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第二章2 动量守恒和能量守恒--习题解答



第二章
一、选择题

动量守恒和能量守恒

1、A 、

水平方向动量守恒: 水平方向动量守恒: mv0 = m1v1 x + m2 ? 0 ; ? ∫ v1 x dt > ∫ v0 dt 而m1 < m
m1v1y

? v1 x > v0
m1v1

m1v1x

mv0 m2 v2

竖直方向动量守恒: 竖直方向动量守恒: 0 = m1v1 y ? m2 v2

2、C 、

r u r r r I = ? P = mv 2 ? mv1
由几何关系: 由几何关系: I = 3mv

mv1

I
mv 2

3、B 、

对质点系内力冲量和为零; 对质点系内力冲量和为零; 系统动量守恒: 系统动量守恒:m Av A = m B v B ; 1 2 动能E = mv ? E KA / E KB = 2 2

4、A 、

质点系动量守恒 r r r r m A v A1 + m B v B1 = m A v A 2 + m B v B 2 r r r r r r r ? m A (3i + 4 j ) + 4m A (2i ? 7 j ) = m A (7i ? 4 j ) + 4m A v B 2

5、B 、

取质量元?m, 其与传送带作用前后动量变化如图
由几何关系: 由几何关系: tgθ = ?mv1 / ?mv2 = 2 gh / 3 = 4 / 3 ? θ = 53
r ?mv 1
0

r ?mv 2

I

6、C 、

方向竖直向下; IG = mg 0.5T ;T = 2π R / v , 方向竖直向下; r mgπ R r 表示矢量形式: I (? j ) 表示矢量形式:G = v

T
o

y
x

mg

7、A 、

A=



2

0

3 x dx = x
2

3 2 0

=8

8、B 、

(0,0) → (0, 2R) B r r 0 2R A = ∫ F.dr = ∫ F0 xdx + ∫ F0 ydy
o 0 0

1 2 2 = F0 y = 2F0 R 2 0

2R

9、C 、 弹力的功: 弹力的功
k m

A=

l 2 ? l0 ∫l1 ? l0

(? kx )dx
F = kx

r o k F m o x1 m k r o F x2

x x x

A=

x2



kxdx cos π
1 2 2 1 2 2 1

= ? ( kx2 ? kx

x1

)

弹性力做功,积分上下限应为弹簧伸长量。 弹性力做功,积分上下限应为弹簧伸长量。

10、C 、

r r A保 = ??E p ; ? F保 .dl = 0 ∫
l

(1)保守力作正功,系统内相应的势能减 )保守力作正功, 。(2)正确。( 。(3) 小。( )正确。( )一对力做功等于其 中一个力的大小与相对位移的乘积。 中一个力的大小与相对位移的乘积。

11、C 、

临界条件: 临界条件:N=0;

F=kx=mg

功能原理: 功能原理: A外 + A非保内 = E2 ? E1
1 2 1 ? mg ? m2 g2 A外 = kx = k ? ? = 2k 2 2 ? k ?
2

12、C 、 13、C 、

?E k = A = ∫

R2

R1

Mm ( ?G 2 )dr r

14、C 、

AB间自由下落 间自由下落 BC间: 间 加速 mg 速度最大 → x = k 减速

A B

?> 0 kx ? a = g ? ?= 0 m? ?< 0

A

重力势能零点, 取C重力势能零点,机械能守恒: 重力势能零点 机械能守恒:

B
C

kx
mg

mg (h + x) = Ek max
15、D 、

1 2 + kx 2

1 s 1 1 2 2 动能定理: 动能定理 : fs = 0 ? mv ; f = mu ? mv 2 2 2 2 2

16、C 、

r r r r = A cos ω ti + B sin ω tj r r r ? v = ? Aω sin ω ti + Bω cos ω tj ? ( v )t =0 = Bω ; ( v )t
1

1 2 1 2 动能定理:A = ?Ek = mv2 ? mv1 2 2

π = 2 2ω

= Aω

17、D 、

静摩擦力向左: 静摩擦力向左: xmin = ( F ? ? mg ) / k 静摩擦力向右: 静摩擦力向右: xmax = ( F + ? mg ) / k
1 2 1 2 → kxmin < E p < kxmax 2 2

kx

? mg

r F

18、C 、

1)当绳子下降 过程中, 1)当绳子下降10cm过程中,重物未被提 弹簧伸长量为x 起,弹簧伸长量为x,Mg=kx,x=10cm 2)当绳子继续下降 过程中, 2)当绳子继续下降10cm过程中,弹簧 未再发生形变, 未再发生形变,重物升高h=10cm 功能原理: 功能原理:A=mgh+kx2/2=3J

x = 10cm h = 10cm

x + h = 20cm

二、填空题

1、(1) 、 )
动量守恒PA 0 + PB 0 = PA + PB ; 开始时t = 0 : PA 0 = P0 PB 0 = 0 ? P0 + 0 = P0 ? bt + PB1 ? PB1 = bt

(2) )
动量守恒PA0 + PB 0 = PA + PB ; 开始时t = 0 : PA 0 = P0 PB 0 = ? P0 ? 0 = P0 ? bt + PB 2 ? PB 2 = ? P0 + bt

2、 、
水平方向动量守恒Mv = ( M + m )u ? u = Mv /( M + m )

3、 m1 v1 + m2 v 2 = (m1 + m2 )v 、

m1v1 = (m1 + m2 )v sin φ

r mv 2 φ
0

m2 v2 = (m1 + m2 )v cos φ
? v = 10m / s; 北偏东36.87

r mv1

4、 、

r mv1

r mv 2

r mv2

r mv1

r I

由图易得I = 3mv = m 6 gh
则小球对斜面的冲量I'=m 6gh;

方向为垂直于斜面指向下方

5、 对A、B用动量定理: 、

F ? t1 = (m1 + m2 )v A ? v A = F ? t1 /(m1 + m2 )

子弹射穿A,未进入B时:vB1 = v A ; 对B用动量定理:F ? t2 = m2 vB ? m2 vB1 ? vB = F ? t1 /(m1 + m2 ) + F ? t2 / m2
A B

1500 × 5 = 1500 N 6、 F x ? t =? mvx ? F x = 、 5

7、 W = ∫A 、
B A

B

ur r B F ? d r = ∫ ( Fx dx + Fy dy + Fz dz )
A ?R 0

= ∫ ( F0 dx + 0dy + 0dz ) = ∫
B R

F0 dx = ? F0 R

o

x
A

Gm1m2 Gm1m2 8、 A = ??Ep = ?[? 、 ? (? )] b a b 1 1 Gm1m2 = Gm1m2 ( ? );或A = ∫ (? 2 )dr a b a r

9、 动能定理:?E k = A1 + A 2 ; 、

ur r A1 = F 1 ? ? r = 12 × 3 ? 3 × 8 = 12 J ; A2 = 12 J
1 1 1 功能原理:A = ?E = mg ? l = mgl 5 10 50
GMm mv2 (1) = 2 (3 R ) 3R 1 GMm 2 ? Ek = mv = 2 6R

10、 、 11、 、

(2)

E引p

Mm = ?G 3R

12、倔强系数k的弹簧,上端固定, 12、倔强系数k的弹簧,上端固定,下端悬挂重
物。当弹簧伸长x0,重物在o处达到平衡,现取重 当弹簧伸长x 重物在o处达到平衡, 物在o处时各种势能为零,则当弹簧为原长时, 物在o处时各种势能为零,则当弹簧为原长时,系 统的重力势能为____ 系统的弹性势能为____ ____; ____; 统的重力势能为____;系统的弹性势能为____; 系统的总势能为____ 系统的总势能为____

(1) E p重 = mgx0 = kx
x0

2 0

1 2 (2)Ep弹 = ∫ ?kxdx = ? kx0 0 2 1 2 (3)E p = E p重 + E p弹 = kx0 2

o′
x0 mg=kx0 o Ep = 0

1 2 13、 功能原理:Fxm ? ? mgxm = kxm 、 2 1 2( F ? ? mg ) 2 2 ? E p弹 = kxm = 2 k
kxm ? mg xm

r F

GMm GMm 2GMm 14、 (1) E p引 = (? 、 ) ? (? )= 3R R 3R
(2) E p引 GMm =? 3R

三、计算题 如图所示,有两个长方形物体A P20-1:如图所示,有两个长方形物体A和B紧靠放在 20光滑的水平桌面上。 已知m 光滑的水平桌面上 。 已知 A=2kg, mB=3kg 。 有 , 一质量m=100g的子弹以速率V0=800m/S水平射入长方 的子弹以速率V m/S水平射入长方 一质量 的子弹以速率 800m/S 经过0 01s 又射入长方体B 体A,经过0.01s,又射入长方体B,最后停留在长方 内未射出。 设子弹射入A 体 B 内未射出 。 设子弹射入 A 时所受到的摩擦力为

3 ×10 N
3

子弹在射入A的过程中, 受到A 求 : ( 1 ) 子弹在射入 A 的过程中 , B 受到 A 的作用力 的大小。 当子弹留在B中时, 的大小 。 ( 2 ) 当子弹留在 B 中时 , A 和 B 的速度的大 小。

解:(1)以A、B为系统:

以B为对象:

f = (m A + m B )a AB
由题意得知:

f BA = mB a B

a AB = a B
联解上四方程得:

f = 3× 10 N
3

f BA

mB 3 = f = 1.8 × 10 N m A + mB

(2)动量定理:

f?t = (m A + m B )v A
求解得到: v A = 6m / s 动量守恒: mv0 = m A v A + ( m B + m)v B 求解得到:

v B = 22m / s

P20-2:矿砂从传送带A落到另一传送带 ,其速率 :矿砂从传送带 落到另一传送带 落到另一传送带B, 大小v 度角, 大小 1=4m/s,速度方向与竖直方向成 度角,而 ,速度方向与竖直方向成30度角 传送带B与水平成 度角,其速度的大小v 与水平成15度角 传送带 与水平成 度角,其速度的大小 2=2m/s。 。 如果传送带的运送量恒定,设为q 如果传送带的运送量恒定,设为 m=2000kg/h,求 , 矿砂作用在传送带B上的力的大小和方向 上的力的大小和方向。 矿砂作用在传送带 上的力的大小和方向。

A 30o 15o B

解:取?m为研究对象
u r ? p = (?mv1 ) 2 + (?mv2 ) 2 ? 2(?m) 2 v1v2 cos 750
u r ?p

r ?mv 2
150 300

= 3.98?m
设传送带对矿砂平均作用力F

θ

u r F ?t = ? p
u r ?p

r ?mv1

?m 2000 F= = 3.98 = 3.98qm = 3.98 × ?t ?t 3600

= 2.2N

u r F的方向与? p相同,由图示:

r ?mv 2
150

?mv2 0 = ? θ = 29 0 sin θ sin 75
与竖直方向偏差10,近似竖直向上。

u r ?p

u r ?p

300

θ

r ?mv1

矿砂作用在传送带B上的力
与上面所求大小相等方向相反

P21-3 : 质 量 为 M=1.5kg 的 物 体 , 用 一 长 度 为 21l=1 25m 的细绳悬挂在天花板上。 l=1.25m 的细绳悬挂在天花板上 。 今有一质量为 m=10g的子弹以 0=500m/s的水平速度射穿物体, 的子弹以v 的水平速度射穿物体, 的子弹以 的水平速度射穿物体 刚穿出物体时子弹的速度大小v=30m/s, 设穿透 刚穿出物体时子弹的速度大小 , 时间极短。 时间极短 。 求 : ( 1 ) 子弹刚穿出时绳中的张力 大小; 子弹在穿透过程中所受的冲量。 大小;(2)子弹在穿透过程中所受的冲量。

r v0

l
M

r v

m

解:(1)因穿透时间极短,故可以认为物体未离 开平衡位置。因此,作用于子弹、物体系统上的 外力均在铅直方向,故系统在水平方向动量守恒, 令子弹穿出时物体的水平速度为 v '

mv0 = mv + Mv ' v ' = 3.13m / s 2 v' T = Mg + M = 26.5 N l (2) I = m(v ? v0 ) = ?4.7 Ns
负号表示冲量方向与v0方向相反

r v0

T'
M
Mg

l

r v

m

P21-4:一人从10m深的井中提水,起始时桶 :一人从 深的井中提水, 深的井中提水 中装有10kg的水,桶的质量为 的水, 中装有 的水 桶的质量为1kg,由于水 , 桶漏水,每升高1m要漏去 要漏去0.2kg的水。求水 的水。 桶漏水,每升高 要漏去 的水 桶匀速地从井中提到井口,人所作的功。 桶匀速地从井中提到井口,人所作的功。
解:设漏水的速率为k = 0.2kg / m
桶受到的人的拉力与其重力平衡,且随高度变化。

F = mg = (m桶 + m0 ? kh) g

m桶 = 1kg ; m0 = 10kg
A = ∫ Fdh = ∫ (1 + 10 ? 0.2h) gdh = 980 J
0 0 10 10

P21-5:一陨石从距地面高位h处由静止开始 :一陨石从距地面高位 处由静止开始 落向地面,忽略空气阻力。( 。(设地球质量为 落向地面,忽略空气阻力。(设地球质量为 M,半径为 ,陨石质量为 ),求(1)陨 ),求 ) ,半径为R,陨石质量为m), 石下落过程中,万有引力的功是多少?( ?(2) 石下落过程中,万有引力的功是多少?( ) 陨石落地的速度多大? 陨石落地的速度多大?
r r

解:(1)

ur F

A=∫

b

a

ur r R Mm F ? d r = ∫ ?G 2 dr R+h r

h = GMm R ( R + h)

1 2 (2)动能定理A = mv ? 0 2

v=

2GMh R ( R + h)

r r r P22-6:质量为 的质点受到力: 的作用。 :质量为2kg的质点受到力 F = 3ir + 5 j (N) 的作用。 的质点受到力 r r 当质点从原点移动到位矢为: 处时, 当质点从原点移动到位矢为 r = 2i ? 3 j (m) 处时,此力

所作的功为多少?它与路径有无关系? 所作的功为多少?它与路径有无关系?如果此力是作用在 质点上的唯一的力,则质点的动能将变化多少? 质点上的唯一的力,则质点的动能将变化多少?
此力所作的功的表达式为: 解: (1) 此力所作的功的表达式为:
v v A = ∫ F ? dr =



x

0

F x dx + ∫ F y dy = ∫ 3dx + ∫ 5dy = 3 x + 5 y
0 0 0

y

x

y

功与积分路径无关。 功与积分路径无关。 (2) 当质点从(0,0)移动到(2,-3)时,此力所作的功为: 当质点从( , )移动到( , ) 此力所作的功为: v v 2 ?3 2 ?3 A = ∫ F ? dr = ∫ F x dx + ∫ F y dy = ∫ 3dx + ∫ 5dy = ?9 J
0 0 0 0

(3)根据动能定理,质点动能的变化等于合外力所作的功: )根据动能定理,质点动能的变化等于合外力所作的功:
? E k = A = ?9 J

P22-7:如图所示,一轻质弹簧劲度系数为k, P22如图所示, 的物块A 两端各固定一质量均为M的物块A和B,放在水平 光滑桌面上静止。 光滑桌面上静止。今有一质量为m的子弹沿弹簧 的轴线方向以速度υ 射入一物块而不复出. 的轴线方向以速度υ0射入一物块而不复出. 求此后弹簧的最大压缩长度。 求此后弹簧的最大压缩长度。
υ0 m A B

解:第一阶段:子弹射入到相对静止于物块A。由于时间极短, 第一阶段:子弹射入到相对静止于物块 。由于时间极短, 可认为物块A还没有移动 应用动量守恒定律,求得物块A的 还没有移动, 可认为物块 还没有移动,应用动量守恒定律,求得物块 的 速度υ 速度υA..

( M + m)υ A = mυ0

υA

m = υ0 (M + m)

第二阶段:物块 移动 直到物块A和 在某舜时有相同的速度 移动, 在某舜时有相同的速度, 第二阶段:物块A移动,直到物块 和B在某舜时有相同的速度, 弹簧压缩最大。应用动量守恒定律,求得两物块的共同速度υ 弹簧压缩最大。应用动量守恒定律,求得两物块的共同速度υ

( 2 M + m )υ = ( M + m )υ A

υ =

(M + m) m υA = υ0 (2 M + m ) (2 M + m )

应用机械能守恒定律,求得弹簧最大压缩长度 应用机械能守恒定律,求得弹簧最大压缩长度.

1 1 2 1 2 2 ( 2 M + m )υ + kx = ( M + m )υ A 2 2 2
x = mυ0 M k ( M + m )( 2 M + m )



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