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概率习题课三


概率统计
习题课 三

一、填空题
3 4 1. 设 P ? X ? 0,Y ? 0? ? , P ? X ? 0? ?P ?Y ? 0? ? , 7 7 57 则 P ?max{ X ,Y } ? 0? ? _____ .
解 max? X ,Y ? ? 0 ? X ? 0,Y ? 0.

P{max? X ,Y ? ? 0} ? P{ X ? 0,Y ? 0} 4 因为 P ? X ? 0? ?P ?Y ? 0? ? , 7 3 所以 P ? X ? 0? ? P ?Y ? 0? ? , 7 4 又因为 P{( X ? 0) ? (Y ? 0)} ? 1 ? P ? X ? 0,Y ? 0? ? 7 3 3 4 2 故 P{ X ? 0,Y ? 0} ? ? ? ? 7 7 7 7

2. 已知 X、Y 的分布律为

Y 0 1

X

0
13 a

1
b 16

16 ___ 且? X ? 0?与? X ? Y ? 1? 独立 ,则 a ? 1 3 , b ? ____ .
解 P{ X ? 0, X ? Y ? 1} ? P{ X ? 0,Y ? 1} ? a

1 P ? X ? 0? ? P{ X ? 0,Y ? 0} ? P{ X ? 0,Y ? 1} ? a ? 3 P{ X ? Y ? 1} ? P{ X ? 0,Y ? 1} ? P{ X ? 1,Y ? 0} ? a ? b

因为? X ? 0?与? X ? Y ? 1? 独立 , 所以

P{ X ? 0, X ? Y ? 1} ? P ? X ? 0?? P{ X ? Y ? 1}


1 a ? (a ? )(a ? b ) 3 1 1 a?b? ? ?1 3 6 1 1 a? ,b? . 3 6

联立 得到

二、选择题
1. 已知 X 1、X 2 相互独立 , 且分布律为
Xi

0
12

1
12

( i ? 1 , 2)

P

C 那么下列结论正确的是_____.

A. X 1 ? X 2

B . P{ X 1 ? X 2 } ? 1

C . P{ X 1 ? X 2 } ? 1 2 D. 以上都不正确

解 { X 1 ? X 2 } ? { X 1 ? 0, X 2 ? 0} ?{ X 1 ? 1, X 2 ? 1} 因为 X 1、X 2 相互独立 , 所以
P{ X 1 ? 0, X 2 ? 0} ? P ? X 1 ? 0? ? P ? X 2 ? 0? ? 1 4 P{ X 1 ? 1, X 2 ? 1} ? P ? X 1 ? 1? ? P ? X 2 ? 1? ? 1 4



P{ X 1 ? X 2 } ? 1 2

2. 设离散型随机变量? X ,Y ? 的联合分布律为 ( X ,Y ) (1,1) (1, 2) (1, 3) (2,1) (2, 2)(2, 3)

P

16 19

1 18 1 3

α

β

A 且 X、Y 相互独立 ,则_______.
A. α ? 2 9, β ? 1 9 C . α ? 1 6, β ? 1 6 B. α ? 1 9, β ? 2 9 D. α ? 8 15, β ? 1 18

解 因为 X、Y 相互独立 , 所以

P{ X ? 1,Y ? 3} ? P ? X ? 1?? P{Y ? 3}
即 解得 又因为 故

1 1 1 1 1 ? ( ? ? )( ? β ) 18 6 9 18 18

β ?1 9
1 1 1 1 1 α ? β ? ? ? ? ? 1 或者 α ? β ? 3 6 9 18 3 2 α? 9

2 2 设 X ~ N μ1 , σ1 , Y ~ N μ2 , σ2 , 那么 X 和 Y 3.

?

?

?

?

C 的联合分布为_____. A. 二维正态分布,且 ρ ? 0
B. 二维正态分布,且 ρ 不 定 C . 未必是二维正态分布

D. 以上都不对

当 X、Y 相互独立 时 , 则 X 和 Y 的联 合分布为 A .

? ? ( x ? μ1 )2 ?1 ? f ? x, y ? ? exp ? 2 2 ? 2 σ1 2πσ1σ 2 1 ? ρ ?2 1? ρ ? ? ( x ? μ1 )( y ? μ2 ) ( x ? μ2 )2 ? ? ? 2ρ ? ?? 2 σ 1σ 2 σ2 ?? 1

?

?

三、解答题
1. 把一枚均匀硬币抛掷三次,设X为三次抛掷 中正面出现的次数, 而 Y 为正面出现次数与反面出 现次数之差的绝对值, 求 (X ,Y) 的分布律与边缘分 布. 解 ( X, Y ) 可取值 (0,3) , (1,1) , (2,1) , (3,3)

P{X=0, Y=3}? ? 1 2 ? ? 1 8
3
2

X 3? 1 ? 1 ? ? P{X=1, Y=1} ? ? ? ? ? ? ? =3/8 0 ?1 ? 2 ? 2 ? 2 1 ? 3? ? 1 ? 1 P{X=2, Y=1}? ? ? ? ? ? ? =3/8 2 ? 2? ? 2 ? 2 3 3 P{X=3, Y=0} ? ? 1 2 ? ? 1 8.

Y

1

3

0 18 38 0 38 0 0 18

(X ,Y) 关于 X 的边缘分布

P{X=0}=P{X=0, Y=1}+P{X=0, Y=3}=1/8, P{X=1}=P{X=1, Y=1}+P{X=1, Y=3}=3/8, P{X=2}= P{X=2, Y=1}+P{X=2, Y=3}=3/8, P{X=3}= P{X=3, Y=1}+P{X=3, Y=3}=1/8.
(X ,Y) 关于 Y 的边缘分布

P{Y=1}= ? P ? X ? k ,Y ? 1?=3/8+3/8=6/8,

3

P{Y=3}= ? P ? X ? k ,Y ? 3? =1/8+1/8=2/8.
k ?0

k ?0 3

数为

2. 设二维连续型随机变量 ? X ,Y ? 的联合分布函
x y F ? x , y ? ? A( B ? arctan )(C ? arctan ) 2 3

? 1? ? 3?

求 A 、B 、C 的值 ,

? 2 ? 求 ? X ,Y ? 的联合密度 ,
判断 X、Y 的独立性 .

解 ? 1? 由 F ? ??, ?? ? ? 0 , F ? ??, ?? ? ? 0 ,

F ? ??, ?? ? ? 0 , 得到
π π A( B ? )(C ? ) ? 0 2 2 π π A( B ? )(C ? ) ? 0 2 2 π π A( B ? )(C ? ) ? 1 2 2 1 π A? 2 , B?C ? . π 2

解得

1 π x π π ? 3 ? FX ? x ? ? F ? x, ?? ? ? 2 ( ? arctan )( ? ) π 2 2 2 2 1 π x ? ( ? arctan ) ( ?? ? x ? ?? ) π 2 2 1 π y π π FY ? y ? ? F ? ??, y ? ? 2 ( ? arctan )( ? ) π 2 3 2 2 1 π y ? ( ? arctan ) ( ?? ? y ? ?? ) π 2 3
可见
F ? x , y ? ? FX ? x ? FY ? y ? , ? x , y ? ? R 2 .

故 X、Y 相互独立 .

? 2 ? ? X ,Y ? 的联合密度为
? 2F ? x, y ? 6 ? 2 f ? x, y ? ? π ? 4 ? x 2 ?? 9 ? y 2 ? ?x?y

? 3?

fX ?x? ? ?

??

??

f ? x , y ?dy

6 ? 2 π 4 ? x2

?

? ?

??

??

1 dy 2 9? y

2 y ? 2 ? 2 [arctan ]?? ? 2 2 3 π 4? x π 4? x

?

?

?

?

( ?? ? x ? ?? )

fY ? y ? ? ?

?? ??

f ? x , y ? dx

6 ? 2 π 9 ? y2

?

? ?

??

??

1 dx 2 4? x

3 x ? ? 2 [arctan ]?? 2 2 π 9? y

?

?

3 ? π 9 ? y2

?

?

( ?? ? y ? ?? )

可见

f ? x , y ? ? f X ? x ? fY ? y ?

? x, y ? ? R2 .

故 X、Y 相互独立 .


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