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导数的几何意义



导数的几何意义

复习导数的概念
1.定义:设函数y=f(x)在点x0处及其附近有定义,当自 变量x在点x0处有改变量Δ x时函数有相应的改变量 Δ y=f(x0+ Δ x)- f(x0).如果当Δ x?0 时,Δ y/Δ x的极限 存在,这个极限就叫做函数f(x)在点x0处的导数(或变化 率)记作 f ?( x0 )或y? |x? x , 即:

f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) ?y f ?( x0 ) ? lim ? lim . ?x ?0 ?x ?x ?0 ?x
0

瞬时速度就是位移函数s(t)对时间t的导数.
?y f ( x0 ? ?x ) ? f ( x0 ) 是函数f(x)在以x 与x +Δ x ? 0 0 ?x ?x

为端点的区间[x0,x0+Δ x](或[x0+Δx,x0])上的平均变化 率,而导数则是函数f(x)在点x0 处的瞬时变化率,它反映 了函数随自变量变化而变化的快慢程度.
思考一下,导数可以用下式表示吗? f ( x) ? f ( x0 ) f ?( x0 ) ? lim x ? x0 x ? x0

如果函数y=f(x)在点x=x0存在导数,就说函数y=f(x) 在点x0处可导,如果极限不存在,就说函数 f(x)在点x0处 不可导.

2.由导数的意义可知,求函数y=f(x)在点x0 处的导数的基本方法是:
(1)求函数的增量?y ? f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 );

?y f ( x 0 ??x) ? f ( x0 ) (2)求平均变化率 ? ; ?x ?x ?y (3)取极限,得导数f ?( x0 ) ? lim . ?x ?0 ?x
注意:这里的增量不是一般意义上的增量,它可正也可负. 自变量的增量Δx的形式是多样的,但不论Δx选择 哪种形式, Δy也必须选择与之相对应的形式.

导数的几何意义:
如图,曲线C是函数y=f(x) 的图象,P(x0,y0)是曲线C上的 任意一点,Q(x0+Δ x,y0+Δ y) 为P邻近一点,PQ为C的割线, PM//x轴,QM//y轴,β为PQ的 倾斜角.则 : MP ? ?x , MQ ? ?y, ?y ? tan ? . ?x
?y 请问: 是割线PQ的什么? ?x
y y=f(x) Q

Δy P O
β

Δx

M x

斜率!

y

观 察 如图 1 .1 ? 2 ,当点 Pn ? xn , f ? xn ?? 沿着曲线 P ? x0 , f ? x0 ?? f ? x ?趋近于点
y

y ? f ?x ?
P1
T P

y

y ? f ?x ?
P2
T

?n ? 1, 2, 3, 4 ?

O

x

O

x

?1?
y ? f ?x ?
y

?2 ?
y ? f ?x ?

时, 割线PPn的 变 化 趋势 是 什么?
P

P3

T

T

P4 P

O

x

O

x

?3 ?

?4 ?

图1.1 ? 2

请看当点Q沿着曲线逐渐向点P接近时,割线PQ绕着 点P逐渐转动的情况 . y
y=f(x) Q

割 线 T 切线

P

?
x

o

我们发现,当点Q沿着曲线无限接近点P即Δ x→0 时,割线PQ有一个极限位置PT.则我们把直线PT称为曲 线在点P处的切线. 设切线的倾斜角为α ,那么当Δx→0时,割线PQ的 斜率,称为曲线在点P处的切线的斜率.

f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) ?y ? lim 即: k切线 ? f ( x0 ) ? lim ?x ?0 ?x ?x ?0 ?x
'

这个概念:①提供了求曲线上某点切线的斜 率的一种方法;②切线斜率的本质——函数在 x=x0处的导数.

导数的几何意义:
? ? ?

即:

f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) ?y k切线 ? f ( x0 ) ? lim ? lim ?x ?0 ?x ?x ?0 ?x
'

函数在x0处的导数的几何意义: 是曲线y=f(x)在(x0,f(x0) )点处的斜 率,

例1:已知函数y=f(x)=x2,x0=-2
(1)、分别对Δx=2,1,0.5求y=x2在区间[x0,x0+Δx]上的平均变

化率并画出过点(x0,f(x0))的相应割线。 (2)、求函数y=x2在x0=-2处的导数,并画出曲线y=f(x)在点 (-2,4)处的切线。

例2、求函数y=f(x)=2x3在x=1处的切线方程。

练习1:求曲线y=f(x)=x2+1在点P(1,2)处的切线方程. f ( x 0 ? ?x ) ? f ( x 0 ) 解 : k ? lim y ?x ? 0 Q ?x (1 ? ?x ) 2 ? 1 ? (1 ? 1) ? lim 2 ?x ? 0 ?x y = x +1 ?y 2 ?x ? ( ?x ) 2 ? lim ? 2. ?x ? 0 ?x P M 因此,切线方程为y-2=2(x-1), ?x 即y=2x.
1

求曲线在某点处的切线方程 的基本步骤:先利用切线斜率 的定义求出切线的斜率,然后 利用点斜式求切线方程.

j

x

-1 O

1

1 3 8 y ? x 上一点 P ( 2, ) 3 练习2:如图已知曲线 3

,求: (1)点P处的切线的斜率; (2)点P处的切线方程.
1 1 3 3 ( x ? ?x) ? x 1 3 ?y 3 解: (1) y ? x ,? y? ? lim ? lim 3 ?x ?0 ?x ?x ?0 3 ?x 4 1 3x 2 ?x ? 3x(?x) 2 ? (?x)3 ? lim 3 3 ?x?0 ?x 2 1 2 2 2 ? lim [3 x ? 3x?x ? (?x) ] ? x . 1 3 ?x?0
y

y?

1 3 x 3

P
x 1 2

? y? |x?2 ? 22 ? 4.

-2 -1

即点P处的切线的斜率等于4.

O -1 -2

(2)在点P处的切线方程是y-8/3=4(x-2),即12x-3y-16=0.

小结:
求切线方程的步骤: (1)求出函数在点x0处的瞬时变化率 f ?( x0 ) ,得到 曲线在点(x0,f(x0))的切线的斜率。 (2)根据直线方程的点斜式写出切线方程,即

y ? f ( x0 ) ? f ?( x0 )( x ? x0 ).
无限逼近的极限思想是建立导数 概念、用导数定义求 函数的导数的 基本思想,丢掉极限思想就无法理解 导 数概念。

课后作业:
?

课本P37练习2-2
3,4,5



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