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(文数)韶关市2013届高三第一次调研测试



韶关市 2013 届高三第一次调研测试 文科数学
本卷分选择题非选择题两部分,共 4 页,满分 150 分.考试用时间 120 分钟. 一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,满分 50 分.在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的) 1.设全集 U={0,1,2,3,4,5},集合 A={2,4},B= ?0, 2? ,则集合 (痧 A) ? (

? A.{0,4,5,2} 2.已知为虚数单位,则 AB -1 B.{0,4,5} C.{2,4,5} D.{1,3,5}
?

B) ?

(1 ? i ) 2 ? 1 =( ) 1? i
C D 1 )

3.设 a ? log 0.3 2, b ? log 0.3 3, c ? 20.3 , d ? 0.32 ,则这四个数的大小关系是( A. a ? b ? c ? d B . b ? a ? d ? c C. b ? a ? c ? d D. d ? c ? a ? b

x2 y2 4.若方程 ? ? 1 表示双曲线,则 k 的取值范围是( 1? k 1? k

) D. k ? 1 或

A. ?1 ? k ? 1

B. k ? 0

C. k ? 0

k ? ?1
5.某几何体的三视图如图所示(俯视图是正方形,正视图和左视图是两个全等 等腰三角形)根据图中标出的数据,可得这个几何体的表面积为( ) A. 4 ? 4 3 B. 4 ? 4 5 C.
8 3

D.12 )

6.已知回归直线斜率的估计值为 1.23,样本点的中心为点(4,5),则回归直线的方程为(
? ?

A. y =1.23x+4
?

B. y =1.23x+5
?

C. y =1.23x+0.08

D. y =0.08x+1.23

? x?0 ? 7. 设不等式组 ? y ? 0 表示平面区域为 D,在区域 D 内随机取一个点,则此点到坐标原点 ?x ? y ? 2 ?

4 ?? 4 2 6 4 8. ?ABC 中,角 A 、 B 、 C 所以的边为 a 、 b 、 c , 若 a ? 3 , C ? 120? , ?ABC 面积
A.

的距离大于 2 的概率是(

?

B.

? ?2



C.

?

D.

S ?ABC ?

15 3 ,则 c ? ( ) 4

1

A. 5

B. 6

C.

39

D. 7

9.设{an} (n∈N*)是等差数列,Sn 是其前 n 项的和,且 S5<S6,S6=S7>S8,则下列结论 错误的是( ) .. A.d<0
1

B.a7=0
2 x

C.S9>S5

D.S6 与 S7 均为 Sn 的最大值

10.已知 f1 ( x) ? x 2 , f 2 ( x) ? x , f 3 ( x) ? e , f 4 ( x) ? log 1 x , 四个函数中,当 0 ? x1 ? x2 时,
2

满足不等式

f ( x1 ) ? f ( x2 ) x ?x ? f ( 1 2 ) 的是 2 2

A. f1 ( x) ? x 2

1

B. f 2 ( x) ? x 2

C. f 3 ( x) ? e x

D. f 4 ( x) ? log 1 x
2

二.填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,满分 20 分.

11. 若向量 a ? (1,1), b ? (2,5), c ? (3, x) ,满足条件 (8a ? b) ? c ? 30 ,则 x = 12. 下图是某算法的程序框图,则程序运行后输出的结果是 是 .

?

?

?

? ? ?

开始

S =0,n=1

S = S +n
n=n+2

S>25 否

输出 n

结束

13. 平面上有 n 条直线, 这 n 条直线任意两条不平行, 任意三条不共点, 记这 n 条 直 线 将 平 面 分 成 f (n) 部 分 , 则 f (3) ? _________, 时, f (n) ? _____________.)(用 n 表示).

D

B E C

n?4
A

14.(几何证明选讲选做题) 如图,AB、CD 是圆的两条弦,AB 与 CD 交于 E , AE ? EB , AB 是线段 CD 的中垂线.若 AB=6,CD= 2 5 ,则线段 AC 的长度为 .

15.(坐标系与参数方程选做题) 在直角坐标系 xoy 中,圆 C1 的参数方程为 ?

? x ? cos ? ( ? 为参数) ;在极坐标系(与直 ? y ? 1 ? sin ?

角坐标系 xoy 取相同的长度单位, 且以原点 O 为极点, x 轴的正半轴为极轴) 圆 C2 的 以 中, 方程为 ? ? 4sin ? ,则 C1 与 C2 的位置关系是______(在“相交、相离、内切、外切、内含” 中选择一个你认为正确的填上).

2

三、解答题: 本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 16. (本小题满分 12 分) 函数 f ( x) ? A sin(? x ?

?
4

) ( A ? 0, ? ? 0 )的部分图像如右所示.

(1)求函数 f ( x) 的解析式; (2)设 ? ? (0,

?
2

) ,且 f (

?

? 6 ? ) ? ,求 tan ? 的值. 2 8 5

17.(本小题满分 12 分) 高一(1)班参加校生物竞赛学生成绩的茎叶图和频率分布直方 图都受到不同程度的破坏, 但可见部分如下, 据此解答如下问题: (1)求高一(1)班参加校生物竞赛人数及分数在 ?80 , 90 ? 之间 的频数,并计算频率分布直方图中 ?80 , 90 ? 间的矩形的高; (2)若要从分数在 ?80 , 100? 之间的学生中任选两人进行某项研 究,求至少有一人分数在 ?90 , 100? 之间的概率.

18.(本小题满分 14 分) 如图,已知 PA ? ⊙ O 所在的平面, AB 是⊙ O 的直径, AB ? 4 , C 是 ⊙ O 上 一 点 , 且 PA ? AC ? BC , PE PF ? ??. PC PB (1) 求证: EF // 面ABC ; (2) 求证: EF ? AE ; 1 (3)当 ? ? 时,求三棱锥 A ? CEF 的体积. 2

3

19.(本小题满分 14 分) 椭圆 C :

x2 y 2 3 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率为 ,两焦点分别为 F1 , F2 ,点 M 是椭圆 C 上一 2 a b 5
2 2 2

点, ?F1 F2 M 的周长为 16,设线段 MO(O 为坐标原点)与圆 O : x ? y ? r 交于点 N, 且线段 MN 长度的最小值为

15 . 4

(1)求椭圆 C 以及圆 O 的方程; (2)当点 M ( x0 , y0 )( x0 ? 0) 在椭圆 C 上运动时,判断直线 l : x0 x ? y0 y ? 1 与圆 O 的位置 关系.

20.(本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ? x ln x .
2

(1)判断 f ( x) 奇偶性, 并求出函数 f (x) 的单调区间; (2)若函数 g ( x) ? f ( x) ? kx ? 1 有零点,求实数 k 的取值范围.

21.(本小题满分 14 分) 设等差数列 {a n } 的公差 d ? 0 ,等比数列 {bn } 公比为 q ,且 a1 ? b1 , a3 ? b3 , a 7 ? b5 (1)求等比数列 {bn } 的公比 q 的值; (2)将数列 {a n } ,{bn } 中的公共项按由小到大的顺序排列组成一个新的数列 {c n } ,是否存 在正整数 ? , ? , ?(其中 ? ? ? ? ? ) 使得 ? , ? , ? 和 c? ? ? , c? ? ? , c? ? ? 都构成等差数列? 若存在,求出一组 ? , ? , ? 的值;若不存在,请说明理由.

4

参考答案
说明:1.参考答案与评分标准指出了每道题要考查的主要知识和能力,并给出了一种或几 种解法供参考,如 果考生的解法与参考答案不同,可根据试题主要考查的知识点和能力比照评分标 准给以相应的分数. 2.对解答题中的计算题,当考生的解答在某一步出现错误时,如果后继部分的解答 未改变该题的内容 和难度, 可视影响的程度决定后继部分的得分, 但所给分数不得超过该部分正确解 答应得分数的一半; 如果后继部分的解答有较严重的错误,就不再给分. 3.解答右端所注分数,表示考生正确做到这一步应得的累加分数. 4.只给整数分数,选择题和填空题不给中间分. 一、选择题:本大题主要考查基本知识和基本运算.共 10 小题,每小题 5 分,满分 50 分. DCBAB CDDCA 二、填空题:本大题主要考查基本知识和基本运算.本大题共 5 小题,考生作答 4 小题, 每小题 5 分, 满分 20 分.其中 14~15 题是选做题,考生只能选做一题. 11. 4 15. 内切 三、解答题: 本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 16.(本题满分 12 分) 函数 f ( x) ? A sin(? x ? 12. 11 13. 7 (2 分) ,
n2 ? n ? 2 (3 分) 2

14.

30

?
4

) ( A ? 0, ? ? 0 )的部分图像如右所示.

(1)求函数 f ( x) 的解析式; (2)设 ? ? (0,

?
2

) ,且 f (

?

? 6 ? ) ? ,求 tan ? 的值 2 8 5
???2 分

解: (1)∵ 由图可知:函数 f ( x) 的最大值为 2 , 且

T 3? ? ? ? ? ? 4 8 2 4 ∴ A ? 2 ,最小正周期 T ? ? ?????????????????????4 分
∴ ??

2? ?2 T

故函数 f ( x) 的解析式为 f ( x) ? 2sin(2 x ? (2) f (

?
4

) . ?????????????6 分

?

? 6 ? ) ? 2sin ? ? ,?????????????????????8 分 2 8 5

5



sin ? ?

3 ,∵ 5

0 ?? ?

?
2



∴ cos ? ? 1 ? sin 2 ? ? ∴

tan ? ?

sin ? 3 ?????????????????????????12 分 ? cos ? 4

4 ,??????????????????????10 分 5

17.(本题满分 12 分) 高一(1)班参加校生物竞赛学生成绩的茎叶图和频率分布 直方图都受到不同程度的破坏,但可见部分如下,据此 解答如下问题: (1)求高一(1)班参加校生物竞赛人数及分数在 ?80 , 90 ? 之间的频数, 并计算频率分布直方图中 ?80 , 90 ? 间的矩形 的高; (2) 若要从分数在 ?80 , 100? 之间的学生中任选两人进行某项研 究,求至少有一人分数在 ?90 , 100? 之间的概率. 解 . ( 1 ) ? 分 数 在 ?50 , 60? 之 间 的 频 数 为 2 , 频 率 为
0.008 ? 10 ? 0.08 ,
? 高一(1)班参加校生物竞赛人数为

2 ? 25 . 0.08

???2 分 ???4 分

所以分数在 ?80 , 90 ? 之间的频数为 25 ? 2 ? 7 ? 10 ? 2 ? 4 频率分布直方图中 ?80 , 90 ? 间的矩形的高为

(2)设至少有一人分数在 ?90 , 100? 之间为事件 A

4 ? 10 ? 0.016 . ???6 分 25

将 ?80 , 90 ? 之间的 4 人编号为 1 , 2 , 3 , 4 , ?90 , 100? 之间的 2 人编号为 5 , 6 , 在 ?80 , 100? 之间的任取两人的基本事件为: ?1 , 2 ? , ?1 , 3? , ?1 , 4 ? , ?1 , 5 ? , ?1 , 6 ?

? 2 , 3? , ? 2 , 4 ? , ? 2 , 5 ? , ? 2 , 6 ? , ? 3 , 4 ? , ? 3 , 5 ? , ? 3 , 6 ? , ? 4 , 5 ? , ? 4 , 6 ? .

共 15 个

????????????????????????????????????..9 分 其中,至少有一个在 ?90 , 100? 之间的基本事件有 9 个??????????????10 分 根据古典概型概率计算公式,得 P( A) ?
9 3 ? ???????????????11 分 15 5 3 ???????????????12 分 5
6

答:至少有一人分数在 ?90 , 100? 之间的概率

18.(本小题满分 14 分) 如图,如图,已知 PA ? ⊙ O 所在的平面, AB 是⊙ O 的 PE PF 直径, 是⊙ O 上一点, PA ? AC ? BC , ? C 且 ??. PC PB (1) 求证: EF // 面ABC ; (2) 求证: EF ? AE ; 1 (3)当 ? ? 时,求三棱锥 A ? CEF 的体积. 2 解: (1)证明:在三角形 PBC 中,
PE PF ? ?? PC PB

所以 EF//BC, BC ? 面ABC, EF ? 面ABC,

? EF // 面ABC ???????????????????????????4 分
(2) ?

? PA ? 面ABC ? BC ? PA ? BC ? 面ABC
又 AB 是⊙ O 的直径,所以 BC ? AC ?????????????????7 分 所以, BC ? 面PAC ?????????????????????8 分 因 EF//BC

BC ? 面PAC ,所以 EF ? 面PAC

因为 AE ? 面PAC , 所以 EF ? AE . ?????????????????10 分 (3)? 在 Rt ?ABC 中, AB ? 4
? PA ? AC ? BC = 2 2

当? ?
?

1 时, E 是 PC 中点. F 为 PC 中点 2 S?EAC ? 1 1 1 1 1 S?PAC ? ? PA ? AC ? ? ? 2 2 ? 2 2 ? 2 ??? 12 分 2 2 2 2 2

EF ?

1 BC ? 2 2

? EF ? 面PAC

1 1 2 2 ??????????????14 分 VA?CEF ? VF ? ACE ? S?ACE EF ? ? 2 ? 2 ? 3 3 3

19.(本题满分 14 分)

x2 y 2 3 椭圆 C : 2 ? 2 ? 1( a ? b ? 0) 的离心率为 ,两焦点分别为 F1 , F2 ,点 M 是椭圆 C 上一 a b 5
点, ?F1 F2 M 的周长为 16,设线段 MO(O 为坐标原点)与圆 C : x ? y ? r 交于点 N,
2 2 2

7

且线段 MN 长度的最小值为

15 . 4

(1)求椭圆 C 以及圆 O 的方程; (2)当点 M ( x0 , y0 )( x0 ? 0) 在椭圆 C 上运动时,判断直线 l : x0 x ? y0 y ? 1 与圆 O 的位置 关系. 解: (1)设椭圆 C 的半焦距为 c,则

c 3 3 ? ,即 c ? a a 5 5

① ?????????1 分

又 | MF1 | ? | MF2 | ? | F1 F2 |? 2a ? 2c ? 16 联立①②,解得 a ? 5, c ? 3 ,所以 b ? 所以椭圆 C 的方程为

②????????????3 分

a 2 ? b2 ? 4 .

x2 y 2 ? ? 1 .?????????????????????5 分 25 16

而椭圆 C 上点 M ( x0 , y0 ) 与椭圆中心 O 的距离为
2 2 2 | MO |? x0 ? y0 ? x0 ? 16 ?

16 2 9 2 x0 ? x0 ? 16 ? 4 , 等号在 x0 ? 0 时成立???7 分, 25 25
1 ,则圆 O 的方程为 4

而 | MN |?| MO | ? r , 则 | MN | 的 最 小 值 为 4 ? r , 从 而 r ?

x2 ? y 2 ?

1 .??????????????????????????????9 分 16
2 2 x0 y0 16 2 2 ? ? 1 .即 y0 ? 16 ? x0 . 25 16 25

(2)因为点 M ( x0 , y0 ) 在椭圆 C 上运动,所以

圆心 O 到直线 l : x0 x ? y0 y ? 1 的距离 d ?

1
2 2 x0 ? y0

?

1 9 2 x0 ? 16 25

.?????12 分

当 x0 ? 0 , d ?

1 1 ? ? r ,则直线 l 与圆 O 相交. ???????? ?????14 分 16 4

20.(本题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ? x ln x .
2

(1)判断 f ( x) 奇偶性, 并求出函数 f (x) 的单调区间; (2)若函数 g ( x) ? f ( x) ? kx ? 1 有零点,求实数 k 的取值范围. 解(1) f ( x) 定义域 ? x | x ? 0? 在数轴上关于原点对称, 且 f (? x) ? ? x ln(? x) ? x ln x ? f ( x) ,所以 f ( x) 是偶函数????????2 分
2 2

8

当 x ? 0 时, f ( x) ? 2 x ln x , f ( x) ? 2(1 ? ln x)
'

1 1 所以 f ( x) 在 ( , ??) 是增函数; e e 1 1 ' 由 f ( x) ? 0 , 1 ? ln x ? 0 , 解得: 0 ? x ? .所以 f ( x) 在 (0, ) 是减函数. ???4 分 e e 1 因为 f ( x) 是偶函数, 图象关于 y 轴对称,所以, 当 x ? 0 时, f ( x) 在 ( ??, ? ) 是减函数, e 1 在 (? , 0) 是增函数. e 1 1 1 1 所以, f (x) 的单调增区间是 ( , ??) , (? , 0) ;单调减区间是 (0, ) , ( ??, ? ) ,.???6 分 e e e e
由 f ( x) ? 0 , 1 ? ln x ? 0 ,
'

解得: x ?

(2) 由 g ( x) ? 0 ,得 x ? ln x ? kx ? 1 ? 0 , k ?
2

x ? ln x 2 x

?

1 x

令 h( x ) ?

x ? ln x 2 x

?

1 ???????????????????????????8 分 x

2x ?1 1 1 ' ,当 x ? , h ( x) ? 0 , h( x) 在 ( , ??) 是增函数; 2 x 2 2 1 1 ' 当 0 ? x ? , h ( x) ? 0 , h( x) 在 (0, ) 是减函数, 2 2 1 所以, 当 x ? 0 时, h( x) 极小值是 h( ) ? 2 ? 2 ln 2 ?????????????11 分 2 1 因为 h( x) 是奇函数,所以, 当 x ? 0 时, h( x) 极大值是 h(? ) ? 2 ln 2 ? 2 2
当 x ? 0 时, h ' ( x) ? 所以 h( x) ? (2 ? 2 ln 2, ??) ? ( ??, 2 ln 2 ? 2) , 即 k ? (2 ? 2 ln 2, ??) ? ( ??, 2 ln 2 ? 2) , 函数 g ( x) 有零点. ???????????14 分 21.(本题满分 14 分) 设等差数列 {a n } 的公差 d ? 0 ,等比数列 {bn } 公比为 q ,且 a1 ? b1 , a3 ? b3 , a 7 ? b5 (1)求等比数列 {bn } 的公比 q 的值; (2)将数列 {a n } , {bn } 中的公共项按由小到大的顺序排列组成一个新的数列 {c n } ,是否 存在正整数 ? , ? , ? (其中 ? ? ? ? ? )使得 ? , ? , ? 和 c? ? ? , c? ? ? , c? ? ? 都构成等差数 列?若存在,求出一组 ? , ? , ? 的值;若不存在,请说明理由. 解: (1)设 a1 ? b1 = a, ,由题意

9

? 2 ?aq ? a ? 2d ? 4 ?aq ? a ? 6d ?


即?

? 2 ?aq ? a ? 2d ? d ? 0,? q ? ?1 不合题意?????????3 分 ? 4 ?aq ? a ? 6d

q2 ?1 1 ? ,解得 q 2 ? 2 ? q ? ? 2 ???????????????????-5 分 4 q ?1 3

(2)答:不存在正整数 ? , ? , ? (其中 ? ? ? ? ? )使得 ? , ? , ? 和 c? ? ? , c? ? ? , c? ? ? 均 构成等差数列 证明:假设存在正整数 ? , ? , ? 满足题意 设 a1 ? b1 = a, 且 a n ?b m ,故 a ? (n ? 1)d ? aq
m ?1

,又 2d ? aq ? a ? a ? d ?
2

a 2

?1 ?

n ?1 ? (? 2 ) m ?1 即 n ? 1 ? (?1) m ?1 2 2
*

m ?1 2

????????????????7 分
m ?1 2

? n ? 1? N

? ( ?1)
*

m?1

? 0 ? m为奇数,且n ? 2

? 1 -????????8 分

令 m ? 2k ? 1(k ? N ) ,则 bm ? a ? (? 2) 2 k ?1?1 ? a ? 2k ?1

? c n ? 2 n ?1 a

????????????????????????????10 分

若存在正整数 ? , ? , ? 满足题意,则

?2? ? ? ? ? ? ? ?1 ? ?1 ? ?1 ?2(a ? 2 ? ? ) ? (a ? 2 ? ? ) ? (a ? 2 ? ? )
?2 ? 2
? ? ?1

?2

? ?1

,又? 2
? ?1

? ?1

?2

? ?1

?2 2
? ??
2

? ?? ? 2

?2

? ??
2

(当且仅当? ? ?时取 " ? ")
----------------------12 分

又? ? ? ? ,? 2 ? 2
x

?

? 2? ?1 ? 2

又 y ? 2 在 R 上为增函数,? ? ?

? ??
2

,与题设 ? ?

? ??
2

矛盾,

? 假设不成立
故不存在 ? , ? , ? 满足题意.---------------------------------------------------14 分

10



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