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2014-2015东城区综合练习二数学文科答案



北京市东城区 2014-2015 学年第二学期综合练习(二) 高三数学参考答案及评分标准 (文科)
一、选择题(本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分) (1)B (5)C (2)C (6)D (3)C (7)B (4)A (8)A

二、填空题(本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分) ( 9) 2

5 2



(10)

2 3 ? 6
12

(11) ?4

(12)

(13) ?

3 2

(14) 4 ?

注:两个空的填空题第一个空填对得 3 分,第二个空填对得 2 分. 三、解答题(本大题共 6 小题,共 80 分) (15) (共 13 分) 解:设顾客去甲商场,转动圆盘,指针指向阴影部分为事件 A , 试 验 的 全 部 结 果 构 成 的 区 域 为 圆 盘 , 面 积 为 ?r ( r 为 圆 盘 的 半 径 ) , 阴 影 区 域 的 面 积 为
2

1 ? ? S ? 4? ? r2 ? r2 . 2 12 6

? 2 r 1 所以, P( A) ? 6 2 ? . ?r 6

…………………………5 分

设顾客去乙商场一次摸出两个红球为事件 B ,记盒子中 3 个白球为 a1 ,a2 ,a3 ,3 个红球为 b1 ,b2 ,

b3 ,记 ( x , y) 为一次摸球的结果,则一切可能的结果有: (a1 , a2 ) , (a1 , a3 ) , (a1 , b1 ) , (a1 , b2 ) , (a1 , b3 ) ,(a2 , a3 ) ,(a2 , b1 ) ,(a2 , b2 ) ,(a2 , b3 ) ,(a3 , b1 ) ,(a3 , b2 ) ,(a3 , b3 ) ,(b1 , b2 ) ,(b1 , b3 ) , (b2 , b3 ) ,共 15 种.
摸到的 2 个球都是红球有 (b1 , b2 ) , (b1 , b3 ) , (b2 , b3 ) ,共 3 种. 所以, P( B) ?

3 1 ? . 15 5

…………………………11 分

因为 P( A) ? P( B) , 所以,顾客在乙商场中奖的可能性大. …………………………13 分

(16) (共 13 分) 解: (Ⅰ)由 f ( x) ? cos( 2 x ?

π 2 ) ? cos( 2 x ? π) 3 3
1

得 f ( x) ?

1 3 1 3 cos2 x ? sin 2 x ? cos2 x ? sin 2 x 2 2 2 2

? ? 3 sin 2x .
因为 f (? ) ? ?

…………………………4 分

3 3 3 3 ,即 ? 3 sin 2? ? ? 3 ,所以 sin 2? ? . 5 5 5 π 2

又因为 ? ? ( , ) ,所以 2? ? ( , π ) . 故 cos 2? ? ?

π π 4 2

4 4 ,即 g (? ) ? ? . 5 5 π ). 3

…………………………7 分

(Ⅱ) f ( x) ? g ( x) ? ? 3 sin 2x ? cos2x ? 2 cos( 2 x ? 因为 x ? [ ? 所以当 2 x ? (17) (共 13 分) 证明: (Ⅰ)连接 AC 交 BE 于点 M ,连接 FM . 因为 PA 所以 FM 因为 EM 因为 FM 平面 BEF ,平面 PAC

π π π , ] ,所以 2 x ? ? [0, π] . 6 3 3 π π ? 0 ,即 x ? ? 时, f ( x) ? g ( x) 有最大值,最大值为 2 . ………………13 分 3 6

平面 BEF ? FM ,

AP . CD ,所以
AM AE 1 ? ? . MC ED 2 PF AM 1 ? ? . AP ,所以 FC MC 2
…………………………6 分

P F

1 所以 ? ? . 3

(Ⅱ)因为 AP ? 2, AE ? 1, ?PAD ? 60 , 所以 PE ? 3 . 所以 PE ? AD . 又平面 PAD ? 平面 ABCD ,且平面 PAD

D E A
平面 ABCD ? AD ,

C
B

M

PE ? 平面 ABCD ,所以 PE ? CB .
又 BE ? CB ,且 PE 所以 CB ? 平面 PEB .

BE ? E ,
…………………………13 分

2

(18) (共 13 分) 解: (Ⅰ)设 ?an ? 的公比为 q ,因为 4a1 , 所以 4a1 ? a2 ? 3a2 . 整理得 2a1 ? a2 ,即 2a1 ? a1q ,解得 q ? 2 . 又 S4 ?

3 a2 , a2 成等差数列, 2

1 a1 (1 ? 24 ) ? 5 ,解得 a1 ? . 3 1? 2 1 n ?1 ?2 . 3
…………………………5 分

所以 an ?

(Ⅱ)由(Ⅰ)得 ? a1 = ?

1 , 3 1 7?n 所以 bn ? 2+(n ? 1)(- ) ? . 3 3 7?n 2+ 3 ? n ? (13 ? n)n . Tn = 2 6 [13 ? (n ? 1)](n ? 1) ?0, 所以由 Tn?1 ? 0 ,得 6
整理得 (n ? 1)(n ? 14) ? 0 , 解得 1 ? n ? 14 . 故满足 Tn?1 ? 0 的最大正整数为 13 .

…………………………10 分

…………………………13 分

(19) (共 14 分) 解: (Ⅰ)由已知可得 a ? c ? 2 , b ? 2 3 ,又 b ? a ? c ? 12 ,
2 2 2

解得 a ? 4 . 故所求椭圆 C 的方程为

x2 y2 ? ? 1. 16 12

…………………………5 分

(Ⅱ)由(Ⅰ)知 A(?4 , 0) , B(4 , 0) .设 P( x1 , y1 ) , Q( x2 , y2 ) , 所以 kPA ? k1 ?

y1 y y2 ? 1 ? 21 . x1 ? 4 x1 ? 4 x1 ? 16

因为 P( x1 , y1 ) 在椭圆 C 上,

3

所以

3 x12 y12 ? ? 1 ,即 y12 ? 12 ? x12 . 4 16 12

3 2 x1 3 4 ?? . 所以 k PA ? k1 ? 2 x1 ? 16 4 12 ?
又因为 k1 ?

3 k2 , 4
(1)
2 2

所以 kPA ? k2 ? ?1 .

由已知点 Q( x2 , y2 ) 在圆 x ? y ? 16 上, AB 为圆的直径, 所以 QA ? QB . 所以 kQA ? k2 ? ?1 . (2)

由(1)(2)可得 kPA ? kQA . 因为直线 PA , QA 有共同点 A , 所以 A , P , Q 三点共线. …………………………14 分

(20) (共 14 分) 解: (Ⅰ)设 g ( x) 在 x ? 1 处的切线方程为 y ? kx ? 5 , 因为 g ?( x) ? 3 x ? 7 x ?
2

1 , g ?(1) ? 11 , x

所以 k ? 11 ,故切线方程为 y ? 11x ? 5 .
3 当 x ? 1 时, y ? 6 ,将 (1, 6) 代入 g ( x) ? x ?

7 2 x ? ln x ? b , 2
…………………………3 分

得b ?

3 . 2
2

(Ⅱ) f ' ? x ? ? 3x ? 5x ? a , 由题意得方程 x ?
3

5 2 x ? ax ? b ? 3x3 ? 5 x 2 ? ax ? x 有唯一解, 2

5 2 x ? x ? b 有唯一解. 2 5 2 3 2 令 h( x) ? 2 x ? x ? x ,则 h '( x) ? 6x ? 5x ? 1 ? (2 x ? 1)(3x ? 1) , 2 1 1 1 1 所以 h( x) 在区间 (??, ? ), ( ? , ??) 上是增函数,在区间 (? , ? ) 上是减函数. 2 3 2 3 1 1 1 7 又 h( ? ) ? ? , h( ? ) ? ? , 2 8 3 54
即方程 2 x ?
3

4

故实数 b 的取值范围是 (??, ? (Ⅲ) F ( x) ? ax ? x2 ? ln x, 所以 F '( x) ? ?

7 1 ) U (? , ??) . 54 8

…………………………8 分

2 x 2 ? ax ? 1 . x
2 x 2 ? ax ? 1 ? 0 在 (0,??) 上有根, x

因为 F ( x) 存在极值,所以 F '( x) ? ? 即方程 2x
2

? ax ? 1 ? 0 在 (0,??) 上有根,则有 ? =a 2 ? 8 ? 0 .

显然当 ? =0 时, F ( x) 无极值,不合题意; 所以方程必有两个不等正根.

1 ? x1 x2 ? ? 0, ? ? 2 记方程 2x 2 ? ax ? 1 ? 0 的两根为 x 1 , x 2 ,则 ? ?x ? x ? a , 1 2 ? ? 2

F ( x1 ) ? F ( x2 ) ? a( x1 ? x2 ) ? ( x12 ? x22 ) ? (ln x1 ? ln x2 )
? a2 a2 1 1 ? ? 1 ? ln ? 5 ? ln , 2 2 4 2

2 解得 a ? 16 ,满足 ? ? 0 .

又 x1 ? x2 ?

a ? 0 ,即 a ? 0 , 2
…………………………14 分

故所求 a 的取值范围是 (4,??) .

5



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