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直线的倾斜角和斜率



直线的斜率和倾斜角

江苏省口岸中学

陈明朋

[归纳· 知识整合]
1.直线的倾斜角与斜率 (1)直线的倾斜角 ①一个前提:直线l与x轴 相交 ; 一个基准:取 x轴 作为基准; 两个方向:x轴正方向与直线l向上方向. ②当直线l与x轴平行或重合时,规定:它的倾斜角为 0° . ③倾斜角的取值范围为 [0

,π) . (2)直线的斜率 ①定义:若直线的倾斜角θ不是90°,则斜率k= tan α . ②计算公式:若由A(x1,y1),B(x2,y2)确定的直线不垂直 y -y1 . 于x轴,则k= 2

x2-x1

[探究]
1. 所有的直线都存在斜率吗?都有倾斜角吗?

2.直线的倾角θ越大,斜率k就越大,这种说法正确吗?
3. 直线的倾斜角和斜率都能刻画直线的倾斜程度,那 么他们有怎样的联系和区别?

[探究] 1. 所有的直线都存在斜率吗?都 有倾斜角吗?
答案:所有直线都有倾斜角,但不一定有斜率(当直线与x
轴垂直,即倾斜角为 时,斜率不存在).

它们的关系是k=tan α,

[探究] 法正确吗?

2.直线的倾角θ越大,斜率k就越大,这种说
? π? θ?θ≠2?知,当 ? ?

提示:这种说法不正确.由 k=tan
? π? ∈?0,2?时,θ ? ?

θ

越大,斜率越大且为正;当

?π ? θ∈?2,π?时,θ ? ?

越大,斜率也越大且为负.但综合起来说是错误的.

[探究] 3. 直线的倾斜角和斜率都能刻画直线的倾斜
程度,那么他们有怎样的联系和区别? 答案:倾斜角侧重从形的角度刻画直线的倾斜程度, 而斜率侧重于从数的角度刻画直线的倾斜程度,(为 后面导数做铺垫)

自测· 牛刀小试

自主学习、合作探究

举一反三:

题型二、直线的倾斜角和斜率的范围 例3 直线l过点P(1,0),且与以A(2,1),B(0,1)为端点的线 段有公共点,则直线l的斜率的取值范围为________.

1-0 解答:如右图,∵kAP= =1, 2-1

1? 0 kBP= 0 ? 1 =-1,
∴k∈(-∞,-1 ]∪[1,+∞).

若将本例中P(1,0)改为P(-1,0),B(0, 3)其他条件不变, 求直线l的斜率的取值范围.
解:∵P(-1,0),A(2,1),B(0, 3), 1-0 3-0 1 ∴kPA= = ,kPB= = 3. 3 2-?-1? 0-?-1? 借助图形可知,直线 l
?1 的斜率的取值范围为?3, ? ? 3?. ?

变式训练2:

变式训练3

—————

————————————

斜率的求法 (1)定义法:若已知直线的倾斜角α或α的某种三角 函数值,一般根据k=tan α求斜率;

(2)公式法: 若已知直线上两点 A(x1, y1), B(x2, y 2 ), y2-y1 一般根据斜率公式 k= (x ≠x2)求斜率. x2-x1 1

—————————————————————————

1.直线l:xsin 30°+ycos 150°+1=0的斜率是
3 A. 3 B. 3 C.- 3 3 D.- 3

(

)

解析:设直线 l 的斜率为 k, sin 30° 3 则 k=-cos 150° =3.
答案:A

2.若直线l与直线y=1,x=7分别交于点P,Q,且线段PQ 的中点坐标为(1,-1),则直线l的斜率为
1 A.3 1 B.-3 3 C.-2 2 D.3

(

)

解析:设 P(x,1),Q(7,y),则 x+7=2,1+y=-2, 1-?-3? 1 解得 x=-5,y=-3,从而 kl= =- . 3 -5-7

答案:B

直线的倾斜角与斜率的关系

(1)任何的直线都存在倾斜角,但并不是任意的直线 都存在斜率.

(2)直线的倾斜角α和斜率k之间的对应关系
α k 0° 0

0° <α<90°
k>0

90°
不存在

90° <α<180° k<0



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