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2014年高考一轮复习数学教案:4.5 三角函数的图象与性质(一)



4.5
●知识梳理

三角函数的图象与性质(一)

π 3π 1.五点法作 y=Asin(ω x+ ? )的简图:五点取法是设 x=ω x+ ? ,由 x 取 0、 、π 、 、 2 2 2π 来求相应的 x 值及对应的 y 值,再描点作图. 2.利用图象的变换作图象时, 提倡先平移后伸缩, 但先伸缩后平移也经常出现.无论哪种 变

形,请切记每一个变换总是对字母 x 而言,即图象变换要看“变量”起多大变化,而不是 “角变化”多少.
3.给出图象确定解析式 y=Asin (ω x+ ? ) 的题型, 有时从寻找 “五点” 中的第一零点 (- 0)作为突破口,要从图象的升降情况找准第一个零点的位置. .. ●点击双基 1.(2002 年全国)函数 y=-xcosx 的部分图象是
y y

? , ?

O

x

O

x

A
y O x O y

B

x

C
0+

D

解析:y=-xcosx 为奇函数,且当 x 时,图象在 x 轴下方. 答案:D 2.(2002 年全国)在(0,2π )内,使 sinx>cosx 成立的 x 的取值范围是 A.( C.(

π π 5π , )∪(π , ) 4 2 4

B.(

π ,π ) 4

π 5π π 5π 3π , ) D.( ,π )∪( , ) 4 4 4 4 2 解析:利用三角函数线. 答案:C 3.(2005 年春季北京,4)如果函数 f(x)=sin(π x+θ ) (0<θ <2π )的最小正周期 是 T,且当 x=2 时取得最大值,那么 π A.T=2,θ = B.T=1,θ =π 2
C.T=2,θ =π 解析:T= D.T=1,θ =

π 2

2π =2,又当 x=2 时,sin(π ·2+θ )=sin(2π +θ )=sinθ ,要使上式取得 π

最大值,可取θ = 答案:A

π . 2
3 1 , 最小值是- , A=_______, 则 2 2

4.设函数 (x) f =A+Bsinx, B<0 时, 若 (x) f 的最大值是 B=_______.
3 ? ?A ? B ? 2 , ? 解析:根据题意,由 ? 可得结论. ?A ? B ? ? 1 ? 2 ?

答案:

1 2

-1

5.(2004 年全国,5)已知函数 y=tan(2x+ ? )的图象过点( A.-

π ,0) ,则 ? 可以是 12
D.

π 6

B.

π 6

C.-

π 12

π 12

解析:将(

π π ,0)代入原函数可得,tan( + ? )=0,再将 A、B、C、D 代入检验即可. 12 6

答案:A ●典例剖析 【例 1】 把函数 y=cos(x+ 的最小值是

4π )的图象向左平移 4 个单位,所得的函数为偶函数,则 ? 3

4π 2π π 5π B. C. D. 3 3 3 3 剖析:先写出向左平移 4 个单位后的解析式,再利用偶函数的性质求解.
A. 向左平移 ? 个单位后的解析式为 y=cos(x+ 则 cos(-x+ cosxcos(

4π +? ) , 3

4π 4π + ? )=cos(x+ +? ) , 3 3

4π 4π + ? )+sinxsin( +? ) 3 3 4π 4π + ? )-sinxsin( + ? ). 3 3 4π + ? )=0,x∈R. 3

=cosxcos( ∴sinxsin( ∴

4π 4π + ? =kπ .∴ ? =kπ - >0. 3 3

4 2π .∴k=2.∴ ? = . 3 3 答案:B
∴k>

1 π 【例 2】 试述如何由 y= sin(2x+ )的图象得到 y=sinx 的图象. 3 3

1 π 解:y= sin(2x+ ) 3 3

1 π 倍 ?横坐标扩大为原来的2?? y ? sin x ? ) ???????? ( 纵坐标不变 3 3
图象向右平移 个单位 1 ??????3 ??? y ? sin x ? 纵坐标不变 3 π

倍 ?纵坐标扩大到原来的3?? y ? sin x ???????? 横坐标不变

深化拓展
还有其他变换吗?不妨试一试.

1 π π 1 答案: (1)先将 y= sin(2x+ )的图象向右平移 个单位,得 y= sin2x 的图象; 3 3 6 3 1 1 (2)再将 y= sin2x 上各点的横坐标扩大为原来的 2 倍(纵坐标不变) ,得 y= sinx 的 3 3 图象; 1 (3)再将 y= sinx 图象上各点的纵坐标扩大为原来的 3 倍(横坐标不变) ,即可得到 3 y=sinx 的图象.
【例 3】 (2004 年重庆,17)求函数 y=sin4x+2 3 sinxcosx-cos4x 的最小正周期和最 小值;并写出该函数在[0,π ]上的单调递增区间. 解:y=sin4x+2 3 sinxcosx-cos4x =(sin2x+cos2x) (sin2x-cos2x)+ 3 sin2x = 3 sin2x-cos2x =2sin(2x-

π ). 6

π 5π ][ , ,π ]. 3 6 评述:把三角函数式化简为 y=Asin(ω x+ ? )+k(ω >0)是解决周期、最值、单调区
故该函数的最小正周期是π ;最小值是-2;单调递增区间是[0, 间问题的常用方法. ●闯关训练 夯实基础 1.(2004 年辽宁,7)已知函数 f(x)=sin(π x- A.f(x)是周期为 1 的奇函数 B.f(x)是周期为 2 的偶函数 C.f(x)是周期为 1 的非奇非偶函数 D.f(x)是周期为 2 的非奇非偶函数 解析:T=

π )-1,则下列命题正确的是 2

2π π =2,且 f(x)=sin(π x- )-1=cos2x-1,∴f(x)为偶函数. π 2

答案:B 2.(2004 年全国Ⅰ,9)为了得到函数 y=sin(2x- 图象 A.向右平移 C.向左平移

π )的图象,可以将函数 y=cos2x 的 6 π 个单位长度 3 π 个单位长度 3

π 个单位长度 6 π 个单位长度 6

B.向右平移 D.向左平移

解析:∵y=sin(2x- cos[2(x-

π π π 2π 2π )=cos[ -(2x- ) ]=cos( -2x)=cos(2x- )= 6 2 6 3 3

π ), ] 3 π 个单位长度. 3

∴将函数 y=cos2x 的图象向右平移

答案:B 3.方程 2sin2x=x-3 的解的个数为_______. 解析:画图象. 答案:3 4.函数 y=Asin(x+ ? )与 y=Acos(x+ ? )在(x0,x0+π )上交点的个数为_______. 解析:画图象. 答案:1 5. 2004 年上海, 已知 y=f x) ( 14) ( 是周期为 2π 的函数, x∈ 当 [0, ) f x) 2π 时,( =sin 则 f(x)=

x , 2

1 的解集为 2

A.{x|x=2kπ +

π ,k∈Z} 3 π ,k∈Z} 3
x 1 = ,x∈[0,2π ) , 2 2

B.{x|x=2kπ +

5π ,k∈Z} 3 π ,k∈Z} 3

C.{x|x=2kπ ±

D.{x|x=2kπ +(-1)k

解析:∵f(x)=sin ∴

x x π 5π ∈[0,π ).∴ = 或 . 2 2 6 6

π 5π 或 . 3 3 ∵f(x)是周期为 2π 的周期函数, 1 π ∴f(x)= 的解集为{x|x=2kπ ± ,k∈Z}. 2 3 答案:C 6.画出函数 y=|sinx|,y=sin|x|的图象.
∴x=
x ? 0, ?sin x 解:y=sin|x|= ? ?? sin x x ? 0.

y yi =n sx ? - O ?
y 2 ? -?O s y ix =n ? ? 2 x

2 3 x ? ?

培养能力 7.作出函数 y=|sinx|+|cosx|,x∈[0,π ]的图象,并写出函数的值域.
? π ? π? ( ? 2 sin x ? ) x ? ?0, ?, 4 ? ? 2? 解:原式= ? ? 2 sin x ? π ) x ? ? π ,π ?. ( ? ? ? 4 ?2 ? ?

如下图:
y 2 1 O ? 2 ? x

函数的值域为[1, 2 ]. 8. 2004 年福建, 设函数 f x) ( 17) ( =a· 其中向量 a= b, (2cosx, , (cosx, 3 sin2x) 1) b= , x∈R. (1)若 f(x)=1- 3 且 x∈[-

π π , ] ,求 x; 3 3 π )平移后得到函数 y=f(x)的 2

(2)若函数 y=2sin2x 的图象按向量 c=(m,n) (|m|<

图象,求实数 m、n 的值. 分析: 本题主要考查平面向量的概念和计算、 三角函数的恒等变换及其图象变换的基本 技能,考查运算能力. 解: (1)依题设,f(x)=2cos2x+ 3 sin2x=1+2sin(2x+
3 π )=- . 2 6 π π π π 5π ∵- ≤x≤ ,∴- ≤2x+ ≤ . 3 3 2 6 6

π π ).由 1+2sin(2x+ )=1- 3 , 6 6

得 sin(2x+

π π π =- ,即 x=- . 6 3 4 (2)函数 y=2sin2x 的图象按向量 c=(m,n)平移后得到函数 y=2sin2(x-m)+n 的图 象,即函数 y=f(x)的图象. π 由(1)得 f(x)=2sin2(x+ )+1. 12
∴2x+ ∵|m|<

π π ,∴m=- ,n=1. 12 2

探究创新 9.(2004 年北京西城区一模题)f(x)是定义在[-2π ,2π ]上的偶函数,当 x∈[0, π ]时,y=f(x)=cosx,当 x∈(π ,2π ]时,f(x)的图象是斜率为 为-2 的直线在相应区间上的部分.

2 ,在 y 轴上截距 π

π ) ; 3 (2)求 f(x) ,并作出图象,写出其单调区间.
(1)求 f(-2π ) ,f(-

2 x-2, π 又 f(x)是偶函数,∴f(-2π )=f(2π )=2. 又 x∈[0,π ]时,y=f(x)=cosx,
解: (1)当 x∈(π ,2π ]时,y=f(x)= ∴f(-

π π 1 )=f( )= . 2 3 3

? 2 ? ?? π x ? 2 x ? ?? 2π , π ? , ? x ? ?? π ,π ?, (2)y=f(x)= ?cos x ?2 ? x?2 x ? ?π , ? . 2π ?π
y 2 1 2 -? - - O ? 1 2 ? ? 2 x

单调区间为[-2π ,-π )[0,π )[-π ,0][π ,2π ]. , , , ●思悟小结 1.数形结合是数学中重要的思想方法,在中学阶段,对各类函数的研究都离不开图象, 很多函数的性质都是通过观察图象而得到的. 2.作函数的图象时,首先要确定函数的定义域. 3.对于具有周期性的函数,应先求出周期,作图象时只要作出一个周期的图象,就可根 据周期性作出整个函数的图象. 4.求定义域时,若需先把式子化简,一定要注意变形时 x 的取值范围不能发生变化. ●教师下载中心 教学点睛 解析式的求解中应引导学生用好图象, 紧扣五点中的第一个零点, 要注意图象的升降情 况,注意数形结合的思想. 拓展题例 【例题】 已知函数 f(x)=Asinω x+Bcosω x(A、B、ω 是实常数,ω >0)的最小正周

1 期为 2,并当 x= 时,f(x)max=2. 3 (1)求 f(x). 21 23 , ]上是否存在 f(x)的对称轴?如果存在,求出其对称轴方程; 4 4 如果不存在,请说明理由.
(2)在闭区间[

解: (1)f(x)= 3 sinπ x+cosπ x=2sin(π x+ (2)令π x+

π ). 6

π π =kπ + ,k∈Z. 6 2

1 21 1 23 ∴x=k+ , ≤k+ ≤ . 3 4 3 4


59 65 ≤k≤ .∴k=5. 12 12 21 23 16 , ]上只有 f(x)的一条对称轴 x= . 3 4 4

故在[



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