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2.3.1平面向量基本定理(学生版)



课题:§2.3.1 平面向量基本定理

总第____课时

班级_______________ 姓名_______________ 【学习目标】 了解平面向量基本定理,能够在具体问题中适当选取基底,使其他向量都能够用基底 来表示。 【重点难点】 学习重点:平面向量基本定理, 学习难点:对平面向量基本定理的理解和应用。 【学习过程】 一、自主

学习与交流反馈 火箭在升空的某一时刻,速度可以分解成竖直向上和水平向前的两个分速度; 在力的分解的平行四边形法则中,我们看到一个力可以分解为两个不共线方向的力的 和。 问题 1:平面内任一向量是否可以用两个不共线的向量来表示呢?

问题 2:如图,若 e1,e2 是平面内的两个不共线的向量,a 是平面内任一向量,能否用 e1,e2 分解 a,有几种分解形式?
e1

e2

二、知识建构与应用: 平面向量基本定理 如果 e1,e2 是同一平面内两个不共线的向量,那么对于这一平面内的任一向量 a,

有且只有一对实数 ?1,?2 ,使 a= ?1 e1+ ?2 e2 基底 我们把不共线的向量 e1,e2 叫做表示这一平面内所有向量的一组基底 正交分解 一个平面向量用一组基底 e1,e2 表示成 a= ?1 e1+ ?2 e2 的形式,我们称它为向量 a 的分 解,当 e1,e2 所在直线互相垂直时,这种分解也称为向量 a 的正交分解

三、例题讲解 例 1 如图,平行四边形 ABCD 的对角线 AC 和 BD 交于点 M, AB ? a, AD ? b . 试用基底 a,b 表示 MC , MA , MB , MD .

D M A B

C

例 2 设 e1,e2 是平面内的一组基底, 如果 AB ? 3e1-2 e2 , BC ? 4 e1+ e2 , CD ? 8 e1-9e2 , 求证:A、B、D 三点共线。

变式

设 e1, e2 为两个不共线的向量, AB ? 2e1+ k e2, OB ? e1+2e2, OD ? 2 e1-e2,

且 A、B、D 三点共线,求 k 的值.

例 3 如图所示,在平行四边形 ABCD 中,点 M 在 AB 延长线上,且 BM ? 点 N 在 BC 上,且 BN=

1 AB , 2

1 BC,用向量方法证明:M、N、D 三点共线 3
D N A B M C

四、巩固练习 1.如图,已知向量 e1,e2 ,求作下列向量 (1) 3 e1+2 e2 (2) 2e1- e2

e2 e1 e1

e2

2. 若 e1,e2 是表示平面内所有向量的一组基底,则下面的四组向量中不能作为一组基底的是 ( ) A、 e1+ e2 和 e1-e2 B、3 e1-2 e2 和 4 e2-6e1 C、 e1+3 e2 和 e2 +3 e1 D、e2 和 e1+e2 3.已知 ? ABC 中,D 是 BC 的中点,用向量 AB , AC 表示向量 AD

4.设 P、Q 分别是四边形的对角线 AC 和 BD 的中点, BC ? a, DA ? b,并且 a,b 不是 共线向量,试用基底 a,b 表示向量 PQ 。

课堂心得:



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