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复数的几何意义


新课标 A 版·数学·选修 1-2

高中同步学习方略

双基限时练(九)
1.复数 z=i,复平面内 z 的对应点的坐标为( A.(0,1) C.(0,0) 答案 A ) B.z 为实数 D.z 是非负实数 B.(1,0) D.(1,1) )

2.复数 z=|z|的充要条件是( A.z 为纯虚数 C.z 是正实数 答案 D

3.复数 z= 3+i2 对应点在复平面( A.第一象限内 C.实轴上 答案 C

)

B.第四象限内 D.虚轴上

4.两个不相等的复数 z1=a+bi(a,b∈R),z2=c+di(c,d∈R) 若 z1 与 z2 在复平面内的对应点关于虚轴对称,则 a,b,c,d 之间的 关系为( ) B.a=-c,b=-d D.a≠c,b≠d

A.a=-c,b=d C.a=c,b=-d

解析 设 z1=a+bi(a,b∈R)的对应点为 P(a,b), z2=c+di(c,d∈R)的对应点为 Q(c,d). ∵P 与 Q 关于 y 轴对称, ∴a=-c,b=d. 答案 A

5.已知复数 z 满足|z|2-3|z|+2=0,则复数 z 对应点的轨迹是 ( )
1

新课标 A 版·数学·选修 1-2 A.一个圆 C.两点 解析 由|z|2-3|z|+2=0, 得(|z|-1)(|z|-2)=0, ∴|z|=1,或|z|=2, 由复数模的几何意义知,z 对应点的轨迹是两个圆. 答案 B B.两个圆 D.线段

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6.已知 z1=5+3i,z2=5+4i,下列选项中正确的是( A.z1>z2 C.|z1|>|z2| 解析 B.z1<z2 D.|z1|<|z2|

)

|z1|=|5+3i|= 52+32= 34,

|z2|=|5+4i|= 52+42= 41, ∵ 34< 41,∴|z1|<|z2|. 答案 D

7.已知复数 z=x-2+yi 的模为 2 2,则点(x,y)的轨迹方程为 __________. 解析 依题意得 ∴(x-2)2+y2=8. 答案 (x-2)2+y2=8 ?x-2?2+y2=2 2,

→ 8.复数 z=3+4i 对应的向量OZ所在直线的斜率为__________. → 解析 由 z=3+4i 知OZ=(3,4), 4 ∴直线的斜率为 k=3. 4 答案 3
2

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9.已知集合 M={1,2,m2+5m+6+(m2-2m-5)i},N={3i}, 且 M∩N≠?,则实数 m 的值为________. 解析 ∵M∩N≠?, ∴m2+5m+6+(m2-2m-5)i=3i,
2 ? ?m +5m+6=0, ∴? 2 解得 m=-2. ? ?m -2m-5=3.

答案

-2

10.当实数 m 取何值时,在复平面内与复数 z=(m2-4m)+(m2 -m-6)i 对应点满足下列条件? (1)在第三象限; (2)在虚轴上; (3)在直线 x-y+3=0 上. 解 复数 z=(m2-4m)+(m2-m-6)i,对应点的坐标为 Z(m2-

4m,m2-m-6). (1)点 Z 在第三象限,则
2 ? ? ?m -4m<0, ?0<m<4, ? 2 解得? ?m -m-6<0, ? ? ?-2<m<3,

∴0<m<3. (2)点 Z 在虚轴上,则
2 ? ?m -4m=0, ? 2 解得 m=0,或 m=4. ? ?m -m-6≠0,

(3)点 Z 在直线 x-y+3=0 上, 则(m2-4m)-(m2-m-6)+3=0, 即-3m+9=0,∴m=3. 11.已知点集 D={z||z+1+ 3i|=1,z∈C},试求|z|的最小值和
3

新课标 A 版·数学·选修 1-2 最大值. 解 ∵z∈C,可设 z=x+yi(x,y∈R), 又|z+1+ 3i|=1, ∴(x+1)2+(y+ 3)2=1.

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∴点(x,y)在以(-1,- 3)为圆心,半径为 1 的圆上. 由|z|= x2+y2知,|z|的最小值为 1,最大值为 3. 12.已知两个向量 a,b 对应的复数 z1=3 和 z2=-5+5i,求向 量 a 与 b 的夹角. 解 ∵a=(3,0),b=(-5,5), ∴a· b=-15,|a|=3,|b|=5 2. 设 a 与 b 的夹角为 θ, 则 cosθ= -15 a· b 2 = =- 2 . |a||b| 3×5 2

3π ∵0≤θ≤π,∴θ= 4 .

4


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