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第5章 第2节 等差数列及其前n项和


2009~2013 年高考真题备选题库 第 5 章 数列 第 2 节 等差数列及其前 n 项和 考点一 等差数列的通项公式
1. (2013 安徽, 5 分) 设 Sn 为等差数列{an}的前 n 项和, S8=4a3, a7=-2, 则 a9=( A.-6 C.-2 B.-4 D.2 )

解析:本题主要考查等差数列的基础知识和基本运算,意在考查考生的运算求解能力. 根据等差数列的定义和性质可得,S8=4(a3+a6),又 S8=4a3,所以 a6=0,又 a7=-2, 所以 a8=-4,a9=-6. 答案:A 2. (2013 新课标全国Ⅰ,12 分)已知等差数列{an}的前 n 项和 Sn 满足 S3=0,S5=-5. (1)求{an}的通项公式; (2)求数列?a 1 ? ?的前 n 项和. a ? 2n-1 2n+1?
?

解:本题主要考查等差数列的基本知识,特殊数列求和等. n?n-1? (1)设{an}的公差为 d,则 Sn=na1+ d. 2
? ?3a1+3d=0, 由已知可得? 解得 a1=1,d=-1. ?5a1+10d=-5. ?

故{an}的通项公式为 an=2-n. 1 1 ? ? 1 1 1 1 ?的前 n 项 (2)由(1)知 = = ?2n-3-2n-1?,从而数列?a ? a2n-1a2n+1 ?3-2n??1-2n? 2? ? 2n-1a2n+1? 1 1 1 1 1 1 1 n 和为 ?-1-1+1-3+…+2n-3-2n-1?= 2? ? 1-2n. 3. (2013 新课标全国Ⅱ,12 分)已知等差数列{an}的公差不为零,a1=25,且 a1,a11, a13 成等比数列. (1)求{an}的通项公式; (2)求 a1+a4+a7+…+a3n-2. 解:本题主要考查等比数列的性质、等差数列的通项公式及等差数列的求和,意在考查 考生的运算求解能力. (1)设{an}的公差为 d.由题意,a2 11=a1a13, 即(a1+10d)2=a1(a1+12d),

于是 d(2a1+25d)=0. 又 a1=25,所以 d=0(舍去),或 d=-2. 故 an=-2n+27. (2)令 Sn=a1+a4+a7+…+a3n-2. n 由(1)知 a3n-2=-6n+31,故{a3n-2}是首项为 25,公差为-6 的等差数列.从而 Sn= (a1 2 n +a3n-2)= · (-6n+56)=-3n2+28n. 2 4. (2013 山东,12 分)设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,且 S4=4S2,a2n=2an+1. (1)求数列{an}的通项公式; b1 b2 bn 1 (2)若数列{bn}满足 + +…+ =1- n,n∈N*,求{bn}的前 n 项和 Tn. a1 a2 an 2 解:本题主要考查等差数列的通项公式、错位相减法等知识,考查方程思想、转化思想 和运算能力、推理论证能力. (1)设等差数列{an}的首项为 a1,公差为 d. 由 S4=4S2,a2n=2an+1 得
? ?4a1+6d=8a1+4d, ? ?a1+?2n-1?d=2a1+2?n-1?d+1, ?

解得 a1=1,d=2. 因此 an=2n-1,n∈N*. b1 b2 bn 1 (2)由已知 + +…+ =1- n,n∈N*, a1 a2 an 2 b1 1 当 n=1 时, = ; a1 2 1 bn 1 1 当 n≥2 时, =1- n-?1-2n-1?= n, an 2 ? ? 2 bn 1 所以 = n,n∈N*. an 2 由(1)知 an=2n-1,n∈N*, 2n-1 所以 bn= n ,n∈N*. 2 2n-1 1 3 5 又 Tn= + 2+ 3+…+ n , 2 2 2 2 2n-3 2n-1 1 1 3 T = + +…+ n + n+1 , 2 n 22 23 2 2 两式相减得 2 2 2 2n-1 1 1 T = +? 2+ 3+…+2n? ?- 2n+1 2 n 2 ?2 2

2n-1 3 1 = - n-1- n+1 , 2 2 2 2n+3 所以 Tn=3- n . 2 5. (2012 福建,5 分)等差数列{an}中,a1+a5=10,a4=7,则数列{an}的公差为( A.1 C.3 B.2 D.4 )

解析:在等差数列{an}中,∵a1+a5=10,∴2a3=10,∴a3=5,又 a4=7,∴所求的公 差为 2. 答案:B 6. (2009· 福建, 5 分)等差数列{an}的前 n 项和为 Sn, 且 S3=6, a3=4, 则公差 d 等于( A.1 C.2 5 B. 3 D.3 )

?a1+a3?×3 解析:∵S3= =6,而 a3=4,∴a1=0, 2 a3-a1 ∴d= =2. 2 答案:C 7. (2012 广东,5 分)已知递增的等差数列|an|满足 a1=1,a3=a2 2-4,则 an=________. 解析:设等差数列{an}的公差为 d,
? ? ?a1=1, ?a1=1, ? 由已知得? 即 2 2 ?a3=?a1+d? -4, ? ? ?1+2d=?1+d? -4, ?a1=1, ? 解得? ?d=± 2. ? ? ?a1=1, 由于等差数列{an}是递增的等差数列,因此? ? ?d=2.

所以 an=a1+(n-1)d=2n-1. 答案:2n-1 8.(2011 辽宁,12 分)已知等差数列{an}满足 a2=0,a6+a8=-10. (1)求数列{an}的通项公式; an (2)求数列{ n-1}的前 n 项和. 2 解:(1)设等差数列{an}的公差为 d,由已知条件可得
? ? ?a1+d=0, ?a1=1, ? ,解得? ?2a1+12d=-10 ? ? ?d=-1.

故数列{an}的通项公式为 an=2-n.(5 分) an (2)设数列{ n-1}的前 n 项和为 Sn, 2 a2 an 即 Sn=a1+ +…+ n-1, 2 2 Sn a1 a2 an 故 S1=1, = + +…+ n, 2 2 4 2 所以,当 n>1 时, a2-a1 an-an-1 an Sn =a1+ +…+ n-1 - n 2 2 2 2 2-n 1 1 1 =1-( + +…+ n-1)- n 2 4 2 2 2-n n 1 =1-(1- n-1)- n = n. 2 2 2 n 所以 Sn= n-1. 2 an n 综上,数列{ n-1}的前 n 项和 Sn= n-1.(12 分) 2 2

考点二 等差数列的前 n 项和
1. (2013 新课标全国Ⅰ,5 分)设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,Sm-1=-2,Sm=0, Sm+1=3,则 m=( A.3 C.5 ) B.4 D.6

解析:本题考查等差数列的定义、通项公式和前 n 项和公式,意在考查考生通过等差数 列的定义、通项公式、前 n 项和公式求解基本量的能力.根据已知条件,得到 am 和 am+1,再 根据等差数列的定义得到公差 d, 最后建立关于 a1 和 m 的方程组求解. 由 Sm-1=-2, Sm=0, Sm+1=3,得 am=Sm-Sm-1=2,am+1=Sm+1-Sm=3,所以等差数列的公差为 d=am+1-am=3 -2=1, a =a +?m-1?d=2, ? ? m 1 由? 1 ? ?Sm=a1m+2m?m-1?d=0, a +m-1=2, ? ? ? 1 ?a1=-2, 得? 解得? 选择 C. 1 ?m=5, ? ?a1m+2m?m-1?=0, ? 答案:C 2. (2013 新课标全国Ⅱ,5 分)等差数列{an}的前 n 项和为 Sn ,已知 S10=0,S15=25, 则 nSn 的最小值为________.

解析:本题考查等差数列的前 n 项和公式以及通过转化利用函数的单调性判断数列的单 调性等知识,对学生分析、转化、计算等能力要求较高.

?S 由已知? ?S

10=10a1+

10×9 d=0, 2

15×14 d=25, 15=15a1+ 2

解得 a1=-3,

n2?n-1? n3 10n2 2 x3 10x2 20 d= ,那么 nSn=n2a1+ d= - .由于函数 f(x)= - 在 x= 处取得极小 3 2 3 3 3 3 3 值,因而检验 n=6 时,6S6=-48,而 n=7 时,7S7=-49. ∴nSn 的最小值为-49. 答案:-49 3. (2013 福建,12 分)已知等差数列{an}的公差 d=1,前 n 项和为 Sn. (1)若 1,a1,a3 成等比数列,求 a1; (2)若 S5>a1a9,求 a1 的取值范围. 解:本题主要考查等差数列、等比数列、不等式等基础知识,考查运算求解能力,考查 函数与方程思想、化归与转化思想. (1)因为数列{an}的公差 d=1,且 1,a1,a3 成等比数列, 所以 a2 1=1×(a1+2), 即 a2 1-a1-2=0,解得 a1=-1 或 a1=2. (2)因为数列{an}的公差 d=1,且 S5>a1a9, 所以 5a1+10>a2 1+8a1, 即 a2 1+3a1-10<0,解得-5<a1<2. 4. (2012 辽宁, 5 分) 在等差数列{an}中, 已知 a4+a8=16, 则该数列前 11 项和 S11=( A.58 C.143 B.88 D.176 )

解析:因为{an}是等差数列,所以 a4+a8=2a6=16?a6=8,则该数列的前 11 项和为 S11 = 11?a1+a11? =11a6=88. 2 答案:B 5. (2012 浙江,5 分)设 Sn 是公差为 d(d≠0)的无穷等差数列{an}的前 n 项和,则下列命 题错误的是( )

A.若 d<0,则数列{Sn}有最大项 B.若数列{Sn}有最大项,则 d<0 C.若数列{Sn}是递增数列,则对任意 n∈N*,均有 Sn>0 D.若对任意 n∈N*,均有 Sn>0,则数列{Sn}是递增数列

解析:A、B、D 均正确,对于 C,若首项为-1,d=2 时就不成立. 答案:C 6. (2011 天津,5 分)已知{an}为等差数列,其公差为-2,且 a7 是 a3 与 a9 的等比中项, Sn 为{an}的前 n 项和,n∈N*,则 S10 的值为( A.-110 C.90 ) B.-90 D.110

2 解析:因为 a7 是 a3 与 a9 的等比中项,所以 a2 7=a3a9,又因为公差为-2,所以(a1-12)

=(a1-4)(a1-16),解得 a1=20, 通项公式为 an=20+(n-1)(-2)=22-2n, 10?a1+a10? 所以 S10= =5(20+2)=110. 2 答案:D 7. (2010 福建,5 分)设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn.若 a1=-11,a4+a6=-6,则当 Sn 取最小值时,n 等于( A.6 C.8 解析:设等差数列{an}的公差为 d, ∵a4+a6=-6,∴a5=-3, a5-a1 ∴d= =2, 5-1 ∴a6=-1<0,a7=1>0, 故当等差数列{an}的前 n 项和 Sn 取得最小值时,n 等于 6. 答案:A 8. (2011 广东,5 分)等差数列{an}前 9 项的和等于前 4 项的和.若 a1=1,ak+a4=0, 则 k=____________. 解析:设{an}的公差为 d,由 S9=S4 及 a1=1, 9×8 4×3 得 9×1+ d=4×1+ d, 2 2 1 所以 d=- .又 ak+a4=0, 6 1 1 所以[1+(k-1)×(- )]+[1+(4-1)×(- )]=0. 6 6 即 k=10. 答案:10 9. (2011 湖南,5 分)设 Sn 是等差数列{an}(n∈N*)的前 n 项和,且 a1=1,a4=7,则 S5 =______. ) B.7 D.9

5×4 解析:设数列的公差为 d,则 3d=a4-a1=6,得 d=2,所以 S5=5×1+ ×2=25. 2 答案:25 10.(2010 山东,12 分)已知等差数列{an}满足:a3=7,a5+a7=26.{an}的前 n 项和为 Sn. (1)求 an 及 Sn; 1 (2)令 bn= 2 (n∈N*),求数列{bn}的前 n 项和 Tn. an-1 解:(1)设等差数列{an}的首项为 a1,公差为 d, 由于 a3=7,a5+a7=26, 所以 a1+2d=7,2a1+10d=26, 解得 a1=3,d=2. 由于 an=a1+(n-1)d,Sn= n?a1+an? , 2

所以 an=2n+1,Sn=n(n+2). (2)因为 an=2n+1, 所以 a2 n-1=4n(n+1), 1 11 1 因此 bn= = ( - ). 4n?n+1? 4 n n+1 故 Tn=b1+b2+…+bn 1 1 1 1 1 1 = (1- + - +…+ - ) 4 2 2 3 n n+1 1 1 = (1- ) 4 n+1 = n , 4?n+1? n . 4?n+1?

所以数列{bn}的前 n 项和 Tn=

11. (2009· 江苏,14 分)设{an}是公差不为零的等差数列,Sn 为其前 n 项和,满足 a2 2+
2 2 a2 3=a4+a5,S7=7.

(1)求数列{an}的通项公式及前 n 项和 Sn; amam+1 (2)试求所有的正整数 m,使得 为数列{an}中的项. am+2
2 7 2 解:(1)设公差为 d,则 a2 2-a5=a4-a3.

由性质得-3d(a4+a3)=d(a4+a3), 因为 d≠0.所以 a4+a3=0,即 2a1+5d=0, 7×6 又由 S7 得 7a1+ d=7. 2 解得 a1=-5,d=2.

所以{an}的通项公式为 an=2n-7, 前 n 项和 Sn=n2-6n. amam+1 ?2m-7??2m-5? (2) = . am+2 2m-3 amam+1 ?t-4??t-2? 8 令 2m-3=t, = =t+ -6, t t am+2 8 因为 t 是奇数,且 t+ -6 为整数, t 所以 t 可取的值为± 1. 8 当 t=1,m=2 时,t+ -6=3, t 2×5-7=3 是数列{an}中的项; 8 t=-1,m=1 时,t+ -6=-15, t 数列{an}中的最小项是-5 不符合. 所以满足条件的正整数 m=2.

考点三 等差数列的性质及应用
1. (2013 广东,5 分)在等差数列{an}中,已知 a3+a8=10,则 3a5+a7=________. 解析: 本题主要考查等差数列, 考查考生的运算能力. 利用等差数列的性质可快速求解. 因 为 a3+a8=10,所以 3a5+a7=2(a3+a8)=20. 答案:20 2. (2012 江西,5 分)设数列{an},{bn}都是等差数列.若 a1+b1=7,a3+b3=21,则 a5+b5=________. 解析:法一:设数列{an},{bn}的公差分别为 d1,d2,因为 a3+b3=(a1+2d1)+(b1+2d2) =(a1+b1)+2(d1+d2)=7+2(d1+d2)=21,所以 d1+d2=7,所以 a5+b5=(a3+b3)+2(d1+d2) =21+2×7=35. 法二:∵2a3=a1+a5,2b3=b1+b5, ∴a5+b5=2(a3+b3)-(a1+b1) =2×21-7=35. 答案:35 3.(2012 安徽,12 分)设数列 a1,a2,…,an,…中的每一项都不为 0. 证明{an}为等差数列的充分必要条件是:对任何 n∈N,都有 n . a1an+1 证明:先证必要性. 1 1 1 + +…+ = a1a2 a2a3 anan+1

设数列{an}的公差为 d,若 d=0,则所述等式显然成立. 若 d≠0,则 1 1 1 + +…+ a1a2 a2a3 anan+1 an+1-an 1 a2-a1 a3-a2 = ( + +…+ ) d a1a2 a2a3 anan+1 1 1 1 1 1 1 1 = [( - )+( - )+…+( - )] d a1 a2 a2 a3 an an+1 1 1 1 = ( - ) d a1 an+1 1 an+1-a1 n = · = . d a1an+1 a1an+1 再证充分性. 法一:(数学归纳法)设所述的等式对一切 n∈N 都成立. 首先,在等式 1 1 2 + = ① a1a2 a2a3 a1a3 两端同乘 a1a2a3,即得 a1+a3=2a2, 所以 a1,a2,a3 成等差数列,记公差为 d,则 a2=a1+d. 假设 ak=a1+(k-1)d,当 n=k+1 时 k-1 1 1 1 + +…+ = ,② a1a2 a2a3 ak-1ak a1ak 1 1 1 1 k + +…+ + = .③ a1a2 a2a3 ak-1ak akak+1 a1ak+1 将②代入③,得 k-1 1 k + = , a1ak akak+1 a1ak+1 在该式两端同乘 a1akak+1,得(k-1)ak+1+a1=kak, 将 ak=a1+(k-1)d 代入其中,整理后,得 ak+1=a1+kd. 由数学归纳法原理知,对一切 n∈N,都有 an=a1+(n-1)d. 所以{an}是公差为 d 的等差数列. 法二:(直接证法)依题意有 1 1 1 n + +…+ = ,① a1a2 a2a3 anan+1 a1an+1 n+1 1 1 1 1 + +…+ + = .② a1a2 a2a3 anan+1 an+1an+2 a1an+2 ②-①得

n +1 1 n = - . an+1an+2 a1an+2 a1an+1 在上式两端同乘 a1an+1an+2,得 a1=(n+1)an+1-nan+2.③ 同理可得 a1=nan-(n-1)an+1.④ ③-④得 2nan+1=n(an+2+an). 即 an+2-an+1=an+1-an,所以{an}是等差数列.


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