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6.3 等比数列(2)



第 6章

数列

6.3 等比数列的前n项和

一、复习
1.什么是等比数列? 如果一个数列的首项不为零,且从第2项开 始,每一项与它前一项的比都等于同一个常 数,那么这个数列叫做等比数列。

an?1 ? an ? q

一、复习
2. 等比数列的通项公



an ? a1 ? q

n ?1

.

二、新课

6.3.3 等比数列的前n项和公式

6.3 等比数列
传说国际象棋的发明人是印度的大臣西萨?班?达依尔,舍罕王 为了表彰大臣的功绩,准备对大臣进行奖赏. 国王问大臣:“你想得到什么样的奖赏?”,这位聪明的大臣 说:“陛下,请您在这张棋盘的第一个格子内放上1颗麦粒,在第 二个格子内放上2颗麦粒,在第三个格子内放上4颗麦粒,在第四个 格子内放上8颗麦粒,…,依照后一格子内的麦粒数是前一格子内 的麦粒数的2倍的规律,放满棋盘的64个格子.并把这些麦粒赏给 您的仆人吧”. 国王认为这样的奖赏很轻,于是爽快地答应了,命令如数付给 达依尔麦粒. 计数麦粒的工作开始了,在第一个格内放1粒,第二个格内放2 粒,第三个格内放4粒,第四个格内放8粒,……,国王很快就后悔 了,因为他发现,即使把全国的麦子都拿来,也兑现不了他对这位 大臣的奖赏承诺.

创 设 情 境 兴 趣 导 入

这位大臣所要求的麦粒数究竟是多少呢?
各个格的麦粒数组成首项为1,公比为2的等比数列,大臣西萨 ?班?达依尔所要的奖赏就是这个数列的前64项和.

6.3 等比数列
等比数列的前n项和公式为:

动 脑 思 考 探 索 新 知

a1 (1 ? q ) Sn ? (q ? 1). 1? q
n

(6.7)

a1 ? a n q Sn ? (q ? 1). 1? q

(6.8)

6.3 等比数列

动 脑 思 考 探 索 新 知

当q=1时,等比数列的各项都相等,此时它的前n项和为

Sn ? na1.

(6.9)

6.3 等比数列

巩 固 并求出数列的前8项的和. 知 识 典 型 例 题

例5 写出等比数列1,?3,9, ?27,…的前n项和公式
刚才学习 了等比数列 求和公式哦

6.3 等比数列

解 因为
巩 固 知 识 典 型 例 题
?3 a1 ? 1, q ? ? ?3, 1
刚才学习 所以等比数列的前n项和公式为 了等比数列

1 ? [1 ? (?3)n ] 1 ? (?3) n Sn ? ? , 1 ? (?3) 4

求和公式



1 ? ( ?3)8 S8 ? ? ?1640. 4

6.3 等比数列

1 2 4 8 1.求等比数列 ,,,, 的前10项的和. 9 9 9 9
课 堂 练 习

2.已知等比数列{

an }的公比为2, S 4 =1,求 S8.

6.3 等比数列前n项和公式
现在我们看一看本节的趣味数学内容,国王为什么 不能兑现他对大臣依尔的奖赏承诺?

国王承诺奖赏的麦粒数 为 1? 1 ? 2 64 S 64 ? ? 2 64 ? 1 ? 1.84 ? 1019 粒 1? 2 据测量, 一般1000 粒麦子质量约为 40g, 则这些麦子 17 的总质量约为 7.36 ? 10 g 约合7360 亿吨。 这是大得让人无法想象 的数。

?

?

课外延伸:如果在一个64格的棋盘上,按照放麦粒的规律 放上人民币,第一格子放1元,第二个格子放2元,第三个 格子放4元,按公比为2的规律摆放,放满后会共有多少钱 呢?

6.3 等比数列前n项和公式
复习引入: 1、等比数列前n项和公式为
或者 。



6.3 等比数列

动 脑 思 考 探 索 新 知

复利计息法:将前一期的本金与利息的 和(简称本利和)作为后一期的本金来计算

利息的方法.俗称“利滚利”.

6.3 等比数列
例7 银行贷款一般都采用“复利计息法”计算利息.小王从 银行货款20万元,贷款期限为5年,年利率为5.76%. (1)如果5年后一次性还款,小王应偿还银行多少钱?(精确 到0.000001万元);

巩 固 知 识 典 型 例 题

解 货款第一年后的本利和为
20 ? 20 ? 5.76% ? 20(1 ? 0.0576) ? 1.0576 ? 20,

第二年后的本利和为
1.0576 ? 20 ? 1.0576 ? 20 ? 5.76% ? 1.05762 ? 20,

依次下去,从第一年后起,每年后的本利和组成的数列为等比数列
1.0576 ? 20,1.05762 ? 20,1.05763 ? 20,

通项公式为 an ? 1.0576 ? 20 ?1.0576n?1 ? 1.0576n ? 20
a5 ? 1.05765 ? 20 ? 26.462886

答 小王应偿还银行26.462886万元.

6.3 等比数列
例7 银行贷款一般都采用“复利计息法”计算利息.小 王从银行货款20万元,贷款期限为5年,年利率为5.76%. (2)如果每年一期,分5期等额还款(每期以相等的额度平 均偿还本息),那么小王每年偿还银行多少钱.
设小王每次应偿还银行a万元,则 第1次还款a万元,已还款数为a (万元); (万元); 第2次还款a万元,已还款数为 a ? a(1 ? 5.76%) (万元); 第3次还款a万元,已还款数为a ? a(1 ? 5.76%) ? a(1 ? 5.76%)2
2 3 第4次还款a万元,已还款数为 a ? a(1 ? 5.76%) ? a(1 ? 5.76%) ? a(1 ? 5.76%) (万元);

巩 固 知 识 典 型 例 题

a ? a(1 ? 5.76%) ? a(1 ? 5.76%)2 ? a(1 ? 5.76%)3 ? a(1 ? 5.76%)4 第5次还款a万元,已还款数为

a(1 ? (1 ? 5.76%)5 ) a((1 ? 5.76%)5 ? 1) ? ? (万元); 1 ? (1 ? 5.76%) 5.76%

6.3 等比数列
例7 银行贷款一般都采用“复利计息法”计算利息.小 王从银行货款20万元,贷款期限为5年,年利率为5.76%. (2)如果每年一期,分5期等额还款(每期以相等的额度平 均偿还本息),那么小王每年偿还银行多少钱.

巩 固 知 识 典 型 例 题

由于第5次将款还清,所以
a ((1 ? 5.76%)5 ? 1) ? 26.482886 5.76%

因此

a?

26.482886 ? 5.76% ? 4.716971(万元). 5 (1 ? 5.76%) ? 1

这类问题为等额分期付款模型.计算每期偿还本息的公式为
A ? i ? (1 ? i )n a? (1 ? i)n ? 1
其中,A为贷款本金,n为还款期数,i为期利率.

6.3 等比数列
P19,练习6.3.4
张明计划贷款购买一部 家用汽车, 贷款15万元, 贷款期为 5年, 年利率为 5.76%。 ( 1) 5年后若一次性还款 , 应偿还银行多少钱 ? ( 2) 若按照每年一期等额本 息还款, 每年需要还银行多少钱 ?

课 堂 练 习

6.3 等比数列

理 论 升 华 整 体 建 构

等比数列的求和公式是什么?

.

a1 (1 ? q n ) Sn ? (q ? 1), 1? q a1 ? an q Sn ? (q ? 1). 1? q

6.3 等比数列(第19页)
1 、 填空题 9 8 1 2 ? , 公比q ? , 则n ? 3 3

( 1) 在等比数列中,a 1 ? ,a

n

( 2) 已知数列?a n ?满足a n ?1 ? 3a n ? 0, 且a1 ? 3, 则它的通项公式是

8 , 4, 6, 9, ?的通项公式 , 并写出它的第 5项到第 8项。 3 1 ?an ? 3 、 等比数列 的首项是25, 公比是 , 写出它的通项公式 , 5 并求出第7项。 7 1 4、 在等比数列 ?a n ? 中,a 6 ? ,q ? , 求a3。 32 2
. 2、 写出等比数列

6.3 等比数列

课后练习:第22页复习题6A组 做在课本上

.

6.3 等比数列

.



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