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2017《教与学》中考全程复习导练第23课 与圆有关的位置关系



近三年浙江中考试题分布
热门考点 2016年 2015年 2014年

1. 点与圆的位 置关系 2.直线与圆的 位置关系 3.切线的判定 与性质 4.切线长定理 5.三角形的内 切圆

温州T24,14分 宁波T23,10分 湖州T8,3分 台州T10,4分 衢州T9,3分 衢州T21,8分 金华T22,8分 丽水T22,10分 嘉兴、舟山T21,8分

温州T24,14分 宁波T17,4分 湖州T8,3分 湖州T9,3分 湖州T20,8分 衢州T10,3分 金华T23,10分 丽水T21,8分 嘉兴、舟山T7,4分

杭州T21,10分 温州T16,5分 湖州T9,3分 湖州T24,12分 衢州、丽水T22,10 分 金华、义乌T16,4分 嘉兴、舟山T16,5分

考点一 点与圆的位置关系
考点清单
如图 231,如果用 r 表示圆的半径,d 表 示同一平面内点到圆心的距离, 那么点与 圆的位置关系如下表所示: 点与圆的位置关系 d 与 r 的大小关系 点在圆内 d <r 点在圆上 d= r 点在圆外 d >r

要点点拨
已知点到圆心的距离与圆的半径, 可以确定该点与圆 的位置关系.
特别关注 判断点与圆的位置关系时,需先确定点到圆

心的距离,再与半径比较.

【典例 1】 (2016· 湖北宜昌)在公园的 O 处附近有 E,F, G,H 四棵树,位置如图 232 所示(图中小正方形的边 长均相等).现计划修建一个以点 O 为圆心,OA 长为 半径的圆形水池,要求池中不留树木,则 E,F,G, H 四棵树中需要被移除的为 ( ) A. E,F,G B. F,G,H C. G,H,E D. H,E,F

图 232

【点评】 本题主要考查点与圆的位置关系,会计算网格 中两点间的距离及比较线段的长短是解题的关键.
【解析】 ∵OA= 1+22= 5,OE=2,OF=2,OG= 1,OH= 22+22=2 2, ∴点 E,F,G 在⊙O 内,点 H 在⊙O 外.

【答案】 A

考点二 直线与圆的位置关系
考点清单
如果⊙O 的半径为 r,圆心 O 到直线 l 的距离为 d,那么 直线与圆的位置关系如下表所示: 位置关系 相离 相切 相交 图形 公共点个数 数量关系 0个 d >r 1个 d= r 2个 d< r

要点点拨
判定直线与圆的位置关系时, 常过圆心向直线作垂线 段,再比较垂线段的长度与圆的半径的大小.

特别关注

判断直线与圆的位置关系时,在图形不明确

的情况下,要分类讨论,不要漏解.

【典例 2】 (2016· 湖南永州)如图 233,给定一个半径长 为 2 的圆,圆心 O 到水平直线 l 的距离为 d,即 OM= d.我们把圆上到直线 l 的距离等于 1 的点的个数记为 m.如 d=0 时,l 为经过圆心 O 的一条直线,此时圆上 有四个到直线 l 的距离等于 1 的点,即 m=4,由此可 知: (1)当 d=3 时,m= . (2)当 m=2 时,d 的取值范围是 .

图 233

【点评】 本题主要考查直线与圆的位置关系,了解当圆 与直线相切时, 圆心到直线的距离等于圆的半径是解题的 关键.

【解析】 (1)当 d=3 时, ∵3>2,即 d>r,∴直线 l 与⊙O 相离,且易得 m=1. (2)当 m=2 时, 即圆上到直线 l 的距离等于 1 的点有 2 个, ∴2-1<d<2+1,∴1<d<3, ∴d 的取值范围是 1<d<3.

【答案】 (1)1 (2)1<d<3

考点三 切线的判定与性质
考点清单
1.切线的判定定理:经过半径的外端并且垂直这条半径 的直线是圆的切线. 2.切线的性质定理: (1)经过切点的半径垂直于圆的切线. (2)经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心.

要点点拨
1.判定一条直线是圆的切线的方法,除了用切线的判定 定理外,还有: (1)与圆有唯一公共点的直线是圆的切线.

(2)若圆心到直线的距离等于该圆的半径,则这条直线 是圆的切线. 2.作圆的切线(尺规作图方法如下): (1)在⊙O 上任取一点 A,连结 OA 并延长. (2)以点 A 为圆心,小于 OA 的长为半径画弧,与直线 OA 交于 B,C 两点.

1 (3)分别以点 B,C 为圆心,大于 BC 的长为半径画弧, 2 两弧交于点 D,E.

(4)过点 D,E 作直线.如图 234, 直线 DE 就是⊙O 的切线.
切线问题中常用的辅助线方法:

特别关注

(1)当直线与圆的公共点已知时,连结半径证垂直. (2)当直线与圆的公共点未知时,过圆心向直线作垂线段, 证圆心到直线的距离等于圆的半径. (3)连结圆心和切点,构造直角三角形解题.

【典例 3】 (2016· 浙江湖州)如图 235,⊙O 是 Rt△ ABC 的外接圆,∠ACB=90° ,∠A=25° ,过点 C 作⊙O 的 切线,交 AB 的延长线于点 D,则∠D 的度数是( ) A. 25° B. 40° C. 50° D. 65°

图 235

【点评】 本题主要考查切线的性质,利用切线的性质求 得相应角的度数是解题的关键. 【解析】 如解图,连结 OC. ∵⊙O 是 Rt△ ABC 的外接圆,∠ACB =90° , ∴AB 是直径. ∵∠A=25° ,∴∠BOC=2∠A=50° . ∵CD 是⊙O 的切线,∴OC⊥CD, ∴∠D=90° -∠BOC=40° . 故选 B.
【答案】 B

【典例 4】 (2016· 浙江宁波)如图 236,已知⊙O 的直径 AB=10,弦 AC=6,∠BAC 的平分线交⊙O 于点 D, 过点 D 作 DE⊥AC 交 AC 的延长线于点 E. (1)求证:DE 是⊙O 的切线. (2)求 DE 的长.

图 236

【点评】 本题主要考查切线的判定、 矩形的判定和性质、 垂径定理、勾股定理等知识,解题的关键是记住切线的判 定方法,学会添加常用辅助线.

【解析】 (1)如解图①,连结 OD. ∵AD 平分∠BAC,∴∠DAE=∠DAB. ∵OA=OD,∴∠ODA=∠DAO, ∴∠ODA=∠DAE,∴OD∥AE. ∵DE⊥AC,∴OD⊥DE,∴DE 是⊙O 切线. (2)如解图②,过点 O 作 OF⊥AC 于点 F, 1 则 AF=CF= AC=3, 2 ∴OF= AO2-AF2= 52-32=4. ∵∠OFE=∠DEF=∠ODE=90° , ∴四边形 OFED 是矩形,∴DE=OF=4.

考点四 切线长定理
考点清单
1.从圆外一点作圆的切线,通常我们把圆外这一点到切 点间的线段的长叫作切线长. 2.切线长定理:过圆外一点所作的圆的两条切线长相等.

要点点拨
对于切线长定理,应明确以下几点: (1)若已知圆的两条切线相交,则切线长相等. (2)若已知两条切线平行,则圆上两个切点的连线为直径. (3)经过圆外一点引圆的两条切线,连结两个切点可得到一个 等腰三角形. (4)经过圆外一点引圆的两条切线,切线的夹角与过切点的两 条半径的夹角互补. (5)圆外一点与圆心的连线平分过这点向圆引的两条切线所夹 的角. 如图 237,切线长 PA=PB, ∠APO=∠BPO,∠AOP=∠BOP.

特别关注

切线和切线长是两个不同的概念,切线是直

线,不能度量;切线长是线段的长,这条线段的两个端点 分别是圆外一点和切点,可以度量.

【典例 5】 (2015· 江苏南京)如图 238, 在矩形 ABCD 中, AB=4,AD=5,AD,AB,BC 分别与⊙O 相切于 E, F,G 三点,过点 D 作⊙O 的切线交 BC 于点 M,切 点为 N,则 DM 的长为 ( ) 13 9 4 A. B. C. 13 D. 2 5 3 2 3

图 238

【点评】 本题主要考查切线长定理,注意方程思想及勾 股定理的运用. 【解析】 ∵四边形 ABCD 是矩形,∴CD=AB=4,BC =AD=5. 易知 AE=BG=AF=BF=2,∴DE=CG=3. ∵AD,DM,BC 是⊙O 的切线, ∴DN=DE=3,MN=MG. 设 MN=MG=x,则 CM=CG-GM=3-x. 在 Rt△ DMC 中,∵DM2=CD2+CM2, 4 13 2 2 2 ∴(3+x) =4 +(3-x) ,解得 x= ,∴DM= . 3 3 【答案】 A

考点五 三角形的内切圆
考点清单
1.如图 239,与三角形三边都相切的圆叫 作三角形的内切圆, 圆心叫作三角形的 内心,三角形叫作圆的外切三角形.
2.三角形的内心是三角形的三条角平分线的交点,它到 三角形三条边的距离相等,都等于三角形内切圆的半 径.

要点点拨
三角形的内心是三角形的三条角平分线的交点, 一定 在三角形内部, 而三角形的外心是三角形三条边的垂直平 分线的交点,可在三角形内、三角形外或三角形上,要注 意区别.
特别关注 1.已知△ ABC 的内切圆半径为 r,三边长分

1 别为 a,b,c,则△ ABC 的面积 S= (a+b+c)r. 2 2.若一个直角三角形的两条直角边长分别为 a,b,斜边 a+ b- c 长为 c,则该直角三角形的内切圆半径 r= 或r 2 ab = . a+ b+ c

【典例 6】 (2016· 湖北咸宁)如图 2310,E 是△ ABC 的 内心,AE 的延长线和△ ABC 的外接圆相交于点 D, 连结 BD,BE,CE.若∠CBD=32° ,则∠BEC 的度数 为____.

图 2310

【点评】 本题主要考查三角形内切圆的性质、三角形的 内心及圆周角定理, 熟知三角形的内心和根据圆周角定理 得出角的数量关系是解题的关键.

【解析】 ∵E 是△ ABC 的内心,∴AE 平分∠BAC. 同理,BE 平分∠ABC,CE 平分∠ACB. ∵∠CBD=32° ,∴∠CAD=∠CBD=32° , ∴∠BAC=2∠CAD=64° , ∴∠ABC+∠ACB=180° -64° =116° , 1 ∴∠EBC+∠ECB= × 116° =58° , 2 ∴∠BEC=180° -(∠EBC+∠ECB)=122° . 【答案】 122°

本课考点的考查一般以稍难题和难题为主, 常与一次 函数、三角形、圆的一些性质结合考查,切线的判定与性 质常出现在动态压轴题中, 解决这类问题的关键在于理清 动点或动直线的运动过程. 当直线与圆的位置关系不确定 时,常用到分类讨论思想.

【例 1】 (2016· 浙江台州)如图 2311,在△ ABC 中,AB =10,AC=8,BC=6,以边 AB 的中点 O 为圆心作半 圆与 AC 相切,P,Q 分别是边 BC 和半圆上的动点, 连结 PQ,则 PQ 长的最大值与最小值的和是 ( ) 32 A. 6 B. 2 13+1 C. 9 D. 2

图 2311
提 示

过点 O 作 BC 的垂线.

【解析】 如解图,设⊙O 与 AC 相切于 点 E,连结 OE,作 OP1⊥BC,垂足为 P1, 交⊙O 于点 Q1,此时垂线段 OP1 最短,且 P1Q1 的值最小,为 OP1-OQ1. ∵AB=10,AC=8,BC=6, ∴AB2=AC2+BC2,∴∠C=90° . ∵∠OP1B=90° ,∴OP1∥AC. 1 ∵AO=OB,∴P1C=P1B,∴OP1= AC=4. 2 1 ∵OE⊥AC,∴OE∥BC,∴OQ1=OE= BC=3, 2 ∴P1Q1 的最小值为 OP1-OQ1=1. 如解图,当点 Q2 在 AB 边上靠近点 A 的一侧,点 P2 与点 B 重 合时,P2Q2 的值最大,为 5+3=8, ∴PQ 长的最大值与最小值的和是 9. 【答案】 C

【例 2】 (2016· 江苏无锡)如图 2312,在△ AOB 中,∠O =90° ,AO=8 cm,BO=6 cm,点 C 从点 A 出发,在 边 AO 上以 2 cm/s 的速度向点 O 运动,与此同时,点 D 从点 B 出发,在边 BO 上以 1.5 cm/s 的速度向点 O 运动,过 OC 的中点 E 作 CD 的垂线 EF,则当点 C 运动了____s 时,以点 C 为圆心,1.5 cm 长为半径的 圆与直线 EF 相切.

图 2312

【解析】 当以点 C 为圆心,1.5 cm 长为半径的圆与直线 EF 相切 时,CF=1.5. 3 设运动时间为 t(s),则 AC=2t,BD= t, 2 3 ∴OC=8-2t,OD=6- t. 2 1 ∵E 是 OC 的中点,∴CE= OC=4-t. 2 ∵∠EFC=∠O=90° ,∠FCE=∠OCD,∴△ EFC∽△DOC, ? 3? 3?6-2t? FE FC 3OD 9 ? ? ∴OD=OC,∴FE= = = . 2OC 2(8-2t) 8 ?3?2 ?9?2 17 47 2 2 2 2 ∵CE =CF +EF ,∴(4-t) =?2? +?8? ,解得 t= 或 t= . 8 8 ? ? ? ? 17 ∵0≤t≤4,∴t= . 8 17 【答案】 8

【例 3】 (2016· 福建龙岩)如图 2313,在直角边分别为 3 和 4 的直角三角形中,每多作一条斜边上的高就增加 一个三角形的内切圆,依此类推,图10 ○ 中有 10 个直角 三角形的内切圆, 它们的面积分别记为 S1, S2, S3, …, S10,则 S1+S2+S3+…+S10=____.

图 2313

【解析】 ①如解图①,过点 O 作 OE⊥AC,OF⊥BC, 垂足分别为 E,F,则∠OEC=∠OFC=90° . ∵∠C=90° ,∴四边形 OECF 为矩形. ∵OE=OF,∴矩形 OECF 为正方形. 设⊙O 的半径为 r,则 OE=OF=r,AD=AE=3-r,BD =BF=4-r, ∴3-r+(4-r)=5,解得 r=1,∴S1=π× 12=π.

(例 3 解①)

②如解图②. 1 1 12 ∵S△ ABC= × 3× 4= × 5× CD,∴CD= . 2 2 5 ?12? 9 9 16 ? ?2 2 由勾股定理,得 AD= 3 -? 5 ? = ,∴BD=5- = . 5 5 5 ? ? 9 12 + -3 5 5 3 由①得⊙O 的半径= = , 2 5 12 16 + -4 5 5 4 ⊙E 的半径= = , 2 5 ?3?2 ?4?2 ? ? ? ∴S1+S2=π×?5? +π×? ? ? =π. ? ? ?5?

③如解图③. 1 12 16 1 48 ∵S△ CDB= × × = × 4× MD,∴MD= .由勾股定理,得 CM= 2 5 5 2 25 ?12?2 ?48?2 36 36 64 ? ? -? ? = ,∴MB=4- = . 25 25 25 ?5? ?25? 3 由①得⊙O 的半径= , 5 48 36 12 + - 25 25 5 12 ⊙E 的半径= = , 2 25 48 64 16 + - 25 25 5 16 ⊙F 的半径= = , 2 25 ?3?2 ?12?2 ?16?2 ∴S1+S2+S3=π×?5? +π×?25? +π×?25? =π. ? ? ? ? ? ? …… 依此类推,S1+S2+S3+…+S10=π. 【答案】 π

【例 4】 (2016· 浙江丽水)如图 2314,AB 是以 BC 为直 径的半⊙O 的切线,D 为半圆上的一点,AD=AB, AD,BC 的延长线相交于点 E. (1)求证:AD 是半⊙O 的切线. (2)连结 CD,求证:∠A=2∠CDE. ︵ (3)若∠CDE=27° ,OB=2,求BD的长.

图 2314

【解析】 (1)如解图,连结 OD,BD. ∵AB 是⊙O 的切线, ∴AB⊥BC,即∠ABO=90° . ∵AB=AD,∴∠ABD=∠ADB. ∵OB=OD,∴∠DBO=∠BDO, ∴∠ABD+∠DBO=∠ADB+∠BDO, ∴∠ADO=∠ABO=90° , ∴AD 是半⊙O 的切线.

(2)由(1)知,∠ADO=∠ABO=90° , ∴∠A=360° -∠ADO-∠ABO-∠BOD=180° - ∠BOD=∠DOC. ∵AD 是半⊙O 的切线,∴∠ODE=90° , ∴∠ODC+∠CDE=90° . ∵BC 是⊙O 的直径,∴∠ODC+∠BDO=90° , ∴∠BDO=∠CDE. ∵∠BDO=∠OBD,∴∠DOC=2∠BDO, ∴∠DOC=2∠CDE,∴∠A=2∠CDE.

(3)∵∠CDE=27° ,∴∠DOC=2∠CDE=54° ,∴∠BOD =180° -54° =126° . 126×π×2 7 ︵ ∵OB=2,∴lBD= = π. 180 5

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