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高中数学(苏教版)必修5精品教学案全集:数列 第3课等差数列的概念和通项公式(教师版)


第 3 课时等差数列的概念和通项公式 【学习导航】

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学习要求
1、 体会等差数列是用来刻画一类离散现象的重要数学模型,理解等差数列的概念; 2、 掌握“叠加法”求等差数列通项公式的方法,掌握等差数列的通项公式,并能用公式解决 一些简单的问题;

【自学评价】
1.等差数列:一般地,如果一个数列从第二项起,每一项与它前一项的差等于同一个常数, 这个数列就叫做等差数列 (arithmetic progression) ,这个常数就叫做 等差数列的公差(common difference) ,常用字母“d”表示。 ⑴公差 d 一定是由后项减前项所得,而不能用前项减后项来求; ⑵对于数列{ an },若 an - a n ?1 =d (与 n 无关的数或字母),n≥2,n∈N ,则此数列是等差 数列,d 为公差
王新敞
奎屯 新疆

?

2.等差数列的通项公式 an ? a1 ? (n ?1)d ; 4.如果 a,A,b 成等差数列,那么 A 叫做 a 与 b 的等差中项;且 A ?

a?b 。 2

【精典范例】
【例 1】根据等差数列的概念,判断下列数列是否是等差数列; (1)1,1,1,1,1,1 (2)4,7,10,13,16 (3)-3,-2,-1,0,1,2,3 【解】 (1) an ? 1(n ? N ? ) (2) an ? 3n ? 1(n ? N ? ) (3) an ? n ? 4(n ? N ) 思考:如果一个数列 ?an ? 的通项公式为 an ? kn ? b ,其中 k , b 都是常数,那么这个数列一定 是等差数列吗? 是 【例 2】求出下列等差数列中的未知项: (1)3,a,5;
?

-1-

(2)3,b,c,-9. 【解】 (1)根据题意,得 a-3=5-a, 听课随笔 解得a=4. (2)根据题意,得 b-3=c-b, c-b=-9-c, 解得b=-1,c=-5 【例 3】 (1)求等差数列 8,5,2?的第 20 项? (2) ? 401 是不是等差数列 ? 5, ? 9, ? 13,?的项?如果是,是第几项? 【解】 (1) a20 ? ?49 (2)是,第 100 项

【追踪训练一】 :
1.判断下列数列是否为等差数列: (1)-1,-1,-1,-1,-1; (2)1,12,13,14; (3)1,0,1,0,1,0; (4)2,4,6,8,10,12; (5)7,12,17,22,27. 2.目前男子举重比赛共有10个级别,除108公斤以上级外,其余的9个级别从小到大 依次为(单位:kg)54,59,64,70,76,83,91,99,108,这个 数列是等差数列吗? 3.已知下列数列是等差数列,试在括号内填上适当的数: (1) ( ) ,5,10; (2)1, 2 , ( ) ; (3)31, ( ) , ( ) ,10.

4.已知数列 8, a, 2, b, c, ?7 是等差数列,求未知项 a, b, c 的值。 【解】 a ? 5, b ? ?1, c ? ?4

【选修延伸】
【例 4】在等差数列 ?an ? 中,已知 a5 ? 10, a12 ? 31,求 a20 , an 分析: 先根据两个独立的条件解出两个量 a1 和 d,进而再写出 an 的表达式.几个独立的条件 就可以解出几个未知量,这是方程组的重要应用. 【解法一】 : ∵ a5 ? 10, a12 ? 31,则

-2-

a1 ? ?2 ?a1 ? 4d ? 10 ?? ? ? ?d ? 3 ?a1 ? 11d ? 31
∴ an ? a1 ? (n ? 1)d ? 3n ? 5

a20 ? a1 ? 19d ? 55
思考:在此题中,有 a12 ? a5 ? 7d ,思考,能否不求首项 a1 ,而将 an 求出? 【解法二】 :

a12 ? a5 ? 7d ? 31 ? 10 ? 7d ?d ?3

a2 0 ? a 1 2?8 d ?5 5

an ? a12 ? (n ? 12)d ? 3n ? 5

思维点拔:
等差数列的通项公式涉及到四个量 a1、an、n、d,用方程的观点知三求一。列方程组求 基本量是解决等差数列问题的常用方法,注意通项公式更一般的形式: an ? am ? (n ? m)d

an ? am ? (n ? m)d
【例 5】若 ( z ? x)2 ? 4( x ? y)( y ? z) ? 0 ,则 x, y , z 成等差数列。 【证明】由 ( z ? x)2 ? 4( x ? y)( y ? z) ? 0 得

z 2 ? x2 ? 4 y 2 ? 2zx ? 4xy ? 4 yz ? 0 ,
2 即 ( z ? x ? 2 y) ? 0 ,? 2 y ? x ? z ,

? x, y , z 成等差数列。

思维点拔: 当已知 a、b、c 成等差数列时,通常采用 2b=a+c 作为解决问题的出发点.?
【追踪训练二】 :
1.数列{an}的通项公式 an=2n+5,则此数列( A ) A.是公差为 2 的等差数列 B.是公差为 5 的等差数列 C.是首项为 5 的等差数列? D.是公差为 n 的等差数列? 2.等差数列{an}中,a2=-5,d=3,则 a1 为(B) A.-9 B.-8 C.-7 D.-4 ? 3.已知等差数列{an}的前 3 项依次为 a-1,a+1,2a+3,则此数列的通项 an 为( B ) A.2n-5 B.2n-3 ? C.2n-1 D.2n+1 ? 4.在等差数列{an}中,若 a3=50,a5=30,则 a7=______.

-3-

【解法一】 d=

a5 ? a3 30 ? 50 ? =-10∴a7=a3+(7-3)d=50-40=10 5?3 5?3

【解法二】 由 2a5=a3+a7 得 a7=2a5-a3=2×30-50=10 【答案】10 5.在-1 和 8 之间插入两个数 a,b,使这四个数成等差数列,则 a=______,b=______.? 【解析】d=

8 ? ( ?1) =3∴a=-1+3=2,b=2+3=5 4 ?1

【答案】2 5 6.已知数列{an}中 a3=2,a7=1,又数列{

1 }为等差数列,则 a11 等于( B ) an ? 1

A.0

B.

1 2

C.

7 3

D.-1

【师生互动】

学生质疑

教师释疑

-4-


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