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【步步高】2016高考数学大一轮复习 4.2同角三角函数基本关系及诱导公式试题 理 苏教版


第2讲
一、填空题

同角三角函数的基本关系与诱导公式

1.已知 sin 110°=a,则 cos 20°的值为________. 解析 a=sin(90°+20°)=cos 20°. 答案 a 2.已知 cos 31°=a,则 sin 239°·tan 149°=________. 解析 sin 239°·tan 149° = sin(180° + 59°)·tan(180° - 31°) = - sin

sin 31° 2 2 59°·(-tan 31°)=cos 31°· =sin 31°= 1-cos 31°= 1-a . cos 31° 答案 1-a
2

3.设 tan(5π +α )=m,则

sin?α -3π ?+cos?π -α ? 的值为________. sin?-α ?-cos?π +α ?

sin?α -3π ?+cos?π -α ? 解析 ∵ sin?-α ?-cos?π +α ? sin?-4π +π +α ?-cos α = -sin α +cos α sin?π +α ?-cos α -sin α -cos α = = -sin α +cos α -sin α +cos α sin α +cos α tan α +1 = = ,又 tan(5π +α )=m, sin α -cos α tan α -1 ∴tan(π +α )=m,tan α =m, ∴原式= 答案

m+1 . m-1

m+1 m-1

2π ? ?π ? 2 ? 4.已知 cos? -α ?= ,则 sin?α - ?=________. 3 ? ?6 ? 3 ? 2π ? ? π ?π ?? ? 解析 sin?α - ?=sin?- -? -α ?? 3 ? ?? ? ? 2 ?6 =-sin?

?π +?π -α ??=-cos?π -α ?=-2. ? ?? ?6 ? 3 ?? ? ? ?2 ?6

2 答案 - 3 3π ? 8 ? 5.已知 cos(π -α )= ,α ∈?π , ?,则 tan α =________. 2 ? 17 ? 3π ? 8 8 ? 解析 cos(π -α )=-cos α = ,即 cos α =- .又 α ∈?π , ?,∴sin α < 2 ? 17 17 ?

1

15 sin α 15 2 0.所以 sin α =- 1-cos α =- .故 tan α = = . 17 cos α 8 答案 15 8

1 π π 6.已知 sin α cos α = ,且 <α < ,则 cos α -sin α 的值是________. 8 4 2 3 2 解析 1-2sin α cos α =(sin α -cos α ) = , 4 π π 3 又∵ <α < ,sin α >cos α .∴cos α -sin α =- . 4 2 2 答案 - 3 2

? π? ?π ? 7.若 x∈?0, ?,则 2tan x+tan? -x?的最小值为________. 2? ? ?2 ? ? π? 解析 因为 x∈?0, ?,所以 tan x>0. 2? ?
1 ?π ? ?π ? 所以 2tan x+tan? -x?=2tan x+ ≥2 2,所以 2tan x+tan? -x?的最小值 tan x ?2 ? ?2 ? 为 2 2. 答案 2 2 1 2 8.已知 sin x+sin y= ,则 sin y-cos x 的最大值为________. 3 1 1 解析 因为 sin x+sin y= ,所以 sin y= -sin x. 3 3 1 2 1 2 又-1≤sin y≤1,所以-1≤ -sin x≤1,得- ≤sin x≤1.因此,sin y-cos x= - 3 3 3 sin x-(1-sin x) 2 2 =- -sin x+sin x 3 1?2 11? 2 ? ? =?sin x- ? - ?- ≤sin x≤1?, 2? 12? 3 ? ? 2 4 2 所以当 sin x=- 时,sin y-cos x 取最大值 . 3 9 答案 4 9
2

9.三角形 ABC 是锐角三角形,若角 θ 终边上一点 P 的坐标为(sin A-cos B, sin θ cos θ tan θ cos A-sin C),则 + + 的值是________. |sin θ | |cos θ | |tan θ |

2

解析 因为三角形 ABC 是锐角三角形, 所以 A+B>90°, 即 A>90°-B, 则 sin A>sin(90° -B)=cos B,sin A-cos B>0,同理 cos A-sin C<0,所以点 P 在第四象限, + cos θ tan θ + =-1+1-1=-1. |cos θ | |tan θ | sin θ |sin θ |

答案 -1 3 ?π ? 10. 已知 α 为第二象限角,cos 2α =- ,则 tan? +2α ?=________. 4 5 ? ? 3π 解析 ∵2kπ +π <α <2kπ + , 2 ∴4kπ +2π <2α <4kπ +3π . 3 又 cos 2α =- ,∴2α 的终边在第二象限, 5 4 4 ∴sin 2α = ,∴tan 2α =- . 5 3 4 1- ?π ? 1+tan 2α = 3 =-1. ∴tan? +2α ?= 4 7 ?4 ? 1-tan 2α 1+ 3 1 答案 - 7 二、解答题 1 cos?π +θ ? 11.已知 sin(3π +θ )= ,求 + 3 cos θ [cos?π -θ ?-1] cos?θ -2π ? 3 π ? ? ?3π sin?θ - ?cos?θ -π ?-sin? +θ 2 ? ? ? 2

? ? ?

的值.

1 1 解 因为 sin(3π +θ )=-sin θ = ,所以 sin θ =- . 3 3 所以原式 -cos θ cos?2π -θ ? = + cos θ ?-cos θ -1? ? 3π ? -sin? -θ ?cos?π -θ ?+cos θ ? 2 ? = 1 cos θ 1 1 2 2 + = + = = = 2 2 2 1+cos θ -cos θ +cos θ 1+cos θ 1-cos θ 1-cos θ sin θ

2 =18. ?-1?2 ? 3? ? ? π 5 2sin α cos α -cos α +1 12.已知 0<α < ,若 cos α -sin α =- ,试求 的值. 2 5 1-tan α
3

解 因为 cos α -sin α =- 4 所以 2sin α ·cos α = , 5

5 1 ,所以 1-2sin α ·cos α = . 5 5

4 9 2 所以(sin α +cos α ) =1+2sin α cos α =1+ = . 5 5 π 3 因为 0<α < ,所以 sin α +cos α = 5. 2 5 由 cos α -sin α =- cos α = 5 3 5 2 5 ,sin α +cos α = 得 sin α = , 5 5 5

5 ,∴tan α =2, 5

2 5 5 5 2· · - +1 5 5 5 2sin α cos α -cos α +1 5 9 ∴ = = - . 1-tan α 1-2 5 5 13. 已知函数 f(x)=2cos - 3sin x. 2 (1)求函数 f(x)的最小正周期和值域; π 1 cos 2α ( 2)若 α 为第二象限角,且 f(α - )= ,求 的值. 3 3 1+cos 2α -sin 2α 解
2

x

? π? (1)∵f(x)=1+cos x- 3sin x=1 +2cos?x+ ?, 3? ?

∴函数 f(x)的最小正周期为 2π ,值域为[-1,3]. π 1 1 1 (2)∵f(α - )= ,∴1+2cos α = ,即 cos α =- . 3 3 3 3 cos 2α cos α -sin α = 2 1+cos 2α -sin 2α 2cos α -2sin α cos α = ?cos α +sin α ??cos α -sin α ? cos α +sin α = , 2cos α ?cos α -sin α ? 2cos α
2 2

2 2 又∵α 为第二象限角,∴sin α = , 3 cos α +sin α 1-2 2 ∴原式= = . 2cos α 2 14.已知 sin θ ,c os θ 是关于 x 的方程 x -ax+a=0(a∈R)的两个根.
2

? 3?π 3?π (1)求 cos ? -θ ?+sin ? +θ ?2 ? ?2

?的值; ? ?

1 (2)求 tan(π -θ )- 的值. tan θ 解 由已知原方程判别式 Δ ≥0,即(-a) -4a≥0,
4
2

∴a≥4 或 a≤0. sin θ +cos θ =a, ? ? ∵?sin θ cos θ =a, ? ??sin θ +cos θ ?2=1+2sin θ cos θ , ∴a -2a-1=0. ∴a=1- 2或 a=1+ 2(舍去). ∴sin θ +cos θ =sin θ cos θ =1- 2.
2

? ? 3?π 3?π 3 3 (1)cos ? -θ ?+sin ? +θ ?=sin θ +cos θ ?2 ? ?2 ?
=(sin θ +cos θ )(sin θ -sin θ cos θ +cos θ ) =(1- 2)[1-(1- 2)= 2-2. 1 1 (2)tan(π -θ )- =-tan θ - tan θ tan θ 1 ? ? ?sin θ +cos θ ? =-?tan θ + =-? ? ? tan θ ? ? ?cos θ sin θ ? 1 1 =- =- = 2+1. sin θ cos θ 1- 2
2 2

5



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