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2.5。一元二次不等式的解法(2)



本节课学习内容:

2.3 一元二次不等式解法(2)
学习目标:
要求同学们: 1、理解二次函数和一元二次不等式的有关概念; 2、掌握求解一元二次不等式 (△≤ 0) 的解集的方法。

一、复习

一元二次不等式的解法:

ax2 + bx + c > 0( a >

0) ax2 + bx + c < 0 ( a > 0)

步骤: (1) 二次项系数化为正数; (2) 令:ax2 + bx + c = 0 (3) 求出 △= b2 - 4ac (4) 当△>0时, 由因式分解或求根公式:
x1、2 ? b ? b 2 ? 4ac ? 2a ( x1 ? x2 ) 求出方程的根
当y>0时

(5)写出结论:ax2 + bx+c > 0的解集为:

{x\ x<x1 或 x > x2}。
也可以写成 (- ∞,
x1) ∪(x2,+ ∞)

ax2 + bx+c < 0的解集为:

0 x1

x2
当y<0时

{x\ x1 <x < x2} 。也可以写成 ( x1 ,x2)

新 课 一、一元二次不等式(△≤ 0)的解法:
ax2 + bx + c >(≥) 0( a > 0) ax2 + bx + c < (≤) 0 ( a > 0) 令:ax2 + bx + c = 0

(1) 当 △= b2 - 4ac = 0时
由求根公式:x1、2
b ?? 2a ( x1 ? x2 )

x1=x2 无
x1) ∪(x1,+ ∞) + ∞)

结论:ax2 + bx+c > 0的解集为: {x|x≠x1,x∈R} 也可以写成 (- ∞, ax2 + bx+c ≥ 0的解集为:{x|x∈R} ax2 + bx+c < 0的解集为:φ ax2 + bx+c ≤ 0的解集为:{x|x=x1}

也可以写成 (- ∞,

(2) 当 △= b2 - 4ac < 0



方程ax2 + bx + c = 0无解 结论:ax2 + bx+c > (≥) 0的解集为:R 也可以写成 (- ∞, + ∞) ax2 + bx+c < (≤) 0的解集为:φ 无

实例
例1、解不等式 (1) x2 - 6x + 9 > 0 (2) x2 - 6x + 9 ≥ 0

例2、解不等式 (1) 6x - x2 - 9 > 0 (2) 6x -x2 - 9 ≥ 0

例3、解不等式 (1) x2+ 5x + 9 < 0 (2) x2+ 5x + 9 > 0

例1、解不等式 (1) x2 - 6x + 9 > 0 (2) x2- 6x + 9 ≥ 0
解: (1) 因为△=(-6)2 - 4×1×9 = 0, 由方程x2 - 6x + 9 =(x-3)2= 0 得x = 3 所以,不等式的解集是{ x |x ≠ 3 } 即 (- ∞,3)∪(3,+ ∞) 解: (2) 因为△ = (-6)2 - 4×1×9 = 0, 由方程 x2 - 6x + 9 = (x-3)2 = 0 得x = 3 所以,不等式的解集是 {x |x ∈R } 即 (- ∞,+ ∞)
-2 -2 0

3

x

0

3

x

例2、解不等式 (1) 6x - x2 - 9 > 0 (2) 6x -x2 - 9 ≥ 0
解(1) ∵a=-1 , ∴两边乘以 – 1 得 x2 – 6x + 9 < 0 又∵ △=(- 6 ) 2 - 4×1× 9 =0, ∴ 由x2 - 6x+9=(x – 6 )2=0 得方程的解为 x=3

不等式x2 – 6x + 9<0 的解集是 φ.
从而,原不等式的解集是 φ. (2) ∵a=-1 , ∴两边乘以-1得 x2 – 6x + 9 ≤0
0 3

x

因为方程 x2 – 6 x + 9 = 0 的解是 x = 3. 从而,原不等式的解集是 { x | x = 3 }

例3、解不等式 (1) x2+ 5x + 9 < 0 (2) x2+ 5x + 9 > 0 解(1) 令: x2 +5x+9=0

因为△=52- 4×1×9 = -11<0,

方程x2 + 5x + 9 = 0 无解
不等式 x2 +5x+9 <0 的解集是空集. (2) 不等式 x2 +5x+9 > 0 的解集是 (- ∞,+ ∞)

x

练习

1 、解下列不等式: (1)、 2x - x2 -1≤0
∴ 两边同乘以-1得 x2 – 2 x + 1 ≥ 0 由 x2 – 2 x + 1 = (x - 1) 2 ≥0

解:∵ a = - 1

∵ △=(-2)2 - 4×1×1=0

∴x2 - 2x +1 ≥ 0 的解集为 (- ∞, ∞)

(2) 4x2+4x+1>0
解:判别式为 △= 16 – 16 =0, 由 4x2+4x+1=(2x+1)2=0 得方程的解为 x1= x2= - 1 / 2

∴ 原不等式的解集为 { x|x≠ - 1 / 2 }
即 (- ∞,-1/2)∪(-1/2,+ ∞)

(3) x2-3x+5>0
解:由题 x2-3x+5=0 对应的△=9 -20 =-11<0,方程无实数解 ∴ 原不等式的解集为 R

总 结
? 1、我们通过一元二次方程、一元二次不等 式、二次函数之间的关系,得出了解一元二 次不等式的方法。 ? 2、解一元二次不等式的步骤: ①判断△; (1)二次项系数化为正数; ②解方程. (2)解一元二次方程; (3)根据一元二次方程的根,结合不等 号的方向,写出不等式的解集。
作业: 课本第33页 练习 23 第 (1) (2) 题 课本第33页 习题 23 A 组 第 1 (3) (5) 题

下节课学习课本第 32-33 页: 一元二次不等式的解法 . 请同学们预习

评讲作业:课本第33页 习题 2.3 A 组 第 1 (1)(2) (4)(6) 题 1、 (1) 4x2 - 1 ≥ 0
解:令 4x2 - 1 = 0

(2) x – x 2 + 6 < 0
解:∵ a = - 1 ∴ 两边同乘以-1得 x2 –x - 6 > 0 ∵ △=(-1)2 - 4×1×(-6)=25 =52 >0

1 1 由 x ? 得 x?? 4 2
2

? 4 x 2 ? 1 ? 0的解集为 : 1 1 {x | x ? 或x ? } 2 2
即 : ( ??,

由 x2 – x - 6 = (x - 3) (x+2)=0
得:x = - 2 或 x = 3 ∴ x – x 2 + 6 > 0 的解集为: {x|x<-2或x>3} 即: (- ∞,-2)∪(3, ∞)

(4) x2 +x– 6 < 0
解:令 x2 +x - 6 = 0

1 1 ] ? [ ,??) 2 2

(6)

解:∵ a = - 1

- x 2 – 3x +10 ≥ 0

∵ △=1 2 - 4×1×(-6)=25 =52 >0 由 x2 + x - 6 = (x + 3) (x-2)=0 得:x = - 3 或 x = 2

∴ 两边同乘以-1得 x2 +3x - 10 ≤ 0 ∵ △= 32 - 4×1×(-10) = 49 = 72 >0

由 x2 +3x - 10 = (x + 5) (x-2)=0



x2

得:x = - 5 或 x = 2 +x– 6 > 0 的解集为 {x|-3<x<2} ∴x2 +3x - 10 ≤ 0 的解集为{x| - 5≤x≤2} 即: (-3 , 2 ) 即: [ - 5 , 2]

理论升华 整体建构
? ? b 2 ? 4ac
三个二次

??0
y
y?0
x1
0

??0
y
y?0

??0
y
y?0

二 2次 函 y ? ax ? bx ? c 数 (a ? 0) 若a<0呢? 的图像 一 2 元 二 次 ax ? bx ? c ? 0 方程 (a ? 0)
.

y?0
x2

当a<0时,不等式两边同时 乘以 0 ? b x a>0 x -1,就可以转化为 2a 的情况.
x1 ? x 2 ? ? b 2a

0

x

?b ? ? 2a ( x1 ? x2 ) x1 , x2 ?

无 实 根

大于取两边 ax2 ? bx ? c ? 0 (??, x1 ) ? ( x2 , ??) (??, x0 ) ? ( x0 , ??) 的解 (a ? 0) 小于取中间

R
?

一 元二次 2 ax ? bx ? c ? 0 不等式
(a ? 0)

( x1 , x2 )

?

(1)、解下列不等式:x2 - 2x + 1 > 0
解:由题x2 – 2 x + 1 = 0 的判别式为 △=(-2) - 4×1×1=0 其解 x1=x2=1 ∴x2-2x+1>0 的解集为 {x |x ≠ 1}, 即(- ∞,1)∪(1,+ ∞) ax2 +
b bx+c = a (x+ )2 = 0 2a

(2)、- 6x2 – x + 2 ≤ 0

解:将原不等式变形为: 6x2 + x – 2 ≥ 0 6x2 + x – 2 = 0对应的△=1+48>0 其解 x1= - 2 / 3,x2= 1 / 2 6x2+x-2≥ 0的解集为{x |x≤-2/3或x≥1/2} 即为原不等式的解集 (- ∞,-2/3 ]∪[ 1/2,+ ∞)

(3)解不等式: 4x2 + 4x +1<0 解:由题 4x2+4x+1=0 对应的 △=16-16=0 则方程 4x2+4x+1=0的解是 x1= x2=-1/2 ∴原不等式的解集为φ (4) 解不等式: x2-3x+5>0 解:由题 x2-3x+5=0 对应的△=9 -20 =-11<0 故 x2 - 3x + 5 = 0 无实数解 ∴原不等式的解集为 R



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