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椭圆的几何性质



1.若中心在原点,焦点在 x 轴上的椭圆的长轴长为 18,且两个焦点恰好将长轴三等 分,则此椭圆的方程是( x2 y2 A. + =1 81 72 x2 y2 C. + =1 81 45 x2 y2 D. + =1 81 36 ) x2 y2 B. + =1 81 9

1 1 解析:由已知得 a=9,2c= · 2a,∴c= a=3. 3 3 x2 y2 又

焦点在 x 轴上,∴椭圆方程为 + =1. 81 72 答案:A 2.若一个椭圆的长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列,则该椭圆的离心率是 ( 4 A. 5 2 C. 5 3 B. 5 1 D. 5 )

解析:由题意有 2a+2c=4b,即 a+c=2b. 又 c2=a2-b2, ∴5c2=3a2-2ac,即 5e2+2e-3=0. 3 解之得 e= 或 e=-1(舍). 5 答案:B x2 y2 3.(2012· 新课标全国卷)设 F1,F2 是椭圆 E: 2+ 2=1(a>b>0)的左、右焦点,P 为 a b 直线 x= 1 A. 2 3 C. 4 3a 上一点,△F2PF1 是底角为 30° 的等腰三角形,则 E 的离心率为( 2 2 B. 3 4 D. 5 )

3 3 解析:由题意可得|PF2|=|F1F2|,所以 2( a-c)=2c,所以 3a=4c,所以 e= . 2 4 答案:C 4.在平面直角坐标系 xOy 中,椭圆 C 的中心为原点,焦点 F1,F2 在 x 轴上,离心率 为 2 .过 F1 的直线 l 交 C 于 A,B 两点,且△ABF2 的周长为 16,那么 C 的方程为( 2 )

x2 y2 y2 x2 A. + =1 B. + =1 16 8 16 8 x2 y2 y2 x2 C. + =1 D. + =1 24 16 24 16 x2 y2 c 2 解析:根据椭圆焦点在 x 轴上,可设椭圆方程为 2+ 2=1(a>b>0),∵e= ,∴ = a a b 2 2 .根据△ABF2 的周长为 16 得 4a=16,因此 a=4,b=2 2, 2 x2 y2 所以椭圆方程为 + =1. 16 8 答案:A 5.如果椭圆的对称轴为坐标轴,焦点在 x 轴上,短轴的一端点与两焦点的连线组成 一个正三角形,且 a-c= 3,则椭圆的方程是________. 解析:如图所示, 由三角形 AF1F2 为正三角形, 可得 2c=a,又 a-c= 3, ∴a=2 3,c= 3, ∴b2=(2 3)2-( 3)2=9. x2 y2 ∴椭圆的方程是 + =1. 12 9 x2 y2 答案: + =1 12 9 x2 y2 6.直线 x+2y-2=0 经过椭圆 2+ 2=1(a>b>0)的一个焦点和一个顶点,则该椭圆的 a b 离心率等于________. 解析:由题意知椭圆焦点在 x 轴上, ∴在直线方程 x+2y-2=0 中. 令 y=0 得 c=2;令 x=0 得 b=1. c 2 5 ∴a= b2+c2= 5.∴e=a= . 5 答案: 2 5 5

7.如图所示,F1、F2 分别为椭圆的左、右焦点,椭圆上点 M 的横坐标等于右焦点的 2 横坐标,其纵坐标等于短半轴长的 ,求椭圆的离心率. 3

解:法一:设椭圆的长半轴、短半轴、半焦距长分别为 a、b、c,则焦点为 F1(- 2 c,0),F2(c,0),M 点的坐标为(c, b), 3 在 Rt△MF1F2 中, |F1F2|2+|MF2|2=|MF1|2, 4 即 4c2+ b2=|MF1|2. 9 而|MF1|+|MF2|= 4 2 4c2+ b2+ b=2a, 9 3

整理得 3c2=3a2-2ab. b2 4 又 c2=a2-b2,所以 3b=2a.所以 2= . a 9
2 2 c2 a -b ∴e2= 2= 2 a a

b2 5 =1- 2= , a 9 ∴e= 5 . 3

法二:设椭圆方程为 x2 y2 + =1(a>b>0), a2 b2 2 则 M(c, b)在椭圆上, 3 c2 4b2 c2 5 代入椭圆方程,得 2+ 2=1,所以 2= , a 9b a 9 c 5 5 所以a= ,即 e= . 3 3 x2 y2 8.如图,已知椭圆 2 + 2 =1(a>b>0),F1 、F2 分别为椭圆的 a b 左、右焦点,A 为椭圆的上顶点,直线 AF2 交椭圆于另一点 B. (1)若∠F1AB=90° ,求椭圆的离心率;

???? ? ???? ???? ??? 3 ? ? ? (2)若 AF2 =2 F2 B , AF1 · = ,求椭圆的方程. AB 2
解:(1)若∠F1AB=90° ,则△AOF2 为等腰直角三角形,所以有 OA=OF2,即 b=c. c 2 所以 a= 2c,e=a= . 2 (2)由题知 A(0,b),F1(-c,0),F2(c,0), 其中,c= a2-b2,设 B(x,y). 由 AF2 =2 F2 B ?(c,-b)=2(x-c,y),

???? ?

???? ?

3c b 3c b 解得 x= ,y=- ,即 B( ,- ). 2 2 2 2 9 2 b2 c 4 4 x2 y2 将 B 点坐标代入 2+ 2=1,得 2 + 2=1, a b a b 即 9c2 1 + =1, 4a2 4

解得 a2=3c2.①

???? ??? ? ? 3c 3b 3 又由 AF1 · =(-c,-b)· ,- )= ( AB 2 2 2
?b2-c2=1,即有 a2-2c2=1.② 由①,②解得 c2=1,a2=3, 从而有 b2=2. x2 y2 所以椭圆方程为 + =1. 3 2



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