意义, 能初步判断给定的两个命题的关系。



C、若 f (- x) 是奇函数,则 f ( x ) 是奇函数 D、若 f (- x) 不是奇函数,则 f (- x) 不是奇函数 4、对于命题“正方形的四个内角相等” ,下面判断 正确的是(B ) A、所给命题为假 B、它的逆否命题为真 C、它的逆命题为真 D、它的否命题为真 5、 已知 p :| x |? 2 ,q : 0 ? x ? 2 , 则 p 是q 的 (B ) A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

自主建构 一、要点预览
1、命题的概念 可以 叫做命题,命题由 和 两部分构成;判断为 的语句叫做真 命题,判断为假的语句叫做 命题。 2、四种命题及其关系
原命题 若p则q 互逆 互 为 为 互 否命题 若﹁p 则﹁q 逆 逆 否 逆命题 若q则p

金典例题
题型 1:四种命题的关系及真假的判断 例 1 写出下列命题的逆命题、否命题与逆否命 题,并分别判断真假: (1) 若 x 2 - 2 x - 3 > 0 ,则 x > 3或x < - 1 。 (2) 已知 a, b, c, d 是实数,若 a = b, c = d , 则a+ c = b+ d 。

互 否

互 否
否 逆否命题 若﹁q 则﹁p

互逆

3、充分条件、必要条件、充要条件 (1)如果 p ? q ,那么 p 是 q 的 条件,同 时q 是 p 的 条件; (2)如果 p ? q 且 q ? p ,则 p 是 q的 条件;如果 p ? q 且 q ? p ,则 p 是 q 的 条件; (3)如果 p ? q 且 q ? p ,即 p ? q 则 p 是 q 的 条件。 (4)如果 p ? q 且 q ? p ,则 p 是 q 的 条件。 二、课前小测 1、下列命题中是假命题的是( B )

? ? ? ? ? ? B、若 | a |= | b | ,则 a = b 2 2 C、若 ac > bc ,则 a > b D、 5 > 3 2 2、 “ x = 0 ”是“ x - x = 0 ”的(A )
A、若 a ? b ? 0 ,则 a ^ b A、充分不必要条件

点评: 写出一个命题的逆命题、 否命题和逆否命题, 关键是找出原命题的条件 p 与结论 q ;原命题与其 逆否命题互为等价命题,逆命题与否命题互为等价 命题。当一个命题的真假不易判断时,往往可以判 断其逆否命题的真假,从而判断出原命题的真假。 【变式迁移】 1、给出命题:若函数 y = f ( x) 是幂函数,则函 数 y = f ( x) 的图象不过第四象限,在它的逆命 题、否命题、逆否命题 3 个命题中 ,真命题的 个数是(C ) A、3 B、2 C、1 D、0 题型 2:充分条件、必要条件与充要条件的判断 例 2 “m <

B、必要不充分条件

C、充要条件 D、既不充分也不必要条件 3、命题“若 f ( x ) 是奇函数,则 f (- x) 是奇函数” 的否命题( B ) A、若 f ( x ) 是偶函数,则 f (- x) 是偶函数 B、若 f ( x ) 不是奇函数,则 f (- x) 不是奇函数
1

1 ”是“一元二次方程 x2 + x + m 4
B、必要不充分条件

= 0 ”有实根的(A )
A、充分不必要条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

2015 年





班级:

姓名:

2016 届高考文科数学复习资料

点评: 判断充要条件时,要注意如下方法与技巧: (1) 注意将条件和结论等价化简,再根据定义 进行判断; (2) 利用集合中的包含关系与充要条件之间的 关系进行判断。 【变式迁移】 2、设 x ,y ? R ,则“ x ? 1 且 y ? 2 ”是“ x ? y ? 3 ”的 ( ) A、充分不必要条件 B、必要不充分条件
C、充要条件 D、既不充分也不必要条件 题型 3:充分条件与必要条件的应用 例 3(2014· 兰州调研)“x∈{3,a}”是不等式 2x2 -5x-3≥0 成立的一个充分不必要条件, 则实数 a 的取值范围是 。 1 略解:由 2x2-5x-3≥0 得 x≤-2或 x≥3. ∵x∈{3, a}是不等式 2x2-5x-3≥0 成立的 一个充分不必要条件,又根据集合元素的互异性 a≠3, 1 ∴a≤-2或 a>3. 【变式迁移】 3、 已知 p: -2 ? x ? 10,q:-m ? x ? 1+m(m>0), 若?p 是 ? q 的必要不充分条件, 求实数 m 的取值范围。

当堂检测
1、下列命题是真命题的为(A )

1 1 = ,则 x = y x y 2 B、若 x = 1 ,则 x = 1 C、若 x = y ,则 x = y
A、若 D、若 x < y ,则 x2 < y 2 2、若 a ? R ,则 “ a = 2 ”是 “ (a - 1)(a - 2) = 0 ” 的(A ) A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件
2 3、 “ m ? 2 ”是“一元二次不等式 x ? mx ? 1

? 0 的解集为 R”的(B )
A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件 4、在 ?ABC 中, “ A = 60 ”是“ cos A =
o

1 ”的 2

( C ) A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件 5、命题“若 ? = ( )

?
4

,则 tan a = 1 ”的逆否命题是

A、若 ? ? B、若 ? =

?
4

,则 tan ? ? 1 ,则 tan ? ? 1

?

4

C、若 tan ? ? 1 ,则 ? ? D、若 tan ? ? 1 ,则 ? =

?
4

?

4

课后作业
1、给出如下四个命题: ①若“ p 且 q ”为假命题,则 p 、 q 均为假命题;

总结提升(学习小结)
1、 一个命题和它的逆否命题同真假,而与它的其 他两个命题的真假无此规律,判断一个命题为 真必须经过证明,而判定一个命题为假只需举 一个反例就行。 2、 判断充分条件和必要条件时,常用以下几种方 法: (1) 定义法:判断 A 是 B 的什么条件,实际就 是判断 A ? B 或 B ? A 是否成立。 (2) 转换法:利用逆否命题进行判断 (3) 集合法:利用集合的包含关系判断。

②命题“若 a ? b ,则 2a ? 2b ? 1 ”的否命题为“若 a ? b ,则 2a ? 2b ? 1 ” ;
1 1 ? ” ③ “ ?x ? R, x2 ? 的否定是 “ ?x ? R, x2 ? 1 ? 1 ” ;

④“ x ? 0 ”是“ x ?

1 ? 2 ”的充分必要条件 x


其中正确的命题个数是( C

A. 、 4

B 、3

C 、2

D 、1

2



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