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福建省泉州五校2015届高三1月联考数学(理)试题含解析



2014 年秋季南侨中学、永春三中、永春侨中、荷山中学、南安三中高 中毕业班摸底统一考试
【试卷综述】试卷考查的题型着眼于考查现阶段学生的基础知识及基本技能掌握情况.整份试 卷难易适中,没有偏、难、怪题,保护了学生的学习信心并激励学生继续学习的热情;在选 题和确定测试重点上都认真贯彻了“注重基础,突出知识体系中的重点,培养能力”的命题 原则,重视对学生运用所学的基础知识

和技能分析问题、解决问题能力的考查. 【题文】第 I 卷(选择题 共 50 分) 【题文】一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分。在每小题给出分四个选项 中,只有一项是符合题目要求的。 【题文】1. 已知集合 A ? {cos0 ,sin 270 }, B ? {x | x2 ? x ? 0} 则 A A. {0, ?1} B. {?1,1} 【知识点】交集及其运算.A1 【答案】 【解析】C C. {? 1}

B 为(
D. {0}



解析:∵ A ? {1, ?1}, B ? {0, ?1} ∴ A

B = {? 1} ,故选 C.

【思路点拨】由 A 与 B,求出两集合的交集即可. 【题文】2.如果复数 z ? a 2 ? a ? 2 ? (a 2 ? 3a ? 2)i 为纯虚数,那么实数 a 的值为( A.-2 B .1 C.2 D.1 或 -2 )

【知识点】复数的基本概念.L4
2 ? ?a ? a ? 2 ? 0 【答案】 【解析】A 解析: ? 2 即 a ? ?2 ,故选 A ? ?a ? 3a ? 2 ? 0

【思路点拨】 纯虚数的表现形式是 a+bi 中 a=0 且 b≠0,根据这个条件, 列出关于 a 的方程组, 解出结果,做完以后一定要把结果代入原复数检验是否正确. 【题文】3. 在 ?ABC 中,若 B ? 60?, AB ? 2,AC ? 2 3 ,则 ?ABC 的面积( A 、 3 B、 2 3 )

C、

2 3 3

D、

4 3 3

【知识点】三角形的解法和面积公式 C8 【答案】 【解析】B 解析:由正弦定理可得:
0

AC AB ? , sin B sin C
0

因为 B ? 60?, AB ? 2,AC ? 2 3 ,即 C ? 30 ,所以 A ? 90 ,则 ?ABC 的面积为

-1-

1 ? 2 ? 2 3 ? 2 3 ,故选 B. 2
【思路点拨】先利用正弦定理求出 B,再结合三角形内角和得到 A,最后利用三角形面积公式即 可. 【题文】4.下列命题中,真命题是( A. ?x0 ? R, e x0 ? 0 )
x 2

B. ?x ? R,2 ? x
2 2

1 C. x ? ? 2 x
【知识点】命题真假的判断.A2 【答案】 【解析】D

( a ? b) 2 , a, b ? R D. a ? b ? 2

解析:对于 A,不存在 x0 使得 e

x0

? 0 ,故 A 错误;

x 2 对于 B,当 x ? 2 时, 2 ? x ,故 B 错误;

对于 C,当 x ? 0 时, x ? 对于 D,不等式 a ? b ?
2 2

1 ? 2 不成立;故 C 错误; x

( a ? b) 2 , a, b ? R 恒成立,D 正确; 2

故选 D. 【思路点拨】对每个选项依次做出判断即可. 【题文】5. 函数 y ? loga (| x | ?1), (a ? 1) 的大致图像是( )

【知识点】函数的奇偶性;对数函数的性质.B4 【答案】 【解析】 B 解析:因为函数 y ? loga (| x | ?1), (a ? 1) , 易知函数为偶函数 , 且在

? 0, ??? 递增的幅度较缓,同时满足 x ? 0 时 y ? 0 ,由此判断正确选项为 B,故选 B.
【思路点拨】根据函数的奇偶性以及函数值,结合函数值的变化情况可得结果. 【题文】6.在某种新型材料的研制中,实验人员获得了右边一组实验数据:现准备用下列四 个函数中的一个近似地表示这些数据的规律,其中最接近的一个是 ( )

-2-

一. y ? 2 x ? 2 C. y ? log2 x

B. y ?

1 2 ( x ? 1) 2
x

D. y ? ( )

1 2

【知识点】对数函数、指数函数与幂函数的增长差异.B6 B7 【答案】 【解析】B 解析:由该表提供的信息知,该模拟函数在 (0, ??) 应为增函数,故排

除 D,将 x ? 3 、4?代入选项 A、B、C 易得 B 最接近,故答案应选 B. 【思路点拨】由表中的数据分析得出,自变量基本上是等速增加,相应的函数值增加的速度 越来越快,结合基本初等函数的图象与性质,利用排除法即可得出正确的答案. 【题文】7.若 l 、 m 、 n 是互不相同的空间直线, ? 、 ? 是不重合的平面,则下列结论正确 的是( ) B. ? ? ? , l ? ? ? l ? ? D. l ? ? , l // ? ? ? ? ?

A. ? // ? , l ? ? , n ? ? ? l // n C. l ? n, m ? n ? l // m

【知识点】空间中直线与平面之间的位置关系.G4 G5 【答案】 【解析】D 解析:对于 A, l // n 或 l , n 异面,所以错误;对于 B, l 与 ? 可能相

交可能平行,所以错误;对于 C, l 与 m 还可能异面或相交,所以错误.故答案应选 D 【思路点拨】利用空间中线线、线面、面面间的位置关系求解. 【题文】8. 如图过拋物线 y =2px(p>0)的焦点 F 的直线依次交拋物线及准线于点 A,B,C, 若|BC|=2|BF|,且|AF|=3,则拋物线的方程为( A. y ?
2
2

)

3 x 2

B

y 2 ? 3x
2

C. y ?
2

9 x 2

D. y ? 9 x

【知识点】抛物线的标准方程.H7

-3-

【答案】 【解析】B

解析:如图分别过点 A,B 作准线的垂线,分别交准线于点 E,D,

设|BF|=a,则由已知得:|BC|=2a,由定义得:|BD|=a,故∠BCD=30°, 在直角三角形 ACE 中,∵|AF|=3,|AC|=3+3a,∴2|AE|=|AC| ∴3+3a=6,从而得 a=1,∵BD∥FG,∴

1 2 3 ? ,求得 p= ,因此抛物线方程为 y2=3x. p 3 2

【思路点拨】分别过点 A,B 作准线的垂线,分别交准线于点 E,D,设|BF|=a,根据抛物线定 义可知|BD|=a,进而推断出∠ BCD 的值,在直角三角形中求得 a,进而根据 BD∥ FG,利用比例 线段的性质可求得 p,则抛物线方程可得. 【题文】9. 设 f 为实系数三次多项式函数﹒已知五个方程式的相异实根个数如下表所述﹕ 方程式 相异实根的个数 1 3 3 1 1 ) D. 10 ? ? ? 20 ﹒

f ? x ? ? 20 ? 0 f ? x ? ?10 ? 0 f ? x? ? 0 f ? x ? ? 10 ? 0 f ? x ? ? 20 ? 0

关于 f 的极小值 ? ﹐试问下列哪一个选项是正确的( A. ?20 ? ? ? ?10 B. ?10 ? ? ? 0 【知识点】归纳推理.M1 C. 0 ? ? ? 10

【答案】 【解析】B 解析: 「方程式 f ( x) ? k ? 0 ? f ( x) ? k 的相异实根数」等于「函数

y ? f ( x) 与水平线 y ? k 两图形的交点数﹒」
依题意可得两图形的略图有以下两种情形﹕ (1) 当 f ( x ) 的最高次项系数为正时﹕ (2) 当 f ( x ) 的最高次项系数为负时﹕

-4-

因极小值点 A 位于水平线 y ? 0 与 y ? ?10 之间﹐所以其 y 坐标 ? (即极小值) 的范围为

?10 ? ? ? 0 ﹒ 故选(B)﹒
【思路点拨】利用数形结合的思想,直接观察得到答案. 【题文】10. 将一圆的六个等分点分成两组相间的三点﹐它们所构成的两个正三角形扣除内 部六条线段后可以形成一正六角星﹐如图所示的正六角星是以原点 O 为中心﹐其中 x ﹐ y 分别为原点 O 到两个顶点的向量﹒若将原点 O 到正六角星 12 个顶点的向量﹐都写成为

a x ? b y 的形式﹐则 a ? b 的最大值为(



A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【知识点】平面向量的基本定理及其意义.F2 【答案】 【解析】D 解析:因为想求 a ? b 的最大值﹐所以考虑图中的 6 个顶点之向量即可﹒ 讨论如下﹕ (1) 因为 OA ? x ﹐所以 ? a, b ? ? ?1,0? ﹒ (2) 因为 OB ? OF ? FB ? y ? 3 x ﹐所以 ? a, b ? ? ? 3,1? ﹒ (3) 因为 OC ? OF ? FC ? y ? 2 x ﹐所以 ? a, b ? ? ? 2,1? ﹒ (4) 因为 OD ? OF ? FE ? ED ? y ? x ? OC ? y ? x ? ? y ? 2 x ? ? 2 y ? 3 x ﹐ 所以 ? a, b? ? ?3,2? ﹒ (5)因为 OE ? OF ? FE ? y ? x ﹐所以 ? a, b ? ? ?1,1? ﹒ (6)因为 OF ? y ﹐所以 ? a, b ? ? ? 0,1? ﹒ 因此﹐ a ? b 的最大值为 3 ? 2 ? 5 ﹒故选 D﹒

? ?

? ?

-5-

【思路点拨】根据题意,画出图形,结合图形,得出求 a+b 的最大值时﹐只需考虑图中 6 个 顶点的向量即可,分别求出即得结论. 【题文】第Ⅱ卷(非选择题共 100 分) 【题文】二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 4 分,共 20 分,把答案填在答题卡的相应位 置。 【题文】11.某三棱锥的三视图如图所示, 该三棱锥的体积是 .

【知识点】由三视图求面积、体积.G2 【答案】 【解析】4 解析:由俯视图与侧视图可知三棱锥的底面积为

1 ? 4 ? 3 ? 6 ,由侧视 2

图可知棱锥的高为 2,所以棱锥的体积为 ? 6 ? 2 ? 4 ,

1 3

【思路点拨】根据三视图画出几何体的直观图,代入数据求解即可. 【题文】12.已知两个单位向量 a , b 的夹角为 30°, c ? t a ? b , d ? a ? t b .若 c ? d ? 0 , 则正实数 t =____________ 【知识点】数量积表示两个向量的夹角.F3 【答案】 【解析】1 解析:因为两个单位向量 a , b 的夹角为 30°,所以 | a |? 1 ,
? ? 3 3 2 ? 0 ,解得 t ? ?1 , ,又因为 c ? d ? 0 ,即 1 ? t ? 2 2

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

| b |? 1 , a ? b ?| a | ? | b | cos300 ?

?

?

而 t 为正实数,所以 t ? 1 ,故答案为 1.
-6-

【思路点拨】先求出两个向量的模以及数量积,借助于已知条件 c ? d ? 0 即可解得正实数 t . x+y≤8, ? ?2y-x≤4, 【题文】13. 若变量 x,y 满足约束条件? x≥0, ? ?y≥0, b,则 a-b 的值是____________ 【知识点】简单线性规划.E5

?

?

且 z=5y-x 的最大值为 a,最小值为

【答案】 【解析】 24

x+y≤8, ? ?2y-x≤4, 解析: 约束条件? x≥0, ? ?y≥0

表示以(0,0), (0,2), (4,4), (8,0)

为顶点的四边形区域,检验四个顶点的坐标可知,当 x=4,y=4 时,a=zmax=5×4-4=16; 当 x=8,y=0 时,b=zmin=5×0-8=-8,∴a-b=24. 【思路点拨】先根据条件画出可行域,设 z=5y﹣x,再利用几何意义求最值,将最小值转化为 y 轴上的截距最大,只需求出直线,过可行域内的点 B(8,0)时的最小值,过点 A(4,4) 时,5y﹣x 最大,从而得到 a﹣b 的值. 【题文】 14 、函数 y ? loga (x ? 3)? 1(a ? 0,且a ? 1) 的图象恒过定点 A ,若点 A 在直线 mx+ny+2=0 上,其中 mn ? 0 ,则

1 2 ? 的最小值为 m n

【知识点】基本不等式;平均值不等式.E6 【答案】 【解析】4 解析:∵ x=﹣2 时,y=loga1﹣1=﹣1,

∴ 函数 y ? log a ( x ? 3) ?1 (a ? 0,且a ? 1) 的图象恒过定点(﹣2,﹣1),即 A(﹣2,﹣1) ,

mn ? 0 , ∵ 点 A 在直线 mx+ny+2=0 上,∴ ﹣2m﹣n+2=0,即 2m+n=2,∵
∴m>0,n>0,

1 2 1 4m n ? 1 ? 1 2? 1? + ? ? 2m ? n ? ? + ? ? ? 4 ? ? ? ? ? 4+4 ? =4 . m n 2 n m? 2 ?m n? 2?

【思路点拨】根据对数函数的性质先求出 A 的坐标,代入直线方程可得 m、n 的关系,再利用 1 的代换结合均值不等式求解即可.

【题文】15、2008 年高考福建省理科数学第 11 题是:“双曲线

x2 y 2 - =1 ( a ? 0,b ? 0 ) a 2 b2

的两个焦点为 F1 、F2 ,若 P 为其上一点, 且 | PF 1 |? 2 | PF 2 | ,则双曲线离心率的取值范围为: A.(1,3);B.(1,3];C.(3,+∞);D.[3,+∞)”其正确选项是 B。若将其中的条
-7-

件“ | PF 1 |? 2 | PF 2 | ”更换为“ | PF 1 |? k | PF 2 | , k ? 0 且 k ? 1 ”,试经过合情推理,得出 双曲线离心率的取值范围是 【知识点】双曲线的应用;进行简单的合情推理.H6 M1 【答案】 【解析】(1,

k ?1 ] | k ? 1|

解析: ∵ 则双曲线离心率的取值范围为: A. (1, | PF1 |? 2 | PF2 | ,

3) ; B. (1,3]; C. (3,+∞) ; D.[3,+∞)” 其正确选项是 B,区间前端点为 1,后端点为 3=

3 2+1 = , 1 2-1

若将其中的条件“ | PF ,经过合情推 1 |? 2 | PF 2 | ”更换为“ | PF 1 |? k | PF 2 | ,k ? 0 且 k ? 1” 理,得出双曲线离心率的取值范围是开区间,前端点为 1,后端点为

k ?1 , | k ? 1|

∴双曲线离心率的取值范围是 (1,

k ?1 k ?1 ] ;故答案为 (1, ]. | k ? 1| | k ? 1|
3 2+1 = , 1 2-1

【思路点拨】 开区间前端点是 1, 关键看后端点的值与|PF2|前边的系数的关系, 由 3= 联想系数为 k 时,后端点是

k ?1 ,从而得出答案. | k ? 1|

【题文】 三、解答题(本大题共 6 小题,共 80 分,解答题写出必要的文字说明、推演步骤。)
【 题 文 】 16. ( 本 小 题 满 分 13 分 ) 已 知 向 量 m ? (2 cos x, sin x) , n ? (cosx,2 3 cos x)

? x ? R? ,设函数 f ( x) ? m ? n ? 1. (1)求函数 f ? x ? 的单调增区间;
(2)已知锐角 ?ABC 的三个内角分别为 A,B,C, 若 f ( A) ? 2 , B ? 求边 BC . 【知识点】向量的数量积公式;三角函数的性质;正弦定理.C3 C8 F3 【答案】 【解析】 (1) ??

?
4

,边 AB ? 3 ,

3( 6 ? 2) ? ? ? ? ? k? , ? k? ?(k ? Z ) ;(2) 2 6 ? 3 ?

解析: (1) f ( x) ? m ? n ? 1

? 2 cos2 x ? 2 3 sin x cos x ? 1 ? cos2x ? 3 sin 2 x .

-8-

? 2 sin( 2 x ?


?
6

)

??????????4分

x ?R,由 ?

?
2 ?

? 2k? ? 2 x ?

?
6

?

?
2

? 2k? 得

?
3

? k? ? x ?

?
6

? k? (k ? Z ) ??? 6分
????????7分

∴函数 f ? x ? 的单调增区间为 ??

? ? ? ? ? k? , ? k? ?(k ? Z ) 6 ? 3 ?
?
6

(2)∵ f ( A) ? 2 ,即 2 sin( 2 A ? 又B ?

) ? 2 ,∵角 A 为锐角,得 A ?

?
6

, ??? 9分

?
4

,∴ C ?

7 7? ? ? ? ,∴ sin C ? sin ? sin( ? ) ? 12 12 4 3

6? 2 4
??? 13分

∵ AB ? 3 ,由正弦定理得 BC ?

AB sin A 3( 6 ? 2) ? sin C 2

【思路点拨】 (1)先利用向量的数量积公式把函数 f ? x ? 化简,在结合三角函数的单调性求出 单调增区间; (2)先求出角 A,再利用正弦定理可求得 BC. 【题文】17.(本小题满分 13 分)已知等差数列 {an } 的各项均为正数, a1 ? 3, a3 ? 7 ,其前 n 项和为 Sn , {bn } 为等比数列, b1 ? 2 ,且 b2 S2 ? 32, . (1)求 an 与 bn ; (2)证明 【知识点】数列的求和.D4 【答案】 【解析】 (1) an ? 2n ? 1,

1 1 1 3 ? ?? ? ? . s1 s2 sn 4

bn ? 2n

; (2)见解析.

解析: (1)设 ?an } 的公差为 d ,且 d ? 0; ?bn } 的公比为 q

? an ? 3 ? (n ? 1)d , bn ? 2q n ?1 ? a3 ? 3 ? 2d ? 7 S 2b2 ? (6 ? d ) ? 2q ? 32 ?d ? 2 ?? ?q ? 2
?an ? 2n ? 1, bn ? 2n ???????7 分 (2) Sn ? 3 ? 5 ? ? (2n ? 1) ? n(n ? 2) ,???9 分

-9-



1 1 ? ? S1 S2

?

1 1 1 1 ? ? ? ? S n 1? 3 2 ? 4 3 ? 5
? 1 1 ? ) n n?2

?

1 n(n ? 2)

? ?

1 1 1 1 1 1 (1 ? ? ? ? ? ? 2 3 2 4 3 5

3 2n ? 3 3 1 1 1 1 (1 ? ? ? )? ? ? ???????13 分 2 2 n ?1 n ? 2 4 2(n ? 1)(n ? 2) 4

【思路点拨】 (1)直接由已知求得等差数列的公差,代入等差数列的通项公式求解,再由 则等比数列的通项公式可求; (2) 求出等差数列的前 n 项和, b2 S2 ? 32, 求得等比数列的公比, 然后结合裂项相消法可证。 【题文】18(本小题满分 13 分) 如 图 , 在 三 棱 柱 ABC ? A1 B1C1 中 , AA1C1C 是 边 长 为 4 的 正 方 形 , 平 面 ABC ? 平 面

AA1C1C , AB ? 3, BC ? 5 .
(1)求证: AA1 ? 平面 ABC ; (2)求二面角 A1 ? BC1 ? B1 的余弦值; (3)证明:在线段 BC1 上存在点 D ,使得 AD ? A1 B ,并求

BD 的值。 BC1

【知识点】线面垂直的判定定理;空间向量求二面角;面面垂直的性质定理.G4 G5 G11 【答案】 【解析】 (1)见解析; (2)

16 9 ; (3) ? ? 25 25

解析: (1)因为 AA1C1C 为正方形,所以 AA1 ⊥AC. 因为平面ABC⊥平面AA1C1C,且AA1垂直于这两个平面的交线AC, 所以AA1⊥平面ABC.??? 3分 (2)由(I)知 AA1 ⊥AC,AA1 ⊥AB. 由题知 AB=3,BC=5,AC=4,所以 AB⊥AC. 图,以 A 为原点建立空间直角坐标系 A- xyz ,



- 10 -

则 B(0,3,0),A1(0,0,4),B1(0,3,4),C1(4,0,4), 设平面 A1BC1 的法向量为 n = ( x, y, z ) ,则 ?

? ? n ? A1 B ? 0 ? ?n ? A1C1 ? 0

,即 ?

?3 y ? 4 z ? 0 , 4x ? 0 ?

令 z ? 3 ,则 x ? 0 , y ? 4 ,所以 n = (0, 4,3) .??? 6 分 同理可得,平面 BB1C1 的法向量为 m = (3, 4, 0) ,所以 cos n,m ?

n?m 16 . 由题知二 ? | n || m | 25

面角 A1-BC1-B1 为锐角,所以二面角 A1-BC1-B1 的余弦值为

16 .??? 8 分 25

(3) 设 D ( x, y, z ) 是直线 BC1 上一点,且 BD ? ? BC1 . 所以 ( x, y ? 3, z ) ? ? (4,? 3, 4). 解得

x ? 4? , y ? 3 ? 3? , z ? 4? .
所以 AD ? (4?,3 ? 3?, 4? ) . 由 AD· A1B ? 0 ,即 9 ? 25? ? 0 .解得 ? ? 因为

9 .??? 11 分 25

9 ? [0,1] ,所以在线段 BC1 上存在点 D, 25

使得 AD⊥A1B. 此时,

BD 9 .??? 13 分 ?? ? BC1 25

【思路点拨】 (1)先由 AA1C1C 为正方形,证出 AA1 ⊥AC.再结合面面垂直的性质定理即可;. (2) 先结合已知得到 AB⊥AC.然后以 A 为原点建立空间直角坐标系 A- xyz ,求出平面 A1BC1 的法向量为 n = (0, 4,3) ,以及平面 BB1C1 的法向量为 m = (3, 4, 0) ,最后利用公式即可; (3) 由 BD ? ? BC1 得到向量坐标间的关系,再利用 AD· A1B ? 0 解得 ? ?

9 . 25

x2 y 2 2 【题文】 19. (本小题满分 13 分) 设椭圆 E: 2 ? 2 ? 1(a,b>0) , 短轴长为 4, 离心率为 , 2 a b

- 11 -

O 为坐标原点, (1)求椭圆 E 的方程; (2)是否存在圆心在原点的圆,使得该圆的任意一条切线与椭圆 E 恒有两个交点 A,B,且

OA ? OB ?若存在,求出该圆的方程,若不存在说明理由。
【知识点】直线与圆锥曲线的关系;椭圆的标准方程.H5 H8 【答案】 【解析】 (1)

x2 y 2 ? ? 1 (2)存在,理由见解析. 8 4
x2 y 2 2 ? 2 ? 1 (a,b>0),b=2, e= 2 2 a b

解析: (1)因为椭圆 E:

所以解得所以 ?

?a 2 ? 8 x2 y 2 ? ? 1 ??? 5 分 椭圆 E 的方程为 2 8 4 ?b ? 4

(2)假设存在圆心在原点的圆,使得该圆的任意一条切线与椭圆 E 恒有两个交点 A,B,

? y ? kx ? m ? 且 OA ? OB , 设 该 圆 的 切 线 方 程 为 y ? kx ? m 解 方 程 组 ? x 2 y 2 得 ?1 ? ? 4 ?8

x2 ? 2(kx ? m)2 ? 8 ,即 (1 ? 2k 2 ) x2 ? 4kmx ? 2m2 ? 8 ? 0 ,

??? 7 分
2 2

则△= 16k 2 m2 ? 4(1 ? 2k 2 )(2m2 ? 8) ? 8(8k 2 ? m2 ? 4) ? 0 ,即 8k ? m ? 4 ? 0

4km ? x1 ? x2 ? ? ? ? 1 ? 2k 2 A. ? 2 ? x x ? 2m ? 8 ? 1 2 1 ? 2k 2 ?

,

y1 y2 ? (kx1 ? m)(kx2 ? m) ? k 2 x1 x2 ? km( x1 ? x2 ) ? m 2 ?

k 2 (2m2 ? 8) 4k 2 m2 m2 ? 8k 2 2 ? ? m ? 1 ? 2k 2 1 ? 2k 2 1 ? 2k 2

要使 OA ? OB ,需使 x1 x2 ? y1 y2 ? 0 ,即

2m2 ? 8 m2 ? 8k 2 ? ? 0 ,所以 3m2 ? 8k 2 ? 8 ? 0 ,所以 2 2 1 ? 2k 1 ? 2k

? m2 ? 2 8 3m2 ? 8 2 6 2 2 2 k ? ? 0 又 8k ? m ? 4 ? 0 , 所 以 ? 2 ,所以 m ? , 即 m? 或 3 8 3 ?3m ? 8
2

m??

2 6 ? m ,因为直线 y ? kx 为圆心在原点的圆的一条切线,所以圆的半径为 3

- 12 -

m2 m2 8 8 2 6 2 2 ? ? ,r ? ,r ? ,所求的圆为 x ? y ? ,??? 11 分 r? 2 2 2 3m ? 8 3 3 1? k 3 1? k 1? 8
2

m

此时圆的切线 y ? kx ? m 都满足 m ?

2 6 2 6 或m?? , 而当切线的斜率不存在时切线为 3 3

x??

2 6 2 6 2 6 2 6 2 6 x2 y 2 ? ?1 的 两 个 交 点 为 ( ,? ) 满足 与椭圆 ,? ) 或 (? 8 4 3 3 3 3 3
8 ,使得该圆的任意一条切线与椭圆 E 恒有 3

2 2 ,综上, 存在圆心在原点的圆 x ? y ? O A? O B

两个交点 A,B,且 OA ? OB .??? 13 分

【思路点拨】 (1)根据短轴长为 4,离心率为

2 ,求出几何量,从而可求椭圆 E 的方程; 2

(2)先假设存在,设该圆的切线方程代入椭圆方程,利用韦达定理及 OA ? OB ,可确定 m 的范围及所求的圆的方程,验证当切线的斜率不存在时,结论也成立. 【题文】20.(本小题满分 14 分)已知函数 f ( x) ? ax ? 1 ? ln x (a ? R) . (Ⅰ)讨论函数 f ( x) 在定义域内的极值点的个数; (Ⅱ)若函数 f ( x ) 在 x ? 1 处取得极值,且对 ?x ? (0,??) , f ( x) ? bx ? 2 恒成立, 求实数 b 的取值范围; (Ⅲ)当 0 ? x ? y ? e 且 x ? e 时,试比较
2

y 1 ? ln y 与 的大小. x 1 ? ln x

【知识点】利用导数求闭区间上函数的最值;利用导数研究函数的单调性;函数在某点取得 极值的条件;利用导数研究函数的极值.B11 B12 【答案】 【解析】(Ⅰ) 当 时 在 上没有极值点,当 时, 在 上有

一个极值点. (Ⅱ)

(Ⅲ)

解析:(Ⅰ) 当 ∴ 时, 在 在

, 上恒成立,函数 在 单调递减,

上没有极值点;



时,













上递减,在

上递增,即
- 13 -



处有极小值.

∴当 当

时 时,

在 在 在

上没有极值点, 上有一个极值点.??? 4 分 处取得极值,

(Ⅱ)∵函数 ∴ ∴ 令 ,

, ,可得 在 上递减,在 上递增,



,即

.??? 9 分

(Ⅲ)解:令 由(Ⅱ)可知 在

, 上单调递减,则 在 上单调递减

∴当 当 时,

时,

>

,即



∴ 当

, 时,



??? 14 分

【思路点拨】 (Ⅰ)函数 f(x)的定义域为(0,+∞),然后求出其导函数,通过对 a 进行分类讨 论判断单调区间,得出极值点情况. (Ⅱ)a=1, 用导数求最小值. (Ⅲ)由(Ⅱ) > ,整理得 >
2

,然后利用利 在(0,e )上为减函数,g(x)>g(y) , ,考虑将 1﹣lnx 除到右边,为此分 1

﹣lnx 正负分类求解. 【题文】21. 本题设有(1) 、 (2) 、 (3)三个选考题,每题 7 分,请考生任选 2 题做答,满分 14 分,如果多做,则按所做的前两题计分,做答时,先用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应 的题号涂黑,并将所选题号填入括号中。 (1) (本小题满分 7 分)选修 4-2:矩阵与变换
- 14 -

二阶矩阵 M 对应的变换 T 将点(2,-2)与(-4,2)分别变换成点(-2,-2)与(0,-4). (1)求矩阵 M; (2)设直线 l 在变换 T 作用下得到了直线 m:x-y=6,求 l 的方程. 【知识点】几种特殊的矩阵变换.N2 【答案】 【解析】 (1)M=? 解析:(1)设 M=?

?1 2? ?.(2)x+y+3=0 ?3 4?
? ?-2a+b=0 ,且? ?-2c+d=-2 ?

? ?a-b=-1 ?a b? ?,所以? ?c-d=-1 ?c d? ?



a=1 ? ?b=2 解得? c=3 ? ?d=4
(2)因为?

,所以 M=?

?1 2? ?.??? 4 分 ?3 4?

?x′? ?1 2??x? ?x+2y ? ?=? ?? ?=? ? ?y′? ?3 4??y? ?3x+4y?

且 m:x′-y′=6,所以(x+2y)-(3x+4y)=6, 即 x+y+3=0,∴直线 l 的方程是 x+y+3=0??? 7 分 【思路点拨】 (1)先设出所求矩阵,利用待定系数法建立一个四元一次方程组,解方程组即 可; (2)在所求的直线上任设一点写成列向量,求出该点在矩阵 M 的作用下的点的坐标,代 入已知曲线即可. 【题文】(2)(本小题满分 7 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 已知极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合, 极轴与 x 轴的非负半轴重合. 若曲线 C1 的
? x ? cos ? , ? 方程为 ? sin(? ? ) ? 2 3 ? 0 ,曲线 C2 的参数方程为 ? 6 ? y ? sin ? .

(Ⅰ) 将 C1 的方程化为直角坐标方程; (Ⅱ)若点 Q 为 C2 上的动点, P 为 C1 上的动点,求 PQ 的最小值. 【知识点】参数方程化成普通方程.N3 【答案】 【解析】 (Ⅰ) x ? 3 y ? 4 3 ? 0 ; (Ⅱ) 2 3 ? 1 . 解析: (Ⅰ)由已知得 ? ?
3 1 sin ? ? ? ? cos ? ? 2 3 ? 0 ,即 x ? 3 y ? 4 3 ? 0 ???3 分 2 2

(Ⅱ)由 C2 得 x2 ? y 2 ? 1 ,所以圆心为 C2 (0, 0) ,半径为 1. 又圆心到直线 C1 的距离为 d ? 2 3 ,???????5 分 所以 PQ 的最大值为 2 3 ? 1 .??????????7 分

- 15 -

【思路点拨】 (Ⅰ)把曲线 C1 的极坐标方程化为直角坐标方程即可; (Ⅱ)把曲线 C2 的参数方 程化为普通方程,得到圆的标准方程,求出圆心到直线 C1 的距离,即得|PQ|的最小 【题文】(3)(本小题满分 7 分)选修 4-5:不等式选讲 已知函数 f(x)=| x+3|-|x-2|. (1)求不等式 f(x)≥3 的解集; (2)若 f(x) ≥ |a-4|有解,求 a 的取值范围. 【知识点】绝对值不等式的解法.N4 【答案】 【解析】 (1) 1, +

[

) (2)-1≤a≤9
ì ? x <-3 或 ? -5 3 ?

解析:(1) 因为 f(x)≥3,即| x+3|-|x-2|≥3,此不等式可转化为: í

ì - 3 #x 2 ? ì x? 2 ? 或í ,解得不等式组的解集为 [1, + í ? 2 x +1 3 ? ? ? 5? 3
[1, + ? ) ??? 3 分 (2) 若 f(x) ≥ |a-4|有解,则须满足 | a - 4 | 5,所以 |a-4|≤5 ∴-1≤a≤9??? 7 分

);
f ( x) min ,根据题意易知函数的最小值为

【思路点拨】 (1)不等式等价于不等式组,求出每个不等式组的解集,再取并集即得所求. (2)找出原命题的等价命题,由此求得求 a 的取值范围.

- 16 -



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