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4.4.2圆的的一般方程



教学 课题 授课 教师

4.1.1 圆的一般方程 张艳娜

授课 时间 授课 班级

2013 年 9 月 6 日 高二(3)(4)班

教材 分析

选自普通高中实验教科书新课程标准数学必修 2 第四章第一节第一课时。 圆是解析几何中一类重要的曲线,而圆的标准方程的学习是在学生

学习了直线与 方程的基础知识之后,知道了在直角坐标系中通过建立方程可以达到研究图形性 质这一基础上进行展开的,在学习中充分体现了数形结合的思想,以及用代数方 法解决几何问题的思想,是进一步学习圆锥曲线的基础。 知识学生已经熟悉了标准方程的基本要素以及待定系数法,具备了对圆进一步认 储备 识的基础和能力。 1、知识与技能: (1) 在掌握圆的标准方程的基础上, 理解记忆圆的一般方程的代数特征, 由圆的一般方程确定圆的圆心半径,掌握方程 x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0 表示圆的条件。 (2)能通过配方等手段,把圆的一般方程化为圆的标准方程,能用待定 系数法求圆的方程。 (3)培养学生探索发现及分析解决问题的实际能力。 2、过程与方法:通过对方程 x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0 表示圆的条件的探 究,培养学生探索发现及分析解决问题的实际能力。 3、情感态度价值观:渗透数形结合、化归与转化等数学思想方法,提高 学生的整体素质,激励学生创新,勇于探索。

学情 分析 教学 目标

教学 重点

圆的一般方程的代数特征,一般方程与标准方程间的互化,根据已知条 件确定方程中的系数:D、E、F。

教学 难点 教学 方法 教学 资源

对圆的一般方程的认识、掌握和运用。 启发探究式,讨论式 教材 教学过程

教学 环节 课题引入

教学内容

师生活动

设计意图

思考:方程 x 2 + y 2 – 2x + 4y + 1 = 0 表示什么图形?方程 x 2 + y 2 – 2x – 4y + 6 = 0 表示什么图形? 思路分析:以上是关于 x, y 的二元二

生:思考问题,并 回答

师:教师点评. 次方程,与圆的标准方程进行比较, 一、 创设 情景 , 激发 兴趣 得知应进行配方: (x – 1) 2 + (y + 2) 2 = 4 表示圆; (x – 1) 2 + (y – 2) 2 = – 1 不表示任何图形。 拓展问题:方程 通 过 思考 回答 问 题, 引导学生对圆 的概念加以认识, 并 对 圆的 方程 产 生 探 究的 兴趣 和 思路;

x 2 ? y 2 ? Dx ? Ey ? F ? 0 表示什
么图形?

探索研究 生:。 1、配方:

(x ?

D 2 E D 2 ? E 2 ? 4F ) ? ( y ? )2 ? 2 2 4

2、 讨论: (1) 当 D 2 ? E 2 ? 4F ? 0 时,表示以( ? 心, 圆;
(2)当 D ? E ? 4F ? 0 时,方程只有实数
2 2

D E , ? )为圆 2 2

1 D 2 ? E 2 ? 4 F 为半径的 2

二、 探 究 定 义 , 形 成 新 知

D E , y ? ? ,即只表示一个点 师: 2 2 D E (? ,? ) ; 2 2
解x?? (3)当 D ? E ? 4F ? 0 时,方程
2 2

没有实数解,因而它不表示任何图 形。 3、归纳:圆的一般方程: 生:

x 2 ? y 2 ? Dx ? Ey ? F ? 0
( D ? E ? 4F ? 0 )。
2 2

4、方程的特征: (1)x 2 和 y 2 的系数相同,且不等于 0; (2)没有 xy 这样的二次项。 5、比较:圆的标准方程与圆的 一般方程各有什么特点? (1)圆的一般方程是一种特殊 的二元二次方程,代数特征明显;圆 的标准方程则指出了圆心坐标与半 径大小,几何特征较明显。

(2)圆的标准方程与一般方程 可以相互转化。

三、 讲 解 例 题 , 学 习 新 知 例 题 巩 固

知识应用与解题研究 例 1:求过三点 A(0,0) ,B(1,1) ,C (4,2)的圆的方程,并求这个圆的半径长和 圆心坐标。 分析:据已知条件,很难直接写出圆的标准 方程,而圆的一般方程则需确定三个系数,而 条件恰给出三点坐标, 不妨试着先写出圆的一 般方程
新疆

师:

王新敞
学案

解 : 设 所 求 的 圆 的 方 程 为 :

x 2 ? y 2 ? Dx ? Ey ? F ? 0
∵A(0,0) ,B(1,1) ,C(4,2)在圆

生:

上,所以它们的坐标是方程的解,把它们的坐 标代入上面的方程,可以得到关于 D,E,F 的三元一次方程组:

?F ? 0 ? 即 ?D ? E ? F ? 2 ? 0 解此方程组, ?4 D ? 2 E ? F ? 20 ? 0 ?
, 可得: D ? ?8, E ? 6, F ? 0 , ∴ 所 求 圆 的 方 程 为 :

x 2 ? y 2 ? 8x ? 6 y ? 0 ;
配方得: ( x ? 4) 2 ? ( y ? 3) 2 ? 25 ,所以 圆的半径 r ? 5 ,圆心坐标为 (4 , – 3)。 归纳: 用待定系数法求圆的方程的一般步 骤: (1)根据题意,选择标准方程或一般方 程; (2)根据条件列出关于 a、b、r 或 D、E、 F 的方程组; (3)解出 a、b、r 或 D、E、F,代入标 准方程或一般方程。

例 2、 已知线段 AB 的端点 B 的坐标是 (4, 3) ,端点 A 在圆 ( x ? 1) ? y ? 4 上运动,求
2 2

线段 AB 的中点 M 的轨迹方程。 分析:如图,点 A 运动引起点 M 运动, 而点 A 在已知圆上运

动,点 A 的坐标满足方程 ( x ? 1) 2 ? y 2 ? 4 。 建立点 M 与点 A 坐标之间的关系,就可以建 立点 M 的坐标满足的条件,求出点 M 的轨迹 方程。 解:设点 M 的坐标是(x , y) ,点 A 的坐 标是 ( x0 , y0 ) ,由于点 B 的坐标是(4,3) , 且 M 是 线 段 AB 的 中 点 , 所 以 , 于 是 有

x?

x0 ? 4 y ?3 ,y ? 0 2 2

x0 ? 2x ? 4, y0 ? 2 y ? 3 ①;
因为点 A 在圆 ( x ? 1) 2 ? y 2 ? 4 上运动, 所以点 A 的坐标满足方程 ( x ? 1) 2 ? y 2 ? 4 ,
2 即 ? x0 ? 1? ? y0 ? 4 2

②,把①代入②,得

(2x ? 4 ? 1) 2 ? (2 y ? 3) 2 ? 4 ,
3 2 2 3 3 (1) 所以点 M 的轨迹是以 ( , ) 为圆心, 2 2
整理得: ( x ? ) ? ( y ? ) ? 1 ,
2

3 2

半径长为 1 的圆。 课堂练习 P123。 四、 课 堂 练 习 生:独立完成或演 板。
师:教师点评.

我们学到了什么? 五、 总 结 归 纳 1、 圆的一般方程: x 2 ? y 2 ? Dx ? Ey ? F ? 0 的讨论(什么时候可以表示圆) ; 2、圆的一般方程与标准方程的互化; 3、用待定系数法求圆的方程; 4、求与圆有关的点的轨迹。 六、 课 后 作 业 课本 P124 习题 4.1 [A 组]第 1、5、6 题。

生:

独立完成作业

板书设计 屏幕 4.1.1 圆的标准方程 例1 例2 例3 小结: 作业:

七、 课 后 反 思



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