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第七届泛珠三角力学竞赛参考解答



第七届泛珠三角力学竞赛参考解答

17、 (1)求椭圆轨道的半长轴:对地球与火星,由开普勒第三定律:
3 R火 3 地

R

?

2 T火

T

2 地

? R 火 ? R 地 3 1.88 2 ? 1.5 2 3 R地
a3 T 2 ? 2 ? T ? 1.263 T地 ? 2年 3 R地 T地

a?

R地 ? R火 2

? 1.26R 地

对地球与卫星:

? t EM ?

T ? 0.707 年 ? 258天 2

(2)在 tEM 时间内,火星转过的圆心角 ? 0 ?
0 0 0

360 ? 0.707 ? 135 .38 0 ,故应在地球与火星 1.88

0 间角位移 ?? ? 180 ? 135.38 ? 44.6 时发射,令 75 ? ?? ? (?地 ? ?火)?t 得:

?t ?

750 ? 44.6 0 ? 0.180年 ? 65天 约在 11 月 5 日点火 3600 / 1 ? 3600 / 1.88

18、 (1)质点偏离点处时,受到回复力:

4 m? ? ( x 2 ? h 2 ) 3 x 4 3 Fx ? F cos? ? G ? ? ?G?m ? x ? x 2 2 2 2 3 x ?h x ?h
∵m 作简谐运动

T ? 2?

m 3 ? 2? k 4?G?

(2)由简谐运动模型,物体从通道口 A、B 由静止释放,达平衡位置速度为 vm,有:

1 2 1 1 g 1 2 2 kA ? mv m ? ? m ? ( R 2 ? h 2 ) ? mv m 2 2 2 R 2
在 C 处作弹性碰撞:

? vm ?

g (R 2 ? h 2 ) ??(1) R
3M ? m v m ?? (2) M ?m

Mvm ? m vm ? Mv1 ? m v2 v2 ? v1 ? 2vm

? v2 ?

设 m 运动至 B 处速度为 v/2,则 代入①②得: v2 ?
/2

1 2 1 2 1 /2 k 2 /2 mv 2 ? kA ? mv 2 ? v 2 ? ( R 2 ? h 2 ) ? v2 2 2 2 m

g 2 8M ( M ? m) (R ? h 2 ) ??(3) R ( M ? m) 2
即 v2 ? gR??(4)
/2

/2 v2 又 m 能沿地球表面作圆周运动, m g ? m R

由③④

h ? R

7 M 2 ? 10 Mm ? m 2 8M ( M ? m)

19、 (1)设弹簧原长在 O 处,放上 B、C 后,平衡位置在 O/,BC 达最高处刚好将 A 板提离 地面, 由弹起过程中机械能守恒:1 ( 3m g ? F ) 2 ? 3m g[(3m g ? F ) ? m g] ? 1 k ( m g) 2 ? F ? 4m g
2 k k k 2 k

(或从振动模型: A ?

mg 3mg 4mg ? ? ? F ? kA ? 4mg ) k k k

(2)不固连时,在弹簧原长 O 处,C、B 分离,设此刻速度为 v
1 3m g ? F 2 3m g ? F 1 F 2 ? 9(m g) 2 k( ) ? 3m g ? ( ) ? 3m v2 ? v 2 ? 2 k k 2 3m k

(a)C、B 分开后,B 板继续上升 mg/k: (b)C 相对弹簧原长上升高度 h ?

1 2 mg 1 mg 2 mv ? mg ? ? k( ) ? F ? 3 2mg 2 k 2 k

v 2 F 2 ? 9(m g) 2 3 m g ? ? 2g 6m gk 2 k

相对撤力位置

H?

F 3m g mg 6 2 ? 9 ? ?h? ( ) k k k 2

20、 (1)据巴普斯定理: y C ?

4R 3?

2 J O ? J C ? m yC

(2)由平行轴定理: J O ?

1 1 1 ( 2m R2 ) ? m R2 2 2 2 J D ? J C ? m( R ? y C ) 2

3 8 ? J D ? ( ? )mR 2 2 3?
(3)临界态:受冲量作用后,获角速度ω 0,转至质心升到最高处速度为零: 对 D:由角动量定理 由机械能守恒 由①②③ I m ?

M ? ?t ? J ? ?? ? I m R ? J D?0 ??(1)
2 其中 ?y ? yC ? R 2 ? ( R ? yC ) ?(3)

1 2 J D?0 ? mg ? ?y ?? (2) 2

m 3?

(9? ? 16)[ 16 ? (3? ) 2 ? 4 ? 3? ]gR

yC

Δy



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