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数学精华教案:平面向量共线的坐标表示


2.3.4 平面向量共线的坐标表示
教学目的: (1)理解平面向量的坐标的概念; (2)掌握平面向量的坐标运算; (3)会根据向量的坐标,判断向量是否共线. 教学重点:平面向量的坐标运算 教学难点:向量的坐标表示的理解及运算的准确性 授课类型:新授课 教 具:多媒体、实物投影仪

教学过程: 一、复习引入: 1.平面向量的坐标表示 分别取与 x 轴、 y 轴方向相同的两个单位向量 i 、 j 作为基底.任作一个向量 a ,由平面向 量基本定理知,有且只有一对实数 x 、 y ,使得 a ? xi ? yj 把 ( x, y ) 叫做向量 a 的(直角)坐标,记作 a ? ( x, y) 其中 x 叫做 a 在 x 轴上的坐标, y 叫做 a 在 y 轴上的坐标, 特别地,

i ? (1,0) , j ? (0,1) , 0 ? (0,0) .
2.平面向量的坐标运算 若 a ? ( x1 , y1 ) , b ? ( x2 , y 2 ) , 则 a ? b ? ( x1 ? x2 , y1 ? y 2 ) , a ? b ? ( x1 ? x2 , y1 ? y 2 ) , ?a ? (?x, ?y) . 若 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y 2 ) ,则 AB ? ?x2 ? x1 , y2 ? y1 ? 二、讲解新课:

? ? ? a ∥ b ( b ? 0 )的充要条件是 x1y2-x2y1=0

设 a =(x1, y1) , b =(x2, y2) 其中 b ? a .

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?

? ?

由 a =λ b 得, (x1, y1) =λ (x2, y2)

?

?

? x ? ?x 2 ?? 1 ? y1 ? ?y 2

消去λ ,x1y2-x2y1=0

探究: (1)消去λ 时不能两式相除,∵y1, y2 有可能为 0, ∵ b ? 0 个不为 0

?

∴x2, y2 中至少有一

(2)充要条件不能写成

y1 y 2 ? x1 x 2

∵x1, x2 有可能为 0

(3)从而向量共线的充要条件有两种形式: a ∥ b ( b ? 0 ) ?

?

?

?

a ? ?b x1 y 2 ? x 2 y1 ? 0

三、讲解范例: 例 1 已知 a =(4,2), b =(6, y),且 a ∥ b ,求 y. 例 2 已知 A(-1, -1), B(1,3), C(2,5),试判断 A,B,C 三点之间的位置关系. 例 3 设点 P 是线段 P1P2 上的一点, P1、P2 的坐标分别是(x1,y1),(x2,y2). (1) 当点 P 是线段 P1P2 的中点时,求点 P 的坐标; (2) 当点 P 是线段 P1P2 的一个三等分点时,求点 P 的坐标. 例 4 若向量 a =(-1,x)与 b =(-x, 2)共线且方向相同,求 x 解:∵ a =(-1,x)与 b =(-x, 2) 共线 ∴x=± 2 ∵ a 与 b 方向相同

?

?

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?

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?

∴(-1)×2- x?(-x)=0 ∴x= 2

?

?

例 5 已知 A(-1, -1), B(1,3), C(1,5) ,D(2,7) ,向量 AB 与 CD 平行吗?直线 AB 与 平行于直线 CD 吗? 解:∵ AB =(1-(-1), 3-(-1))=(2, 4) , CD =(2-1,7-5)=(1,2) 又 ∵2×2-4×1=0 ∴ AB ∥ CD

又 ∵ AC =(1-(-1), 5-(-1))=(2,6) , AB =(2, 4),2×4-2×6?0 ∴ AC 与 AB 不平

行 ∴A,B,C 不共线 四、课堂练习: 1.若 a=(2,3),b=(4,-1+y),且 a∥b,则 y=( A.6 B.5 C.7 ) D.8 )? ∴AB 与 CD 不重合 ∴AB∥CD

2.若 A(x,-1),B(1,3),C(2,5)三点共线,则 x 的值为( A.-3 B.-1 C.1 D.3

3.若 AB =i+2j, DC =(3-x)i+(4-y)j(其中 i、j 的方向分别与 x、y 轴正方向相同且为单位向量).

AB 与 DC 共线,则 x、y 的值可能分别为(
A.1,2 B.2,2 C.3,2

) D.2,4 . . .

4.已知 a=(4,2),b=(6,y),且 a∥b,则 y=

5.已知 a=(1,2),b=(x,1),若 a+2b 与 2a-b 平行,则 x 的值为

6.已知□ABCD 四个顶点的坐标为 A(5,7),B(3,x),C(2,3),D(4,x),则 x= 五、小结 (略) 六、课后作业(略) 七、板书设计(略) 八、课后记: w.w.w.k.s.5.u.c.o.m


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