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三角函数的应用



三角函数的应用 1.如图,一枚运载火箭从地面 O 处发射,当火箭到达 A 点时,从地面 C 处的雷达站 测得 AC 的距离是 6 km ,仰角是 43? , 1s 后,火箭到达 B 点,此时测得 BC 的距离是
6.13km ,仰角为 45.54? ,这枚火箭从 A 点到 B 点的平均速度是多少?(精

确到 0.01km s )
B A<

br />
O

C

2.如图 1—62 所示,一艘渔船正以 30 海里/时的速度由西向东追赶鱼群,自 A 处经半小时到达 B 处,在 A 处看见小岛 C 在船的北偏东 60°的方向上,在 B 处 看见小岛 C 在船的北偏东 30°的方向上,已知以小岛 C 为中心周围 10 海里以内 为我军导弹部队军事演习的着弹危险区, 则这艘船继续向东追赶鱼群, 是否有进 入危险区域的可能?

3.某地震救援队探测出某建筑物废墟下方点 C 处有生命迹象,已知废墟一侧 地面 上两探测点 A,B 相距 3 米,探测线与地面的夹角分别是 30? 和 60? (如图), 试确 定生命所在点 C 的深度.(结果精确到 0.1 米,参考数据: 2 ? 1.41 , 3 ? 1.73 )

30?

60?

A

B

D

C

4.如图 1—63 所示,某货船以 20 海里/时的速度 将一批重要物资由 A 处运往 正西方向的 B 处,经 16 小时到达,到达后立即卸货,此时接到气象部门通知, 一台风中心正以 40 海里/时的速度由 A 处向北偏西 60°的 AC 方向移动,距台 风中心 200 海里的圆形区域(包括边界)均会受到影响: (1) B 处是否会受到台风的影响?清说明理由; (2)为避免卸货过程受到台风影响,船上人员应在多少小时内卸完货物?(精 确到 0.1 小时, 3 ≈1.732)

5.如图 l—64 所示,MN 表示某引水工程的一段设计路线,从点 M 到点 N 的走向 为北偏西 30°,在点 M 的北偏西 60°方向上有一点 A,以点 A 为圆心,以 500 米为半径的圆形区域为居民区,取 MN 上另一点 B,测得 BA 的方向为北偏西 75°.已知 MB=400 米,若不改变方向,则输水路线是否会穿过居民区?(参考数 据: 3 ≈1.732)

参考答案 1. 解:在 Rt ?BCO 中, sin ?BCO ? OB
BC

∴ OB ? BC ? sin ?BCO ? 6.13 ? sin 45.54? ? 4.375 在 Rt ?ACO 中, sin ?ACO ? OA
AC

∴ OA ? AC ? sin ?ACO ? 6 ? sin 43? ? 4.092 ∴ AB ? OB ? OA ? 4.375 ? 4.092 ? 0.28 答:这枚火箭从 A 点到 B 点的平均速度是 0.28 km s .

2.提示:不会进入危险区.

3. 解:过 C 作 CD ? AB 于点 D ∵探测线与地面的夹角为 30? 和 60? ∴ ?CAD ? 30? , ?CBD ? 60? 在 Rt ?ACD 中, tan ?CAD ? CD ∴ AD ?
AD

CD ? CD ? 3CD tan ?CAD tan 30?
BD

在 Rt ?BCD 中, tan ?CBD ? CD ∴ BD ? CD ? ? 3 CD
tan60 3

又∵ AD ? BD ? AB ? 3 ∴ 3CD ? 3 CD ? 3
3

解得 CD ? 3 3 ? 3 ? 1.73 ? 2.6
2 2

∴生命所在点 C 的深度约为 2.6 米.

4.解:(1)如图 1—66 所示,过 B 作 BD⊥AC 于 D,在 Rt△ABD 中,BD= 海里<200 海里,所以 B 处会受到台风的影响. (2)以 B 为圆心,

1 AB=160 2

200 海里为半径画圆交 AC 于 E,F 两点,连接 BE,BF.由(1)可知

BD=160 海里, 又 BE=200 海里, 则 DE=120 海里, 所以 AE=(160 3 -120)海里. 设 卸货时间为 t,则 t= 会受台风影响.
160 3 ? 120 ≈3.9(小时),所以在 3.9 小时内卸完货才不 40

5.解:如图 1—67 所示,过 A 作 AP⊥MN 于点 P,由题意可知∠ABP=∠PAB=45°, 因 为 MB = 400 米 ,所 以 MP - BP=MB = 400 米 ,所 以 AP . AP·
1 - tan 30 ?

1 =400,即 3 AP-AP=400,AP=200( 3 +1)≈546.4 米>500 tan 45?

米,所以输水路线不会穿过居民区. 6.解:过点 C 作 CD⊥AB,垂足为 D.在 Rt△CDA 中,∠A=30°,AC=
1 AC=5 km,AD=ACcos 30°=5 3 km.在 Rt△BDC 中,∠B=45°, 2 CD ∴BD=CD=5km,BC= ==5 2 km,∴AB=AD+BD=(5 3 +5)km,∴AC+BC sin 45?

10km,∴CD=

- AB = 10 + 5 2 - (5 3 + 5) = 5 + 5 2 - 5 3 ≈ 5 + 5 × 1.4l - 5 × 1.73 = 3.4(km).即隧道开通后,汽车从 A 地到 B 地比原来少走约 3.4 km.

7. 解(1) ???????(100 3, ?100 3)??????? : ?????????(100 3,200 ? 100 3)?????????? (2 )过点 C 作 CD ? OA 于点 D ,则 CD ? 100 3 , ?ACD ? 30? 在 Rt ?ACD 中, cos ?ACD ? CD
AC

y / km
A D
O
45? 60?

C

x / km
B

∴ AC ?
30

100 3 CD ? ? 200 cos ?ACD cos 30?

∵ 200 ? 20 ? 6 , 6 ? 5 ? 11 ∴台风从生成到最初侵袭该城要经过 11 小时.



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