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2017《教与学》中考全程复习导练第23课 与圆有关的位置关系



近三年浙江中考试题分布
热门考点 2016年 2015年 2014年

1. 点与圆的位 置关系 2.直线与圆的 位置关系 3.切线的判定 与性质 4.切线长定理 5.三角形的内 切圆

温州T24,14分 宁波T23,10分 湖州T8,3分 台州T10,4分 衢州T9,3分 衢州T21,8分 金华T22,8分 丽水T22,10

分 嘉兴、舟山T21,8分

温州T24,14分 宁波T17,4分 湖州T8,3分 湖州T9,3分 湖州T20,8分 衢州T10,3分 金华T23,10分 丽水T21,8分 嘉兴、舟山T7,4分

杭州T21,10分 温州T16,5分 湖州T9,3分 湖州T24,12分 衢州、丽水T22,10 分 金华、义乌T16,4分 嘉兴、舟山T16,5分

考点一 点与圆的位置关系
考点清单
如图 231,如果用 r 表示圆的半径,d 表 示同一平面内点到圆心的距离, 那么点与 圆的位置关系如下表所示: 点与圆的位置关系 d 与 r 的大小关系 点在圆内 d <r 点在圆上 d= r 点在圆外 d >r

要点点拨
已知点到圆心的距离与圆的半径, 可以确定该点与圆 的位置关系.
特别关注 判断点与圆的位置关系时,需先确定点到圆

心的距离,再与半径比较.

【典例 1】 (2016· 湖北宜昌)在公园的 O 处附近有 E,F, G,H 四棵树,位置如图 232 所示(图中小正方形的边 长均相等).现计划修建一个以点 O 为圆心,OA 长为 半径的圆形水池,要求池中不留树木,则 E,F,G, H 四棵树中需要被移除的为 ( ) A. E,F,G B. F,G,H C. G,H,E D. H,E,F

图 232

【点评】 本题主要考查点与圆的位置关系,会计算网格 中两点间的距离及比较线段的长短是解题的关键.
【解析】 ∵OA= 1+22= 5,OE=2,OF=2,OG= 1,OH= 22+22=2 2, ∴点 E,F,G 在⊙O 内,点 H 在⊙O 外.

【答案】 A

考点二 直线与圆的位置关系
考点清单
如果⊙O 的半径为 r,圆心 O 到直线 l 的距离为 d,那么 直线与圆的位置关系如下表所示: 位置关系 相离 相切 相交 图形 公共点个数 数量关系 0个 d >r 1个 d= r 2个 d< r

要点点拨
判定直线与圆的位置关系时, 常过圆心向直线作垂线 段,再比较垂线段的长度与圆的半径的大小.

特别关注

判断直线与圆的位置关系时,在图形不明确

的情况下,要分类讨论,不要漏解.

【典例 2】 (2016· 湖南永州)如图 233,给定一个半径长 为 2 的圆,圆心 O 到水平直线 l 的距离为 d,即 OM= d.我们把圆上到直线 l 的距离等于 1 的点的个数记为 m.如 d=0 时,l 为经过圆心 O 的一条直线,此时圆上 有四个到直线 l 的距离等于 1 的点,即 m=4,由此可 知: (1)当 d=3 时,m= . (2)当 m=2 时,d 的取值范围是 .

图 233

【点评】 本题主要考查直线与圆的位置关系,了解当圆 与直线相切时, 圆心到直线的距离等于圆的半径是解题的 关键.

【解析】 (1)当 d=3 时, ∵3>2,即 d>r,∴直线 l 与⊙O 相离,且易得 m=1. (2)当 m=2 时, 即圆上到直线 l 的距离等于 1 的点有 2 个, ∴2-1<d<2+1,∴1<d<3, ∴d 的取值范围是 1<d<3.

【答案】 (1)1 (2)1<d<3

考点三 切线的判定与性质
考点清单
1.切线的判定定理:经过半径的外端并且垂直这条半径 的直线是圆的切线. 2.切线的性质定理: (1)经过切点的半径垂直于圆的切线. (2)经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心.

要点点拨
1.判定一条直线是圆的切线的方法,除了用切线的判定 定理外,还有: (1)与圆有唯一公共点的直线是圆的切线.

(2)若圆心到直线的距离等于该圆的半径,则这条直线 是圆的切线. 2.作圆的切线(尺规作图方法如下): (1)在⊙O 上任取一点 A,连结 OA 并延长. (2)以点 A 为圆心,小于 OA 的长为半径画弧,与直线 OA 交于 B,C 两点.

1 (3)分别以点 B,C 为圆心,大于 BC 的长为半径画弧, 2 两弧交于点 D,E.

(4)过点 D,E 作直线.如图 234, 直线 DE 就是⊙O 的切线.
切线问题中常用的辅助线方法:

特别关注

(1)当直线与圆的公共点已知时,连结半径证垂直. (2)当直线与圆的公共点未知时,过圆心向直线作垂线段, 证圆心到直线的距离等于圆的半径. (3)连结圆心和切点,构造直角三角形解题.

【典例 3】 (2016· 浙江湖州)如图 235,⊙O 是 Rt△ ABC 的外接圆,∠ACB=90° ,∠A=25° ,过点 C 作⊙O 的 切线,交 AB 的延长线于点 D,则∠D 的度数是( ) A. 25° B. 40° C. 50° D. 65°

图 235

【点评】 本题主要考查切线的性质,利用切线的性质求 得相应角的度数是解题的关键. 【解析】 如解图,连结 OC. ∵⊙O 是 Rt△ ABC 的外接圆,∠ACB =90° , ∴AB 是直径. ∵∠A=25° ,∴∠BOC=2∠A=50° . ∵CD 是⊙O 的切线,∴OC⊥CD, ∴∠D=90° -∠BOC=40° . 故选 B.
【答案】 B

【典例 4】 (2016· 浙江宁波)如图 236,已知⊙O 的直径 AB=10,弦 AC=6,∠BAC 的平分线交⊙O 于点 D, 过点 D 作 DE⊥AC 交 AC 的延长线于点 E. (1)求证:DE 是⊙O 的切线. (2)求 DE 的长.

图 236

【点评】 本题主要考查切线的判定、 矩形的判定和性质、 垂径定理、勾股定理等知识,解题的关键是记住切线的判 定方法,学会添加常用辅助线.

【解析】 (1)如解图①,连结 OD. ∵AD 平分∠BAC,∴∠DAE=∠DAB. ∵OA=OD,∴∠ODA=∠DAO, ∴∠ODA=∠DAE,∴OD∥AE. ∵DE⊥AC,∴OD⊥DE,∴DE 是⊙O 切线. (2)如解图②,过点 O 作 OF⊥AC 于点 F, 1 则 AF=CF= AC=3, 2 ∴OF= AO2-AF2= 52-32=4. ∵∠OFE=∠DEF=∠ODE=90° , ∴四边形 OFED 是矩形,∴DE=OF=4.

考点四 切线长定理
考点清单
1.从圆外一点作圆的切线,通常我们把圆外这一点到切 点间的线段的长叫作切线长. 2.切线长定理:过圆外一点所作的圆的两条切线长相等.

要点点拨
对于切线长定理,应明确以下几点: (1)若已知圆的两条切线相交,则切线长相等. (2)若已知两条切线平行,则圆上两个切点的连线为直径. (3)经过圆外一点引圆的两条切线,连结两个切点可得到一个 等腰三角形. (4)经过圆外一点引圆的两条切线,切线的夹角与过切点的两 条半径的夹角互补. (5)圆外一点与圆心的连线平分过这点向圆引的两条切线所夹 的角. 如图 237,切线长 PA=PB, ∠APO=∠BPO,∠AOP=∠BOP.

特别关注

切线和切线长是两个不同的概念,切线是直

线,不能度量;切线长是线段的长,这条线段的两个端点 分别是圆外一点和切点,可以度量.

【典例 5】 (2015· 江苏南京)如图 238, 在矩形 ABCD 中, AB=4,AD=5,AD,AB,BC 分别与⊙O 相切于 E, F,G 三点,过点 D 作⊙O 的切线交 BC 于点 M,切 点为 N,则 DM 的长为 ( ) 13 9 4 A. B. C. 13 D. 2 5 3 2 3

图 238

【点评】 本题主要考查切线长定理,注意方程思想及勾 股定理的运用. 【解析】 ∵四边形 ABCD 是矩形,∴CD=AB=4,BC =AD=5. 易知 AE=BG=AF=BF=2,∴DE=CG=3. ∵AD,DM,BC 是⊙O 的切线, ∴DN=DE=3,MN=MG. 设 MN=MG=x,则 CM=CG-GM=3-x. 在 Rt△ DMC 中,∵DM2=CD2+CM2, 4 13 2 2 2 ∴(3+x) =4 +(3-x) ,解得 x= ,∴DM= . 3 3 【答案】 A

考点五 三角形的内切圆
考点清单
1.如图 239,与三角形三边都相切的圆叫 作三角形的内切圆, 圆心叫作三角形的 内心,三角形叫作圆的外切三角形.
2.三角形的内心是三角形的三条角平分线的交点,它到 三角形三条边的距离相等,都等于三角形内切圆的半 径.

要点点拨
三角形的内心是三角形的三条角平分线的交点, 一定 在三角形内部, 而三角形的外心是三角形三条边的垂直平 分线的交点,可在三角形内、三角形外或三角形上,要注 意区别.
特别关注 1.已知△ ABC 的内切圆半径为 r,三边长分

1 别为 a,b,c,则△ ABC 的面积 S= (a+b+c)r. 2 2.若一个直角三角形的两条直角边长分别为 a,b,斜边 a+ b- c 长为 c,则该直角三角形的内切圆半径 r= 或r 2 ab = . a+ b+ c

【典例 6】 (2016· 湖北咸宁)如图 2310,E 是△ ABC 的 内心,AE 的延长线和△ ABC 的外接圆相交于点 D, 连结 BD,BE,CE.若∠CBD=32° ,则∠BEC 的度数 为____.

图 2310

【点评】 本题主要考查三角形内切圆的性质、三角形的 内心及圆周角定理, 熟知三角形的内心和根据圆周角定理 得出角的数量关系是解题的关键.

【解析】 ∵E 是△ ABC 的内心,∴AE 平分∠BAC. 同理,BE 平分∠ABC,CE 平分∠ACB. ∵∠CBD=32° ,∴∠CAD=∠CBD=32° , ∴∠BAC=2∠CAD=64° , ∴∠ABC+∠ACB=180° -64° =116° , 1 ∴∠EBC+∠ECB= × 116° =58° , 2 ∴∠BEC=180° -(∠EBC+∠ECB)=122° . 【答案】 122°

本课考点的考查一般以稍难题和难题为主, 常与一次 函数、三角形、圆的一些性质结合考查,切线的判定与性 质常出现在动态压轴题中, 解决这类问题的关键在于理清 动点或动直线的运动过程. 当直线与圆的位置关系不确定 时,常用到分类讨论思想.

【例 1】 (2016· 浙江台州)如图 2311,在△ ABC 中,AB =10,AC=8,BC=6,以边 AB 的中点 O 为圆心作半 圆与 AC 相切,P,Q 分别是边 BC 和半圆上的动点, 连结 PQ,则 PQ 长的最大值与最小值的和是 ( ) 32 A. 6 B. 2 13+1 C. 9 D. 2

图 2311
提 示

过点 O 作 BC 的垂线.

【解析】 如解图,设⊙O 与 AC 相切于 点 E,连结 OE,作 OP1⊥BC,垂足为 P1, 交⊙O 于点 Q1,此时垂线段 OP1 最短,且 P1Q1 的值最小,为 OP1-OQ1. ∵AB=10,AC=8,BC=6, ∴AB2=AC2+BC2,∴∠C=90° . ∵∠OP1B=90° ,∴OP1∥AC. 1 ∵AO=OB,∴P1C=P1B,∴OP1= AC=4. 2 1 ∵OE⊥AC,∴OE∥BC,∴OQ1=OE= BC=3, 2 ∴P1Q1 的最小值为 OP1-OQ1=1. 如解图,当点 Q2 在 AB 边上靠近点 A 的一侧,点 P2 与点 B 重 合时,P2Q2 的值最大,为 5+3=8, ∴PQ 长的最大值与最小值的和是 9. 【答案】 C

【例 2】 (2016· 江苏无锡)如图 2312,在△ AOB 中,∠O =90° ,AO=8 cm,BO=6 cm,点 C 从点 A 出发,在 边 AO 上以 2 cm/s 的速度向点 O 运动,与此同时,点 D 从点 B 出发,在边 BO 上以 1.5 cm/s 的速度向点 O 运动,过 OC 的中点 E 作 CD 的垂线 EF,则当点 C 运动了____s 时,以点 C 为圆心,1.5 cm 长为半径的 圆与直线 EF 相切.

图 2312

【解析】 当以点 C 为圆心,1.5 cm 长为半径的圆与直线 EF 相切 时,CF=1.5. 3 设运动时间为 t(s),则 AC=2t,BD= t, 2 3 ∴OC=8-2t,OD=6- t. 2 1 ∵E 是 OC 的中点,∴CE= OC=4-t. 2 ∵∠EFC=∠O=90° ,∠FCE=∠OCD,∴△ EFC∽△DOC, ? 3? 3?6-2t? FE FC 3OD 9 ? ? ∴OD=OC,∴FE= = = . 2OC 2(8-2t) 8 ?3?2 ?9?2 17 47 2 2 2 2 ∵CE =CF +EF ,∴(4-t) =?2? +?8? ,解得 t= 或 t= . 8 8 ? ? ? ? 17 ∵0≤t≤4,∴t= . 8 17 【答案】 8

【例 3】 (2016· 福建龙岩)如图 2313,在直角边分别为 3 和 4 的直角三角形中,每多作一条斜边上的高就增加 一个三角形的内切圆,依此类推,图10 ○ 中有 10 个直角 三角形的内切圆, 它们的面积分别记为 S1, S2, S3, …, S10,则 S1+S2+S3+…+S10=____.

图 2313

【解析】 ①如解图①,过点 O 作 OE⊥AC,OF⊥BC, 垂足分别为 E,F,则∠OEC=∠OFC=90° . ∵∠C=90° ,∴四边形 OECF 为矩形. ∵OE=OF,∴矩形 OECF 为正方形. 设⊙O 的半径为 r,则 OE=OF=r,AD=AE=3-r,BD =BF=4-r, ∴3-r+(4-r)=5,解得 r=1,∴S1=π× 12=π.

(例 3 解①)

②如解图②. 1 1 12 ∵S△ ABC= × 3× 4= × 5× CD,∴CD= . 2 2 5 ?12? 9 9 16 ? ?2 2 由勾股定理,得 AD= 3 -? 5 ? = ,∴BD=5- = . 5 5 5 ? ? 9 12 + -3 5 5 3 由①得⊙O 的半径= = , 2 5 12 16 + -4 5 5 4 ⊙E 的半径= = , 2 5 ?3?2 ?4?2 ? ? ? ∴S1+S2=π×?5? +π×? ? ? =π. ? ? ?5?

③如解图③. 1 12 16 1 48 ∵S△ CDB= × × = × 4× MD,∴MD= .由勾股定理,得 CM= 2 5 5 2 25 ?12?2 ?48?2 36 36 64 ? ? -? ? = ,∴MB=4- = . 25 25 25 ?5? ?25? 3 由①得⊙O 的半径= , 5 48 36 12 + - 25 25 5 12 ⊙E 的半径= = , 2 25 48 64 16 + - 25 25 5 16 ⊙F 的半径= = , 2 25 ?3?2 ?12?2 ?16?2 ∴S1+S2+S3=π×?5? +π×?25? +π×?25? =π. ? ? ? ? ? ? …… 依此类推,S1+S2+S3+…+S10=π. 【答案】 π

【例 4】 (2016· 浙江丽水)如图 2314,AB 是以 BC 为直 径的半⊙O 的切线,D 为半圆上的一点,AD=AB, AD,BC 的延长线相交于点 E. (1)求证:AD 是半⊙O 的切线. (2)连结 CD,求证:∠A=2∠CDE. ︵ (3)若∠CDE=27° ,OB=2,求BD的长.

图 2314

【解析】 (1)如解图,连结 OD,BD. ∵AB 是⊙O 的切线, ∴AB⊥BC,即∠ABO=90° . ∵AB=AD,∴∠ABD=∠ADB. ∵OB=OD,∴∠DBO=∠BDO, ∴∠ABD+∠DBO=∠ADB+∠BDO, ∴∠ADO=∠ABO=90° , ∴AD 是半⊙O 的切线.

(2)由(1)知,∠ADO=∠ABO=90° , ∴∠A=360° -∠ADO-∠ABO-∠BOD=180° - ∠BOD=∠DOC. ∵AD 是半⊙O 的切线,∴∠ODE=90° , ∴∠ODC+∠CDE=90° . ∵BC 是⊙O 的直径,∴∠ODC+∠BDO=90° , ∴∠BDO=∠CDE. ∵∠BDO=∠OBD,∴∠DOC=2∠BDO, ∴∠DOC=2∠CDE,∴∠A=2∠CDE.

(3)∵∠CDE=27° ,∴∠DOC=2∠CDE=54° ,∴∠BOD =180° -54° =126° . 126×π×2 7 ︵ ∵OB=2,∴lBD= = π. 180 5

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