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三角函数.Microsoft Word 文档



同角三角函数的基本关系 倒数关系: tanα ·cotα=1 sinα ·cscα=1 cosα ·secα=1 商的关系: sinα/cosα=tanα=secα/cscα cosα/sinα=cotα=cscα/secα 平方关系: sin^2(α)+cos^2(α)=1 1+tan^2;(α)=sec^2(α) 1+cot^2(α)=csc^2(α) 平常针对不同条件的常用的两个公式 sin² α+cos² α=1 tan α *cot α=1 锐角三角函数公式 正弦: sin α=∠α 的对边/∠α 的斜边 余弦:cos α=∠α 的邻边/∠α 的斜边 正切:tan α=∠α 的对边/∠α 的邻边 余切:cot α=∠α 的邻边/∠α 的对边 二倍角公式 正弦 sin2A=2sinA·cosA 余弦 1.Cos2a=Cos^2(a)-Sin^2(a) 2.Cos2a=1-2Sin^2(a) 3.Cos2a=2Cos^2(a)-1 =2Cos^2(a)-1 =1-2Sin^2(a)

正切 tan2A=(2tanA)/(1-tan² A) 三倍角公式

sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α) cos3α=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α) tan3a = tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a) 三倍角公式推导 sin(3a) =sin(a+2a) =sin2acosa+cos2asina =2sina(1-sin²a)+(1-2sin²a)sina =3sina-4sin^3a cos3a =cos(2a+a) =cos2acosa-sin2asina =(2cos²a-1)cosa-2(1-cos^a)cosa =4cos^3a-3cosa sin3a=3sina-4sin^3a =4sina(3/4-sin²a) =4sina[(√3/2)²-sin²a] =4sina(sin²60°-sin²a) =4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina) =4sina*2sin[(60+a)/2]cos[(60°-a)/2]*2sin[(60°-a)/2]cos[(60°-a) /2] =4sinasin(60°+a)sin(60°-a) cos3a=4cos^3a-3cosa =4cosa(cos²a-3/4) =4cosa[cos²a-(√3/2)^2] =4cosa(cos²a-cos²30°) =4cosa(cosa+cos30°)(cosa-cos30°) =4cosa*2cos[(a+30°)/2]cos[(a-30°)/2]*{-2sin[(a+30°)/2]sin[(a-3 0°)/2]} =-4cosasin(a+30°)sin(a-30°) =-4cosasin[90°-(60°-a)]sin[-90°+(60°+a)] =-4cosacos(60°-a)[-cos(60°+a)]

=4cosacos(60°-a)cos(60°+a) 上述两式相比可得 tan3a=tanatan(60°-a)tan(60°+a) 半角公式 tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA); cot(A/2)=sinA/(1-cosA)=(1+cosA)/sinA. sin^2(a/2)=(1-cos(a))/2 cos^2(a/2)=(1+cos(a))/2 tan(a/2)=(1-cos(a))/sin(a)=sin(a)/(1+cos(a))

和差化积 sinθ+sinφ = 2 sin[(θ+φ)/2] cos[(θ-φ)/2]

sinθ-sinφ = 2 cos[(θ+φ)/2] sin[(θ-φ)/2] cosθ+cosφ = 2 cos[(θ+φ)/2] cos[(θ-φ)/2] cosθ-cosφ = -2 sin[(θ+φ)/2] sin[(θ-φ)/2] tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB) tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB) 和差化积 cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ

cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ sin(α-β)=sinαcosβ -cosαsinβ 积化和差 sinαsinβ cosαcosβ sinαcosβ cosαsinβ 双曲函数 sinh(a) = [e^a-e^(-a)]/2 cosh(a) = [e^a+e^(-a)]/2 tanh(a) = sin h(a)/cos h(a) 公式一: 公式一 : 设 α 为任意角,终边相同的角的同一三角函数的值相等: sin(2kπ+α)= sinα cos(2kπ+α)= cosα tan(2kπ+α)= tanα cot(2kπ+α)= cotα 公式二: 公式二 : 设 α 为任意角,π+α 的三角函数值与 α 的三角函数值之间的关系: sin(π+α)= -sinα cos(π+α)= -cosα tan(π+α)= tanα cot(π+α)= cotα 公式三: 公式三 : 任意角 α 与 sin(-α)= cos(-α)= tan(-α)= -α 的三角函数值之间的关系: -sinα cosα -tanα = = = = -[cos(α-β)-cos(α+β)] /2 [cos(α+β)+cos(α-β)]/2 [sin(α+β)+sin(α-β)]/2 [sin(α+β)-sin(α-β)]/2

cot(-α)= -cotα 公式四: 公式四 利用公式二和公式三可以得到 π-α 与 α 的三角函数值之间的关系: sin(π-α)= sinα cos(π-α)= -cosα tan(π-α)= -tanα

cot(π-α)= -cotα 公式五: 公式五 : 利用公式-和公式三可以得到 2π-α 与 α 的三角函数值之间的关系: sin(2π-α)= cos(2π-α)= tan(2π-α)= cot(2π-α)= -sinα cosα -tanα -cotα

公式六: 公式六 π/2±α 及 3π/2±α 与 α 的三角函数值之间的关系: sin(π/2+α)= cosα cos(π/2+α)= -sinα tan(π/2+α)= -cotα cot(π/2+α)= -tanα sin(π/2-α)= cosα cos(π/2-α)= sinα tan(π/2-α)= cotα cot(π/2-α)= tanα sin(3π/2+α)= -cosα cos(3π/2+α)= sinα tan(3π/2+α)= cot(3π/2+α)= sin(3π/2-α)= cos(3π/2-α)= -cotα -tanα -cosα -sinα

tan(3π/2-α)= cotα cot(3π/2-α)= tanα (以上 k∈Z) A·sin(ωt+θ)+ B·sin(ωt+φ) = √{(A² +B² +2ABcos(θ-φ)} · sin{ ωt + { { arcsin[ (A·sinθ+B·sinφ) / √{A^2 +B^2; +2ABcos(θ-φ)} } √表示根号,包括{……}中的内容 诱导公式 sin(-α) = -sinα cos(-α) = cosα tan (-α)=-tanα sin(π/2-α) = cosα cos(π/2-α) = sinα sin(π/2+α) = cosα

cos(π/2+α) = -sinα sin(π-α) = sinα cos(π-α) = -cosα sin(π+α) = -sinα cos(π+α) = -cosα tanA= sinA/cosA tan(π/2+α)=-cotα tan(π/2-α)=cotα tan(π-α)=-tanα tan(π+α)=tanα 诱导公式记背诀窍:奇变偶不变,符号看象限 万能公式 sinα=2tan(α/2)/[1+(tan(α/2))²] cosα=[1-(tan(α/2))²]/[1+(tan(α/2))²] tanα=2tan(α/2)/[1-(tan(α/2))²]

其它公式

(1) (sinα)²+(cosα)²=1 (2)1+(tanα)²=(secα)² (3)1+(cotα)²=(cscα)²

证明下面两式,只需将一式,左右同除(sinα)²,第二个除 (cosα)²即可 (4)对于任意非直角三角形,总有 tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC 证: A+B=π-C tan(A+B)=tan(π-C) (tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=(tanπ-tanC)/(1+tanπtanC) 整理可得 tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC 得证 同样可以得证,当 x+y+z=nπ(n∈Z)时,该关系式也成立 由 tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC 可得出以下结论 (5)cotAcotB+cotAcotC+cotBcotC=1 (6)cot(A/2)+cot(B/2)+cot(C/2)=cot(A/2)cot(B/2)cot(C/2) (7)(cosA)²+(cosB)²+(cosC)²=1-2cosAcosBcosC (8)(sinA)²+(sinB)²+(sinC)²=2+2cosAcosBcosC 其他非重点三角函数 csc(a) = 1/sin(a) sec(a) = 1/cos(a)

编辑本段内容规律 编辑本段 内容规律 三角函数看似很多,很复杂,但只要掌握了三角函数的本质及内部规 律就会发现三角函数各个公式之间有强大的联系。而掌握三角函数的内部 规律及本质也是学好三角函数的关键所在. 1、三角函数本质:

[1]

根据右图,有 sinθ=y/ r; cosθ=x/r; tanθ=y/x; cotθ=x/y。 深刻理解了这一点,下面所有的三角公式都可以从这里出发推导出来, 比如以推导 sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB 为例: 推导: 首先画单位圆交 X 轴于 C, 在单位圆上有任意 A, 点。 AOD 为 α, D, B 角 BOD 为 β,旋转 AOB 使 OB 与 OD 重合,形成新 A'OD。 A(cosα,sinα),B(cosβ,sinβ),A'(cos(α-β),sin(α-β)) OA'=OA=OB=OD=1,D(1,0) ∴[cos(α-β)-1]^2+[sin(α-β)]^2=(cosα-cosβ)^2+(sinα-sinβ)^ 2 和差化积及积化和差用还原法结合上面公式可推出(换(a+b)/2 与 (a-b)/2) 单位圆定义 单位圆 六个三角函数也可以依据半径为一中心为原点的单位圆来定义。单位 圆定义在实际计算上没有大的价值;实际上对多数角它都依赖于直角三角 形。但是单位圆定义的确允许三角函数对所有正数和负数辐角都有定义, 而不只是对于在 0 和 π/2 弧度之间的角。它也提供了一个图象,把所有 重要的三角函数都包含了。根据勾股定理,单位圆的等式是: 图象中给出了用弧度度量的一些常见的角。逆时针方向的度量是正角, 而顺时针的度量是负角。设一个过原点的线,同 x 轴正半部分得到一个角 θ ,并与单位圆相交。这个交点的 x 和 y 坐标分别等于 cos θ 和 sin θ。 图象中的三角形确保了这个公式; 半径等于斜边且长度为 1, 所以有 sin

θ = y/1 和 cos θ = x/1。单位圆可以被视为是通过改变邻边和对边的
长度,但保持斜边等于 1 的一种查看无限个三角形的方式。 两角和公式

sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB tan(A+B) = (tanA+tanB)/(1-tanAtanB) tan(A-B) = (tanA-tanB)/(1+tanAtanB) cot(A+B) = (cotAcotB-1)/(cotB+cotA) cot(A-B) = (cotAcotB+1)/(cotB-cotA)



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