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上海市近5年高考真题分类汇编(立体几何理科)



特约教师: 刘庆玲

立体几何部分(理科)
2013 年上海市
13.在 xOy 平面上,将两个半圆弧 ( x ? 1)2 ? y 2 ? 1( x ? 1) 和 ( x ? 3)2 ? y 2 ? 1( x ? 3) 、两条 直线 y ? 1 和 y ? ?1 围成的封闭 图形记为 D,如图中阴影部分.记 D 绕 y 轴旋转一周而成的几 何体为 ? ,过 (0, y |y 1 )(| ) ? 作 ? 的水平截面,所得截面面积为

4? 1 ? y 2 ? 8? ,试利用祖暅原理、一个平放的圆柱和一个长
方体,得出 ? 的体积值为__________ 三、解答题(共 74 分) 19.(本题满分 12 分)如图,在长方体 ABCD-A1B1C1D1 中,AB=2,AD=1,A1A=1,证明直线 BC1 平行于平面 DA1C,并求直线 BC1 到平面 D1AC 的距离.

D A D1 B

C

C1 B1

A1

13、 【解答】根据提示,一个半径为 1,高为 2? 的圆柱平放,一个高为 2,底面面积 8? 的 长方体, 这两个几何体与 ? 放在一起, 根据祖暅原理, 每个平行水平面的截面面积都相等,
2 2 故它们的体积相等,即 ? 的体积值为 ? ?1 ? 2? ? 2 ? 8? ? 2? ? 16? .

三、解答题 19. 【解答】 因为 ABCD-A1B1C1D1 为长方体, AB // C1D1 , AB ? C1D1 , 故 故 ABC1D1 为平行四边形,故 BC1 // AD1 ,显然 B 不在平面 D1AC 上, 于是直线 BC1 平行于平面 DA1C;

D A D1 B

C

C1 B1

A1
1

特约教师: 刘庆玲 直线 BC1 到平面 D1AC 的距离即为点 B 到平面 D1AC 的距离设为 h

1 1 1 ? ( ?1? 2) ?1 ? 3 2 3 3 而 ?AD1C 中, AC ? DC ? 5, AD1 ? 2 ,故 S ?AD1C ? 1 2 2 1 3 1 2 所以, V ? ? ? h ? ? h ? ,即直线 BC1 到平面 D1AC 的距离为 . 3 3 2 3 3
考虑三棱锥 ABCD1 的体积,以 ABC 为底面,可得 V ?

2012 年上海市
6.有一列正方体,棱长组成以 1 为首项,
n ??

1 2

为公比的等比数列,体积分别记为

V1,V2,…,Vn,…,则 lim(V1 ? V2 ? ? ? Vn ) ? . 8.若一个圆锥的侧面展开图是面积为 2?的半圆面,则该圆锥的体积为. D 14.如图,AD 与 BC 是四面体 ABCD 中互相垂直的棱,BC=2. 若 AD=2c,且 AB+BD=AC+CD=2a,其中 a、c 为 常数,则四面体 ABCD 的体积的最大值是 . 三、解答题(本大题共有 5 题,满分 74 分) 19.如图,在四棱锥 P-ABCD 中,底面 ABCD 是矩形, PA⊥底面 ABCD,E 是 PC 的中点.已知 AB=2, AD=2 2 ,PA=2.求: (1)三角形 PCD 的面积; 分) (6 (2)异面直线 BC 与 AE 所成的角的大小.(6 分)

C B A

解答: 6.有一列正方体,棱长组成以 1 为首项,
n ??

1 2

为公比的等比数列,体积分别记为
8 7

V1,V2,…,Vn,…,则 lim(V1 ? V2 ? ? ? Vn ) ?

.
3 3

8.若一个圆锥的侧面展开图是面积为 2?的半圆面,则该圆锥的体积为

? .

2

特约教师: 刘庆玲 14 . 如 图 , AD 与 BC 是 四 面 体 ABCD 中 互 相 垂 直 的 棱 , BC=2. 若 AD=2c , 且
2 2 AB+BD=AC+CD=2a, 其中 a、 为常数, c 则四面体 ABCD 的体积的最大值是 2 c a ? c ? 1 3

19.如图,在四棱锥 P-ABCD 中,底面 ABCD 是矩形, PA⊥底面 ABCD,E 是 PC 的中点.已知 AB=2, AD=2 2 ,PA=2.求: (1)三角形 PCD 的面积; 分) (6 (2)异面直线 BC 与 AE 所成的角的大小.(6 分) [解](1)因为 PA⊥底面 ABCD,所以 PA⊥CD,又 AD⊥CD,所以 CD⊥平面 PAD, 从而 CD⊥PD. ……3 分 因为 PD= 2 ? (2 2 ) ? 2 3 ,CD=2,
2 2

所以三角形 PCD 的面积为 1 ? 2 ? 2 3 ? 2 3 .……6 分 2 (2)[解法一]如图所示,建立空间直角坐标系, 则 B(2,0,0),C(2,2 2 ,0),E(1, 2 ,1),

z P E A D C y

AE ? (1, 2, 1) , BC ? (0, 2 2, 0) .
设 AE 与 BC 的夹角为?,则
AE cos? ? | AE||? BC | ? BC 4 2? 2 2

……8 分 B x ……12 分 P F A B

?

2 2

,?= ? . 4

由此可知,异面直线 BC 与 AE 所成的角的大小是 ? 4

[解法二]取 PB 中点 F,连接 EF、AF,则 EF∥BC,从而∠AEF(或其补角)是异面直线 BC 与 AE 所成的角 ……8 分 在 ?AEF 中,由 EF= 2 、AF= 2 、AE=2 知 ?AEF 是等腰直角三角形, 所以∠AEF= ? . 4 因此异面直线 BC 与 AE 所成的角的大小是
? 4

E D C

2011 年上海市
21. (14 分)已知 ABCD ? A B1C1D1 是底面边长为 1 的正四棱柱, O1 是 AC1 和 B1D1 的交 1 1 点。 (1)设 AB1 与底面 A1 B1C1 D1所成的角的大小为 ? ,二面角 A ? B1D1 ? A 的大小为 ? 。 1 求证: tan ? ? 2 tan ? ; (2)若点 C 到平面 AB1D1 的距离为

4 ,求正四棱柱 ABCD ? A B1C1D1 的高。 1 3
A B D

C

A1 O1 C1

D1

3

B1

特约教师: 刘庆玲 解答: 21.解:设正四棱柱的高为 h 。 ⑴连 AO1 , AA1 ? 底面 A1B1C1D1 于 A1 , ∴ AB1 与底面 A1B1C1D1 所成的角为 ?AB1 A ,即 ?AB1 A1 ? ? 1 ∵ AB1 ? AD1 , O1 为 B1D1 中点,∴ AO1 ? B1D1 ,又 AO1 ? B1D1 , 1 ∴ ?AO1 A 是二面角 A ? B1D1 ? A 的平面角,即 ?AO1 A1 ? ? 1 1 ∴ tan ? ?

AA1 AA1 ? h , tan ? ? ? 2h ? 2 tan ? 。 A1O1 A1B1
A B

z D C

⑵建立如图空间直角坐标系,有 A(0,0, h), B1 (1,0,0), D1 (0,1,0), C(1,1, h)

???? ? ????? ??? ? AB 1 ? (1,0, ?h), AD 1 ? (0,1, ?h), AC ? (1,1,0)
设平面 AB1D1 的一个法向量为 n ? ( x, y, z) ,

?

A1 D1 B1 O1 C1 y

? ???? ? ???? ? n ? AB1 ? n ? AB1 ? 0 ? ? ? x ∵ ? ? ???? ? ? ? ???? ,取 z ? 1 得 n ? (h, h,1) ? ? ?n ? AD1 ?n ? AD1 ? 0 ? ? ? ??? ? | n ? AC | h?h?0 4 ? ∴点 C 到平面 AB1D1 的距离为 d ? ? ? ,则 h ? 2 。 |n| h2 ? h2 ? 1 3

2010 年上海市
12.如图所示,在边长为 4 的正方形纸片 ABCD 中,AC 与 BD 相交于 O,剪去 ? AOB ,将剩余部分沿 OC、 折叠, OD 使 OA、OB 重合,则以 A、 、C、D、O 为顶点的四面体 (B) 的体积为。

21、 (本大题满分 13 分)本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 5 分,第 2 小题满分 8 分. 如图所示, 为了制作一个圆柱形灯笼, 先要制作 4 个全等的矩形骨架, 总计耗用 9.6 米铁丝, 骨架把圆柱底面 8 等份,再用 S 平方米塑料片制成圆柱的侧面和下底面 (不安装上底面). (1)当圆柱底面半径 r 取何值时, S 取得最大值?并求出该 最大值(结果精确到 0.01 平方米);

4

特约教师: 刘庆玲 (2) 在灯笼内, 以矩形骨架的顶点为点, 安装一些霓虹灯, 当灯笼的底面半径为 0.3 米时, 求图中两根直线 A1B3 与 A3 B5 所在异面直线所成角的大小(结果用反三角函数表示)

解答:
12.如图所示,在边长为 4 的正方形纸片 ABCD 中,AC 与 BD 相交于 O,剪去 ? AOB ,将剩余 部分沿 OC、OD 折叠,使 OA、OB 重合,则以 A、 、C、D、O 为顶点的四面体的体积为 (B)

8 2 3

解析:翻折后的几何体为底面边长为 4,侧棱长为 2 2 的正三棱锥,

高为

1 1 3 2 6 8 2 2 6 ? ? 所以该四面体的体积为 ? ? 16 ? 3 2 2 3 3 3

21、 (本大题满分 13 分)本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 5 分,第 2 小题满分 8 分. 如图所示, 为了制作一个圆柱形灯笼, 先要制作 4 个全等的矩形骨架, 总计耗用 9.6 米铁丝, 骨架把圆柱底面 8 等份,再用 S 平方米塑料片制成圆柱的侧面和下底面(不安装上底面). (1)当圆柱底面半径 r 取何值时, S 取得最大值?并求出该 最大值(结果精确到 0.01 平方米); (2)在灯笼内,以矩形骨架的顶点为点,安装一些霓虹灯,当灯笼 的底面半径为 0.3 米时,求图中两根直线 A1B3 与 A3 B5 所在异面直线 所成角的大小(结果用反三角函数表示) 解 析 : (1) 设 圆 柱 形 灯 笼 的 母 线 长 为 l , 则 l?1.2?2r(0<r<0.6) , S??3?(r?0.4)2?0.48?, 所以当 r?0.4 时,S 取得最大值约为 1.51 平方米; ????? ????? ? (2) 当 r?0.3 时, l?0.6, 建立空间直角坐标系, 可得 A1B3 ? (?0.3,0.3,0.6) , 3 B5 ? (?0.3, ?0.3,0.6) , A
????? ????? ? ????? ????? ? A1 B3 ? A3 B5 2 ? 设向量 A1B3 与 A3 B5 的夹角为?,则 cos ? ? ????? ????? ? , | A1 B3 | ? | A3 B5 | 3

所以 A1B3、A3B5 所在异面直线所成角的大小为 arccos

2 . 3

5

特约教师: 刘庆玲

2009 年上海市
5.如图,若正四棱柱 ABCD ? A B1C1D1 的底面连长为 2,高为 4, 1 则异面直线 BD1 与 AD 所成角的大小是______________(结果用反 三角函数表示). 8.已知三个球的半径 R1 , R2 , R3 满足 R1 ? 2R2 ? 3R3 ,则它们的 表面积 S1 , S 2 , S 3 ,满足的等量关系是___________. 19(本题满分 14 分) 如图,在直三棱柱 ABC ? A1B1C1 中, AA ? BC ? AB ? 2 , 1

AB ? BC ,求二面角 B1 ? AC ? C1 的大小。 1
A1

B1

C1

B A

C

解答: 5. 【答案】 arctan 5 【解析】 因为 AD∥A1D1, 异面直线 BD1 与 AD 所成角就是 BD1 与 A1D1 所在角, 即∠A1D1B, 由勾股定理,得 A1B=2 5 ,tan∠A1D1B= 5 ,所以,∠A1D1B= arctan 5 。 8、 【答案】 S1 ? 2 S2 ? 3 S3 【解析】 1 ? 4?R1 , S1 ? 2 S
2

同理: S 2 ? 2 ? R2 S 3 ? 2 ? R3 , R1= 即 ? R1 ,

S1 2 ?



R2=

S2 2 ?

,R3=

S3 2 ?

,由 R1 ? 2R2 ? 3R3 得 S1 ? 2 S2 ? 3 S3

19, 【解】如图,建立空间直角坐标系 则 A(2,0,0) 、 C(0,2,0) A1(2,0,2) ,

B1(0,0,2) 、C1(0,2,2)……2 分

6

特约教师: 刘庆玲 设 AC 的中点为 M,∵BM⊥AC, BM⊥CC1;

∴BM⊥平面 A1C1C,即 BM =(1,1,0)是平面 A1C1C 的一个法向量。……5 分 设平面 A1B1C1 的一个法向量是 n ? ( x, y, z)

???? ?

?

=(x,y,z) ,

???? ???? ? , AC =(-2,2,-2) A1B1 =(-2,0,0)……7 分 1

z
? ??? ? ? ???? ? n ? AB ? ?2 x ? 0, n ? AC ? ?2 x ? 2 y ? 2 z ? 0, 令z ? 1, 解得x ? 0, y ? 1 1 ? ? n ? (0,1,1)...................10分
? ???? ? 设法向量 n与BM 的夹角为 ? ,二面角 B1 ? AC ? C1 的大小为 ? ,显然 ? 1
为锐角
B1 A1 C1

B A M

C

y

x

? ???? ? n ? BM 1 ? ? cos ? ? cos ? ? ? ???? ? , 解得? ? ? 2 3 n BM …………………….14 分 ? 二面角B1 ? A1C ? C1的大小为

?
3

7



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